O barycentrumis een van de opvallende punten van de driehoek, wat op zijn beurt een van de eenvoudigste bekende veelhoeken is. Deze geometrische figuur wordt veel bestudeerd en een van de punten die aandacht verdient, is het concept van barycenter.
We kennen als barycenter het zwaartepunt van de driehoek. Om het te vinden, is het noodzakelijk om de drie medianen te bepalen, evenals het ontmoetingspunt daartussen. Wanneer de driehoek wordt weergegeven in de cartesiaans vlak, om het barycentrum te vinden, berekent u gewoon het rekenkundig gemiddelde tussen de waarden van x en y om het geordende paar van het barycentrum te vinden.
Lees ook: Hoe worden driehoeken ingedeeld?
Wat is het barycentrum?
De driehoek heeft belangrijke punten, bekend als opmerkelijke punten, en het zwaartepunt is er een van, samen met het circumcenter, het incenter en het orthocenter. Het barycentrum is de driehoek zwaartepunt en wordt weergegeven door de letter G. Hij is gelegen op de ontmoeting van de medianen van de driehoek.
De mediaan van een driehoek is een segment dat begint bij een hoekpunt en gaat naar het middelpunt van de zijde tegenover dat hoekpunt. In elke driehoek is het mogelijk om de drie medianen te volgen, elk beginnend bij een van de hoekpunten.
Wanneer we de drie medianen tegelijkertijd tekenen, ontmoeten de drie elkaar op één punt. Dit punt, weergegeven door G, is het zwaartepunt.
Barycenter eigenschappen
- Eigenschap 1: het zwaartepunt is altijd een binnenpunt van de driehoek.
Omdat de mediaan altijd een binnenste segment van de driehoek is, is het zwaartepunt dat ook, ongeacht de vorm.
- Eigenschap 2: het zwaartepunt verdeelt de mediaan in twee delen waarvan de verhouding 1:2 is.
Als we de hierboven weergegeven driehoek analyseren, hebben we dat:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Hoe wordt het barycentrum berekend?
Wanneer vertegenwoordigd op het cartesiaanse vlak, is het mogelijk om de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek te vinden. Laten we hiervoor Bereken de rekenkundig gemiddelde van x-waarden en ook van y-waarden.
Merk op dat de hoekpunten A(x. zijnDEjaDE), B(xBjaB) en C (xÇjaÇ), dan, om de coördinaten van het zwaartepunt G te vinden (xGjaG), gebruiken we de formule:
Zie ook: Trigonometrie in elke driehoek
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - We kunnen stellen dat het zwaartepunt van de driehoek waarvan de hoekpunten de punten A(2,1), B (-3, 5) en C (4,3) zijn, het punt is:
A) G (1.3).
B)G (3.1).
C)G (3.3).
D) G(-2,-1).
E)G (-1.3).
Resolutie
Alternatief A. Om de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek te vinden, berekenen we het rekenkundig gemiddelde tussen de x-waarden op de punten A, B en C en tussen de y-waarden op dezelfde punten.
Het barycentrum is dus het G-punt (1,3).
Vraag 2 - In één stad worden drie telefoonmasten geplaatst om het probleem met het netwerk en signaalstoring voor mobiele telefoons op te lossen. Het blijkt dat de posities van deze torens zo waren gepland dat het centrum van de stad samenvalt met het zwaartepunt van de driehoek met hoekpunten op A, B en C, de locaties van de torens. Om de positie van de torens te kiezen, werd het stadhuis gedefinieerd als de oorsprong van de as, en het stadscentrum bevond zich op punt (1,-1). Ze zorgden ervoor dat de locaties van de punten A en B A(12, -6), B(-4,-10) zouden zijn. Dus wat moet de locatie van punt C zijn?
EEN) (3.8)
B) (8,-13)
C) (3.8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)
Resolutie
Alternatief D. We weten dat G de locatie in het stadscentrum is, het coördinaatpunt (1,-1).
Zij (x, y) de coördinaten van punt C, dan:
Vind ook de waarde van y:
Zo komen we bij C (-5, 13).
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
