DE Ovaal is een platte figuur geclassificeerd als a conisch, omdat zij kan worden verkregen bij de sectie van een plan in een kegel. Het vinden van een plat figuur met een ellipsvorm is vrij gebruikelijk in het dagelijks leven. Het is uitgebreid bestudeerd om de beweging van planeten rond de zon te verklaren, aangezien de banen van deze sterren ellipsen zijn.
DE analytische meetkunde is het gebied van de wiskunde dat algebraïsch geometrische vormen probeert te beschrijven, waaronder, de ellips wordt grondig bestudeerd in analytische meetkunde, omdat het mogelijk is om het te beschrijven door middel van een vergelijking die rekening houdt met de elementen ervan. De belangrijkste elementen van de ellips zijn:
hoofdas
kleine as
brandpuntsafstand
brandpunt F1 en F2
We definiëren de ellips als de verzameling punten waarbij de som van de afstand van deze punten tot het brandpunt F1 en om F. te focussen2 het is altijd constant.
Lees ook: Wat zijn de verschillen tussen platte en ruimtelijke figuren?
Wat is een ellips?
We kennen als een ellips de platte figuur gevormd door de sectie tussen het vlak en de ijshoorntje, op de volgende manier:
Om de ellips te bouwen, is het moet je weten twee focussen, F1 en F2, en ook de lengte van de hoofdas, de lijn die de uiteinden van de ellips verbindt, in de onderstaande afbeelding, weergegeven door A1 DE2.
De lengte van de hoofdas is gelijk aan 2a, dus de ellips is de kromme gevormd door alle punten PNee waarbij de som van de afstand van het punt tot het eerste brandpunt (dPNeeF1) met de afstand van het punt tot het tweede brandpunt (dPNeeF2) is altijd constant en gelijk aan 2a.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1DE2 = 2e
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Ellips-elementen
Om de vorming van de ellips volledig te begrijpen, is het noodzakelijk om elk van zijn elementen te kennen. Dit zijn de brandpunten, het centrum, de hoofdas en de kleine as. Op basis daarvan is het mogelijk om belangrijke relaties in de ellips te traceren.
Het middelpunt van de ellips wordt weergegeven door het punt O.
Al de F-punten1 en F2 vertegenwoordigen de ellipsbrandpunten.
de punten A1 en de2 zijn uiteinden van de horizontale as van de ellips, en punten B1 en B2 zijn uiteinden van zijn verticale as.
De afstand tussen B1 en B2 is gelijk aan 2b (lengte van de ellips op de korte as).
De afstand tussen A1 en de2 is gelijk aan 2a (lengte van ellips op hoofdas).
De brandpuntsafstand tussen F1 en F2 is gelijk aan 2c.
Observatie: Het is belangrijk om te beseffen dat de F follow-up1B1 heeft een lengte gelijk aan de helft van de horizontale as, dat wil zeggen dF1B1 = een. Het is dus ook mogelijk om een belangrijke Pythagoreïsche relatie waar te nemen bij het analyseren van driehoek A1OB1. Merk op dat hij een rechthoekige driehoek. Daarom kunnen we de de stelling van Pythagoras.
a² = b² + c²
Er is nog een andere mogelijkheid voor de ellips, waarbij de langste as de verticale as is. In dit geval blijven de elementen hetzelfde.
In dit geval kunnen we ook de stelling van Pythagoras toepassen en krijgen als volgt:
b² = a² + c²
Lees ook: Wat zijn de elementen van een veelhoek?
Ellipsvergelijking
De analytische studie van de ellips wordt gedaan in de cartesiaans vlak. Analytische meetkunde probeert door middel van vergelijkingen de figuren van de vlakke geometrie. Het is dus mogelijk om de figuur te beschrijven via de zogenaamde ellipsvergelijking.
Eerst zullen we voorbeelden geven van een ellips waarvan de brandpunten ofwel op de x-as ofwel op de y-as liggen, dat wil zeggen dat de oorsprong van de ellips samenvalt met de oorsprong van het cartesiaanse vlak.
In dit geval zijn er twee mogelijkheden, wanneer de hoofdas de verticale as is en wanneer de hoofdas de horizontale as is:
Observatie: De brandpunten bevinden zich altijd in de langste as, dus als a > b, bevinden de brandpunten zich in de horizontale as, en als b > a, bevinden ze zich in de verticale as.
Het middelpunt van de ellips ligt niet altijd aan de oorsprong van het cartesiaanse vlak, wat de ontwikkeling en aanpassing van de ellipsvergelijking voor dit geval niet verhindert. Wanneer de ellips is verschoven ten opzichte van de oorsprong O( x0, ja0), kan de vergelijking worden beschreven door:
Lees ook: Wat is de gereduceerde vergelijking van de omtrek?
Ellips excentriciteit
We kennen als excentriciteit dereden tussen lengte c en de helft van de lengte van de langste as van de ellips. Ervan uitgaande dat de langste as horizontaal is, wordt de excentriciteit berekend door:
Als de ellips zich op de verticale as bevindt, wordt de excentriciteit berekend door:
DE excentriciteit vertelt ons hoe plat de ellips is, hoe groter de excentriciteitswaarde, hoe dichter bij een cirkel de ellips zal zijn. Omdat de hoofdas altijd een lengte heeft die groter is dan de brandpuntsafstand, dus dus c < a, is deze deling altijd een getal tussen 0 en 1.
ellips gebied
Omdat de ellips een afgeronde vorm heeft, gebruiken we om de oppervlakte te berekenen de constante π en ook de maat van de helft van de horizontale lengte en de helft van de verticale lengte, dus We moeten:
A = abπ
A: ellipslengte:
a: halve lengte van de horizontale as
b: halve lengte van de verticale as
Voorbeeld:
Bereken de oppervlakte van een ellips, met de brandpunten op de horizontale as, waarvan de langste as 50 cm is, en de kleinste 36 cm.
Omdat de hoofdas horizontaal is, zitten de brandpunten erin. Daarom moeten we:
2e = 50
a = 50/2
een = 25
En op de verticale as moeten we:
2b = 36
b = 36/2
b = 18
Dus het gebied van de ellips wordt gegeven door:
A = abπ
A = 25 · 18π
A = 450π cm²
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Bij het analyseren van de onderstaande ellips is het alternatief dat de brandpuntsafstand bevat:
A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
Resolutie
Alternatief E.
De brandpuntsafstand is gelijk aan 2c, en daarnaast a = 8 en b = 6. Omdat de brandpunten op de x-as liggen, moeten we:
Aangezien de brandpuntsafstand gelijk is aan 2c, dan is 2c = 8√3.
Vraag 2 - (IFB) Gezien een ellips met middelpunt in de oorsprong, brandpunten op een van de coördinaatassen en door punten (5, 0) en (0, 13), bepaal de brandpunten van de ellips.
a) (13, 0) en (-13, 0)
b) (0, 13) en (0, -13)
c) (12, 0) en (-12, 0)
d) (0, 12) en (0, -12)
e) (5, 0) en (-5, 0)
Resolutie
alternatief D
Merk op dat het door punt (0, 13) gaat, wat aangeeft dat b = 13, en ook dat het door punt (5.0) a = 5 gaat. Als b > a, moeten we:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Omdat b groter is, ligt de focus op de verticale as, dus (0, 12) en (0, -12).
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
