Hoek tussen twee vectoren

Vectoren zijn wiskundige objecten die verantwoordelijk zijn voor het beschrijven van het traject van punten. Vaak vertegenwoordigen deze punten concrete bewegende objecten, die door de natuurkunde in detail worden bestudeerd. Bij het beschouwen van de krachten die betrokken zijn bij het verplaatsen (in feite of potentieel) van een object, maakt de natuurkunde gebruik van vectoren om ze weer te geven. De hoek die deze vectoren vormen is een cruciaal onderdeel van de berekeningen, als een kleine variatie in de hoek kan meer kracht nodig hebben om op een object te worden uitgeoefend om te starten of erin te blijven beweging.

Vectoren worden geometrisch weergegeven door pijlen, die rechte lijnen zijn. Het ene uiteinde van het segment geeft dus de uiteindelijke positie van het verplaatste punt aan en het andere uiteinde is niet gemarkeerd, wat aangeeft dat de beweging daar is begonnen. Het eindpuntlocatiepunt wordt over het algemeen gebruikt om een ​​vector te identificeren die begint bij de oorsprong van een coördinatensysteem. Gezien het Cartesiaanse vlak als het coördinatensysteem, wordt een vector v, beginnend bij punt (0,0) en eindigend bij punt (a, b), alleen weergegeven als

vector v = (a, b). Als de vector op een ander punt begint, verplaats hem dan gewoon naar de juiste plaats.

Vector in het cartesiaanse vlak

Omdat dit rechte lijnen zijn, is het mogelijk om hun lengte te berekenen, die de wordt genoemd vectornorm. De berekening van de norm van een vector wordt op dezelfde manier gegeven als de afstand tussen twee punten en is gelijk aan het berekenen van de modulus van een reëel getal. Op deze manier wordt de norm van de vector v = (a, b) aangegeven met |v| en kan als volgt worden berekend:

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Als we twee vectoren v = (a, b) en u = (a',b') beschouwen, is de Binnenlands product onder hen wordt aangeduid met en wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

= a·a' + b·b'

Het puntproduct tussen twee vectoren wordt ook gedefinieerd door de hoek ertussen. Deze definitie maakt het mogelijk om de hoek tussen twee vectoren te berekenen.

Hoek tussen twee vectoren

Dus, met dezelfde vectoren v en u, wordt de cosinus van de hoek θ ertussen gegeven door de volgende uitdrukking:

cosθ =
|v|·|u|

Met deze gegevens, definities en in zekere zin formules is het mogelijk om een ​​strategie te tekenen om de hoek tussen twee vectoren te berekenen.

Gegeven de vectoren v = (2,2) en u = (0,2), zullen we de hoek ertussen berekenen. Bereken hiervoor eerst de norm van elke vector en het product tussen deze normen:

|v| = √(2² + 2²)
|v| = √(4 + 4)
|v| = √8

|u| = √(0² + 2²)
|u| = √(0 + 4)
|u| = √4

|v|·|u| = √8·√4
|v|·|u| = 4√2

Bereken daarna het inproduct tussen v en u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Gebruik ten slotte de hoekformule tussen vectoren om cosθ en a. te berekenen tabel met cosinuswaarden om de waarde van te vinden.

cosθ =
|v|·|u|

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde

Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Hoek tussen twee vectoren"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Betreden op 27 juni 2021.