DE eenvoudige combinatie is een van de onderzochte groeperingen in combinatorische analyse. We kennen als een combinatie de telling van alle subsets van k elementen die we kunnen vormen uit een set van Nee elementen.
Het is vrij gebruikelijk om situaties te zien waarin we de combinatie gebruiken, bijvoorbeeld om alle resultaten te berekenen mogelijk in loterijspellen of pokerspellen, en in andere situaties, zoals bij de studie van waarschijnlijkheid en statistiek.
Een andere veel voorkomende groepering is de regeling. Wat rangschikking van combinatie onderscheidt, is het feit dat, in rangschikking, de volgorde van elementen belangrijk is, en in combinatie is de volgorde niet belangrijk. Daarom vergelijken we de combinatie met de keuze van deelverzamelingen.
Lees ook: Fundamenteel principe van tellen - gebruikt om de mogelijkheden te kwantificeren
Wat is een simpele combinatie?
Bij combinatorische analyse wordt het aantal mogelijke clusters bestudeerd. Onder deze groeperingen is er wat bekend staat als eenvoudige combinatie. De simpele combinatie is niets meer dan de
telling van alle subsets met k elementen van een bepaalde set, bijvoorbeeld: de megassena, waarin willekeurig 6 nummers worden getrokken.In dit geval kunt u zien dat de volgorde waarin deze 6 nummers zijn gekozen geen verschil maakt, dat wil zeggen, de volgorde maakt niet uit, waardoor dit resultaat een subset wordt. Dit kenmerk is van fundamenteel belang om te begrijpen wat een combinatie is en om deze te onderscheiden van de andere groeperingen - in de combinatie doet de volgorde van de elementen van de verzameling er niet toe.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
eenvoudige combinatieformule
Problemen met combinaties worden berekend met een formule. de combinatie van Nee elementen ontleend aan k in k é:
n → totale elementen in de set
k → totale elementen in deelverzameling
Zie ook: Additief telprincipe - vereniging van elementen van twee of meer sets
Hoe een combinatie berekenen?
In de eerste plaats, het is belangrijk om te weten wanneer een probleem een combinatie is. Zoek ter illustratie alle mogelijke combinaties van de set {A, B, C, D} met twee elementen:
De combinaties met twee elementen zijn: {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D} en {C, D}. In dit geval is het mogelijk om te zien dat er 6 mogelijke combinaties zijn, en het is ook vermeldenswaard dat de deelverzamelingen {A, B} en {B, A} gelijk zijn, omdat in de combinatie de volgorde niet belangrijk is .
Het blijkt dat het niet altijd mogelijk is om alle mogelijke combinaties op te sommen of zelfs niet nodig is, aangezien de grootste interesse zit in het aantal combinaties en niet in de lijst van elk van hen. Hiervoor is het heel praktisch om de formule te gebruiken.
Voorbeeld:
Een school trekt drie loten, één voor elke leerling, uit de top 10 van de Olympische Spelen voor wiskunde. Na het voltooien van de test en het kennen van de top 10 plaatsen, berekent u de mogelijke combinaties voor het trekkingsresultaat.
Merk op dat in de trekkingsuitslag de volgorde niet belangrijk is, dus we werken met een combinatieprobleem.
We berekenen dan de combinatie van 10 elementen uit 3 van de 3. Substitueren in de formule, we moeten:
Laten we nu de faculteiten vereenvoudigen. Op dit punt is het essentieel om de berekening van de faculteit van een nummer. Zoals 10! groter is dan een van de faculteiten in de noemer, en, kijkend naar de noemer, 7! is de grootste, laten we de vermenigvuldiging van 10 met zijn voorgangers doen tot 7!, zodat het mogelijk is om te vereenvoudigen.
