Bewerkingen met vectoren en geometrische representaties

In tegenstelling tot de geometrische figuren die door hem werden gevormd, Scoren heeft geen definitie. Dit betekent dat in Meetkunde een punt een ongedefinieerd object is dat wordt gebruikt bij het definiëren van andere objecten. Lijnen zijn bijvoorbeeld verzamelingen van punten. Hoewel ze er goed gedefinieerd uitzien, hebben de lijnen ook geen definitie, omdat elke verzameling die twee of meer punten bevat, als recht wordt beschouwd.

Aan de andere kant wordt in Analytical Geometry het punt als locatie genomen. Elke locatie kan worden weergegeven door een punt en bovendien wordt het "adres" van dat punt gegeven door middel van coördinaten.

In analytische meetkunde kunnen punten echter alleen locaties aangeven. Andere objecten zijn nodig om traject, richting, richting en intensiteit aan te geven. In het geval van deze laatste drie is het gekozen object om ze in het cartesiaanse vlak weer te geven de vector.

→ Wat is een vector?

Vectorenzijn daarom objecten die richting, gevoel en intensiteit aangeven. Ze worden meestal weergegeven door pijlen, die beginnen bij de oorsprong, en de coördinaten van hun laatste punt worden gebruikt.

In de bovenstaande afbeelding worden de vectoren op deze manier weergegeven, dat wil zeggen pijlen waarvan de coördinaten overeenkomen met hun eindpunt. Vector u heeft coördinaten (2,2) en vector v heeft coördinaten (4,2). Ook wordt de pijl gebruikt om richting en richting aan te geven, en de grootte geeft de intensiteit aan.

→ Vector vermenigvuldiging met een getal

Gegeven de vector v = (a, b), wordt het product van het reële getal k door v gegeven door de uitdrukking:

k·v = k·(a, b) = (k·a, k·b)

Met andere woorden, om een ​​reëel getal met een vector te vermenigvuldigen, moet u het reële getal met elk van zijn coördinaten vermenigvuldigen.

Geometrisch vergroot het vermenigvuldigen van een vector met een reëel getal de grootte van de vector lineair:

Merk op dat in het bovenstaande voorbeeld vector u coördinaten (2.2) heeft en vector u·k coördinaten (4.4). Als we de vergelijking (4.4) = k (2.2) oplossen, kunnen we concluderen dat k = 2.

→ Vectoren toevoegen

Gegeven twee vectoren u = (a, b) en v = (c, d), wordt de som daartussen verkregen door de uitdrukking:

u + v = (a + c, b + d)

Met andere woorden, tel gewoon de corresponderende coördinaten van elke vector bij elkaar op. Deze bewerking kan worden uitgebreid tot de som van 3 of meer vectoren met 3 of meer dimensies.

Geometrisch, uitgaande van het eindpunt van vector u, wordt een vector v' evenwijdig aan vector v getekend. Uitgaande van vector v wordt parallel aan vector u een vector u' getekend. Deze vier vectoren vormen een parallellogram. De vector u + v is de volgende diagonaal van dit parallellogram:

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Om vectoren af ​​te trekken, beschouw aftrekken als de som van de ene vector en het tegenovergestelde van een andere. Om bijvoorbeeld vector v van vector u af te trekken, schrijft u: u – v = u + (-v). De -v vector is de v vector, maar met de coördinaattekens omgekeerd.

Als je goed kijkt, zijn de bewerkingen "een vector vermenigvuldigen met een getal" en "vectoren optellen" gebruik maken van vermenigvuldigings- en optelbewerkingen op reële getallen, maar op elk onderdeel van de vector. Daarom zijn voor vectoren alle eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van reële getallen geldig, namelijk:

Gegeven de vectoren u, v en w en de reële getallen k en l,

i) (u + v) + w = ​​​​u + (v + w)

ii) u + v = v + u

iii) er is een vector 0 = (0.0) zodat v + 0 = v

iv) Er is een vector -v zodat v + (-v) = 0

v) k (u + v) = ku + kv

vi) (k + l) v = kv + lv

vii) kl (v) = k (lv)

viii) 1v = v

→ Standaard van een vector

De norm van een vector is het equivalent van de grootte van een reëel getal, dat wil zeggen de afstand tussen een vector en het punt (0,0) of, afhankelijk van het referentiekader, de lengte van de vector.

De norm van de vector v = (a, b) wordt aangegeven met ||v|| en kan worden berekend met behulp van de uitdrukking:

||v|| = √(a² + b²)

→ Intern product

Inproduct is vergelijkbaar met het product tussen vectoren. Merk op dat het hierboven genoemde product het product is tussen een vector en een reëel getal. Nu bevindt het betreffende "product" zich tussen twee vectoren. Men moet echter niet zeggen "product tussen twee vectoren", maar eerder "intern product tussen twee vectoren". Het inproduct tussen de vectoren v = (a, b) en u = (c, d) wordt aangegeven met en kan als volgt worden berekend:

= a·c + b·d

Het is ook gebruikelijk om de volgende notatie te gebruiken:

=

Merk op dat we, met behulp van de norm van de vector v = (a, b), de norm en het puntproduct kunnen relateren.

||v|| = √(a² + b²) = √(a·a + b·b) = √()

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde