Geometrische transformaties: translatie, rotatie en reflectie

Geometrische transformaties zijn veranderingen die op afbeeldingen worden uitgevoerd, zoals: transporteren, spiegelen, roteren, in- of uitzoomen. Ze kunnen in elke figuur worden gemaakt, of het nu gaat om eenvoudige geometrische vormen of complexe afbeeldingen.

Met deze transformaties kunnen we nieuwe figuren maken van de originele of hun positie veranderen. Om deze transformaties uit te voeren hebben we een referentiesysteem en een standaard meeteenheid nodig, zoals in het Cartesiaanse vlak.

Het Cartesisch vlak is een coördinatensysteem op een vlak, waarbij elk punt een uniek adres heeft. Het is samengesteld uit twee genummerde assen, de x en de y. Een paar (x, y) geeft dus de exacte locatie van dit punt.

Door de vormen te behouden, dat wil zeggen de lengtes en hoeken te behouden, kunnen we drie geometrische transformaties uitvoeren: translatie, rotatie en reflectie.

Als we bijvoorbeeld een afbeelding naar een nieuwe locatie verplaatsen, zullen we een vertaling uitvoeren. Als we het rond een punt draaien, is het een rotatie. Als we de figuur spiegelen ten opzichte van een as, doen we een reflectie.

Vertaling

Translatie bestaat uit het verplaatsen van een figuur van het ene punt naar het andere in het vlak, met behoud van zijn vorm, oriëntatie en grootte.

Voorbeeld
De twee driehoeken in de onderstaande afbeelding zijn congruent, dat wil zeggen gelijk. We kunnen zeggen dat driehoek ABC is verplaatst naar de tweede positie, vertegenwoordigd door driehoek A'B'C'.

Geometrische vertaaltransformatie.
De driehoek ABC werd vertaald of getransporteerd.

Reflectie

Reflectie bestaat uit het spiegelen van een afbeelding ten opzichte van een rechte lijn, die horizontaal, verticaal of hellend kan zijn. Deze lijn wordt de reflectie-as genoemd.

Bij reflectie worden de coördinaten van elk punt van de oorspronkelijke figuur omgekeerd ten opzichte van de reflectie-as.

Voorbeeld
In de reflectie ten opzichte van de x-as hieronder, zijn de coördinaten van de punten A, B en C, als volgt doorgegeven aan A', B' en C':

A (-5, 3) ► A' (-5, -3)

B (-6, 1) ► B' (-6, -1)

C (-2, 2) ► C' (-2, -2)

Met andere woorden, elk punt A, B en C ligt op dezelfde afstand van de x-as, van reflectie, als de punten A', B' en C'.

Rotatie geometrische transformatie.
Reflectie van driehoek ABC ten opzichte van de x-as.

Rotatie

Het roteren van een afbeelding bestaat uit het roteren ervan ten opzichte van een punt in het vlak, het rotatiecentrum genoemd. Om de rotatie van een figuur uit te voeren, moeten we rekening houden met de oriëntatie van de rotatie (met de klok mee of tegen de klok in) en de maat, in graden, van de rotatiehoek.

Voorbeeld
Driehoek ABC is tegen de klok in gedraaid over een rotatiehoek van 45°. Het draaipunt is punt A, dat dus vast blijft staan.

Rotatie geometrische transformatie.
Driehoek ABC draait om het rotatiemiddelpunt A.

Geometrische reductie- en vergrotingstransformaties

Bij het verkleinen of vergroten worden de afmetingen van de afbeelding vergroot of verkleind, waarbij de beeldverhouding behouden blijft.

In deze gevallen blijven de hoeken hetzelfde, maar nemen de lengtes en breedtes toe of af. Daarom blijft de vorm van de afbeelding behouden, terwijl het gebied wordt gewijzigd.

Voorbeeld

Afbeeldingen vergroten of verkleinen

Oefeningen op geometrische transformaties

Oefening 1

De volgende vierhoek ABCD vertaalde welke maten in de x- en y-richting naar de positie A'B'C'D'?

Afbeelding gekoppeld aan de vraag.

Om te antwoorden nemen we elk punt van de vierhoek als referentie, bijvoorbeeld punt A.

In de x-richting verschoof het -5 en in de y-richting 2.

Oefening 2

Schets de weerspiegeling van de vijfhoek vanaf de verticale lijn.

Afbeelding gekoppeld aan de vraag.

Om de vijfhoek ten opzichte van de verticale lijn weer te geven, moeten we elk van de punten omkeren. Hiervoor moet elk punt aan de linkerkant op dezelfde afstand van de lijn liggen.

Punt C aan de rechterkant is 3 eenheden verwijderd, dus aan de rechterkant zou hetzelfde moeten gebeuren. Als we de procedure voor de andere punten herhalen, hebben we:

Afbeelding gekoppeld aan de vraag.

Oefening 3

De onderstaande rechthoekige driehoek is geroteerd met het middelpunt van de rotatie op punt B. Beantwoord de draairichting en meet de draaihoek.

Afbeelding gekoppeld aan de vraag.

Driehoek ABC werd met de klok mee gedraaid ten opzichte van punt B naar positie A'B'C'.

Om de rotatiehoek te bepalen, realiseren we ons dat het segment A'B' het vierkant in tweeën deelt, dat wil zeggen, het is een bissectrice van de rechte hoek van 90° en deelt het in tweeën.

Op deze manier is de driehoek 45° met de klok mee gedraaid.

Afbeelding gekoppeld aan de vraag.

Zie ook:

  • Geometrie
  • Vlakke geometrie
  • Geometrische vormen
  • veelhoeken

ASTH, Rafaël. Geometrische transformaties: translatie, rotatie en reflectie.Alle materie, [n.d.]. Beschikbaar in: https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/. Toegang bij:

Zie ook

  • Tijdzones: uitleg en berekening
  • Omtrek
  • Opgeloste waarschijnlijkheidsoefeningen (eenvoudig)
  • Vlakke geometrie
  • Waarschijnlijkheid
  • Trigonometrie in de rechterdriehoek
  • Wiskunde oefeningen groep 8
  • Platte spiegels
Oefeningen op driehoeken uitgelegd

Oefeningen op driehoeken uitgelegd

Oefen oefeningen op driehoeken met deze lijst die we hebben opgesteld. De oefeningen worden stap ...

read more
Voorwaarde voor het bestaan ​​van een driehoek (met voorbeelden)

Voorwaarde voor het bestaan ​​van een driehoek (met voorbeelden)

De bestaansvoorwaarde van een driehoek is een verplicht kenmerk van de lengtes van de drie zijden...

read more
Opmerkelijke punten van een driehoek: wat ze zijn en hoe je ze kunt vinden

Opmerkelijke punten van een driehoek: wat ze zijn en hoe je ze kunt vinden

Bij de studie van driehoeken zijn het zwaartepunt, het orthocentrum, het incenter en het circumce...

read more