De driehoek van Pascal
Een van de instrumenten die veel wordt gebruikt in combinatorische analyse, voornamelijk om a De binomiaal van Newton, is de driehoek van Pascal. Deze driehoek is opgebouwd uit de resultaten van de combinaties, een andere manier om de combinatie van twee getallen weer te geven is als volgt:
De driehoek van Pascal begint bij rij 0 en kolom 0, door 0 elementen van 0 tot 0 te combineren. De lijnen zijn hetzelfde als: Nee, en de kolommen gelijk aan k, vormen de volgende figuur:
Vervanging van de waarden die het resultaat zijn van de combinaties:
Via de rijen en kolommen van de driehoek van Pascal kunnen we de waarde van de gewenste combinatie vinden. Indien nodig kunnen we de voorwaarden van zoveel regels vinden als nodig is. Lees de tekst voor meer informatie over deze oplossingsmethode: De driehoek van Pascal.
Verschil tussen arrangement en combinatie
Opstelling en combinatie zijn twee even belangrijke groepen die in combinatorische analyse worden bestudeerd. Het is essentieel om het verschil tussen elk van deze groepen te kennen, dat wil zeggen, als we ze gaan berekenen met a regeling of een combinatie.
Het blijkt dat in de combinatie, bij het samenstellen van de clusters, de volgorde van de elementen van de set is niet belangrijk., dat is {A, B} = {B, A}, maar er zijn gevallen waarin de volgorde belangrijk is in de groepering, in dit geval werken we met een array.
Bij de arrangement, dan, de volgorde van de elementen is anders, dat wil zeggen, {A, B} ≠ {B, A}, een voorbeeld van een veel voorkomende regeling zou zijn om te berekenen op hoeveel verschillende manieren we het podium kunnen vormen van een bepaalde competitie tussen 10 personen. Merk op dat in dit voorbeeld de volgorde belangrijk is, waardoor deze kan worden opgelost door de arrangementformule. Naast de theoretische definitie zijn de formules anders, en de arrangement formule é:
opgeloste oefeningen
vraag 1 – (Enem) Twaalf teams schreven zich in voor een amateurvoetbaltoernooi. De openingswedstrijd van het toernooi werd als volgt gekozen: eerst werden 4 teams getrokken om Groep A te vormen. Vervolgens werden onder de teams in Groep A 2 teams getrokken om de openingswedstrijd van het toernooi te spelen, waarvan de eerste in hun eigen veld zou spelen en de tweede het bezoekende team zou zijn. Het totaal aantal mogelijke keuzes voor Groep A en het totaal aantal keuzes voor de teams in het openingsspel kan worden berekend met
A) respectievelijk een combinatie en een arrangement.
B) respectievelijk een arrangement en een combinatie.
C) respectievelijk een rangschikking en een permutatie.
D) twee combinaties.
E) twee regelingen.
Resolutie
alternatief A
Om rangschikking en combinatie te onderscheiden, is het noodzakelijk om te analyseren of orde van belang is in de groepering of niet. Merk op dat in de eerste groepering de volgorde niet relevant is, aangezien groep A wordt gevormd door de 4 teams die onafhankelijk van de volgorde worden getrokken, dat wil zeggen dat er eerst een combinatie is.
Als je de tweede groepering analyseert, is het mogelijk om te zien dat de volgorde daarin van belang is, aangezien het eerste team dat wordt getrokken het veldcommando heeft, waardoor deze groepering een afspraak wordt.
Op deze manier is de bestelling een combinatie en een arrangement.
Vraag 2 - Een gezin bestaande uit 7 volwassenen, na het bepalen van het reisschema van hun reis, raadpleegde de website van een luchtvaartmaatschappij en ontdekte dat de vlucht voor de gekozen datum bijna vol was. In de figuur, beschikbaar op de website, zijn de bezette stoelen gemarkeerd met een X en zijn de enige beschikbare stoelen in het wit.
Het aantal verschillende manieren om het gezin op deze vlucht te huisvesten, wordt berekend door:
Resolutie
alternatief B. Houd er bij het analyseren van de situatie rekening mee dat de volgorde, dat wil zeggen welk gezinslid in welke stoel gaat zitten, niet relevant is. Waar het om gaat zijn de 7 fauteuils die door de familie zijn gekozen. We werken dus met een combinatie. Er zijn 9 plaatsen vrij, waarvan er 7 worden gekozen. dus laten we de combinatie berekenen van 9 tot 7. Substitueren in de formule, we moeten:
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
