Goniometrische functies van de halve boog

Bij trigonometrische functies, sinus, cosinus en tangens, van de booghelft kan worden verkregen uit de trigonometrische functies van de dubbele boog.

Gegeven een maatboog $\dpi{120} \alpha$ , de dubbele boog is de boog $\dpi{120} 2\alpha$ en de halve boog is de boog $\dpi{120} \alpha/2$ .

Door formules voor twee boogoptellingen, we hebben de trigonometrische functies van de dubbele boog:

Sinus:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alpha} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

cosinus:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alpha} \cdot sin\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Raaklijn:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alpha} \cdot tan\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

Uit deze formules laten we de formules zien voor trigonometrische functies met halve boog.

Goniometrische functies van de halve boog

Een van de fundamentele relaties van trigonometrie is dat:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

Waar halen we:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$

vervangen $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ in de formule van de cosinus van de dubbele boog moeten we:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

Bekijk enkele gratis cursussen

Gratis online cursus inclusief onderwijs
Gratis online speelgoedbibliotheek en leercursus
Gratis online cursus wiskunde voor kleuters
Gratis online cursus Pedagogische Culturele Workshops

$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

Daarom: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

vervangen $\dpi{120} \alpha$ per $\dpi{120} \alpha/2$ in de bovenstaande formule en door de vierkantswortel aan beide kanten te extraheren, hebben we de formule voor: cosinus van booghelft:

$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Opmerking: Het teken in de formule zal positief of negatief zijn volgens het kwadrant van de booghelft.

instagram story viewer

Nu vervangen $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$ in de formule van de cosinus van de dubbele boog moeten we:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

Daarom:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

vervangen $\dpi{120} \alpha$ per $\dpi{120} \alpha/2$ in de bovenstaande formule en door de vierkantswortel aan beide kanten te extraheren, hebben we de formule voor: sinus van de booghelft:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Opmerking: Het teken in de formule zal positief of negatief zijn volgens het kwadrant van de booghelft.

Ten slotte kunnen we de raaklijn van de booghelft verkrijgen, door de sinus van de booghelft te delen door de cosinus van de booghelft:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alfa}}}$

Daarom is de formule van halve boogtangens é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ alfa}}}}$

Opmerking: Het teken in de formule zal positief of negatief zijn volgens het kwadrant van de booghelft.

Mogelijk bent u ook geïnteresseerd:

trigonometrische cirkel
trigonometrische tafel
Goniometrische verhoudingen
zonden wet
cosinus wet

Het wachtwoord is naar uw e-mailadres verzonden.

Goniometrische functies van de halve boog

Goniometrische functies van de halve boog

Oefeningen over de eigenschappen van lucht

De burgeroorlog in Syrië

De bol in ruimtelijke geometrie