Bij trigonometrische functieszijn de functies sinus, cosinus en tangens. Alle trigonometrische functies hebben betrekking op de waarde van hoek in graden of radialen met de waarde van de trigonometrische verhouding, een relatie die kan worden gedaan door de studie van de trigonometrische cyclus. Met de individuele studie van elk van de trigonometrische functies, is het mogelijk om de weergave te maken grafiek, bestudeer onder andere het teken van de functie voor elk van de kwadranten belangrijk.
Lees ook: De 4 meest gemaakte fouten in tbasisstijfheid
Wat zijn goniometrische functies?
De meest voorkomende goniometrische functies zijn de sinusfunctie, de cosinusfunctie en de tangensfunctie. Hun studie is gekoppeld aan de trigonometrische cyclus.
Voor elke hoekwaarde is er een unieke sinus- en cosinuswaarde. Goniometrische functies zijn niets meer dan de relatie tussen de hoek en de waarde van de trigonometrische verhouding voor die hoek. Onthoud dat de waarde van deze hoek kan worden gegeven in radialen of graden en dat de waarde van sinus en cosinus altijd een
echt nummer tussen -1 en 1.
Merk in de afbeelding op dat, voor elke hoek, de cosinus en sinus toegevenm een waarde. Het is gebaseerd op de studie van elk van de trigonometrische functies dat we de relatie tussen de hoekwaarde en de trigonometrische verhoudingswaarde observeren.
Lees ook: Wat zijn de opmerkelijke hoeken?
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
cosinus functie
De cosinusfunctie is de functie f: R → R, waarvan de vormingswet is f(x) = cos(x). Als de cosinus van een hoek is altijd een getal tussen 1 en -1, dan -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Domein
Het domein van de cosinusfunctie is de set van reële getallen, omdat er geen beperking is op de waarde van x, waarbij x de hoek in radialen is. Voor elk reëel getal kun je de waarde van cos(x) vinden, dus Df= EEN.
Beeld
We weten dat het tegendomein van de cosinusfunctie de verzameling reële getallen is, maar als we het beeld van de functie analyseren, is het mogelijk om te zien dat het altijd een waarde groter dan of gelijk aan -1 en kleiner dan of gelijk aan 1, aangezien de trigonometrische cyclus straal 1 heeft, dus de grootste waarde die de cosinusfunctie kan aannemen is 1, en op dezelfde manier is de kleinste waarde die deze kan aannemen -1. Ik = [-1, 1]
Cosinus functie grafiek
De grafiek van de cosinusfunctie isbevatte tussenin de rechte stukkeny = -1 en y = 1. Onthoud dat dit gebeurt omdat de afbeelding van de functie altijd een getal tussen -1 en 1 is en een oplopend deel en een afnemend deel heeft, zoals we hieronder kunnen zien:
Door de hoekwaarde te matchen met de trigonometrische verhoudingswaarde, kun je zien dat: de afbeelding heeft een cyclisch gedrag, dat wil zeggen, het gedrag herhaalt zich altijd periodiek. De grafiek van de cosinusfunctie staat bekend als de cosinus.
Signaal
We weten dat in de trigonometrische cyclus de cosinus heeft positieve waardenin het I en IV kwadrant. Het eerste kwadrant ligt tussen 0º en 90º en het vierde kwadrant ligt tussen 270º en 360º. In radialen is de functie positief voor waarden van x tussen 0 en π/2 en tussen 3π/2 en 2π.
De cosinusfunctie heeft negatieve waardenin het II en III kwadrant, dat wil zeggen, de hoek ligt tussen 90º en 270º. In radialen, als de cosinusfunctie negatief is, ligt x tussen π/2 en 3π/2.
Cosinus functie periode
De grafiek van de cosinusfunctie heeft a 2π periode. Als je analyseert, is het mogelijk om te zien dat de grafiek zich in het bereik van 0 tot 2 bevindt. Voor waarden voor of na dit bereik wordt de grafiek herhaald.
Pariteit
De cosinusfunctie wordt beschouwd als a even functie, omdat er symmetrie in de grafiek is met betrekking tot de y-as. Wanneer een functie als even wordt beschouwd, moeten we f (x) = f (-x), dat wil zeggen cos (x) = cos (-x).
Opmerkelijke bogen van de cosinusfunctie
Laten we eens kijken naar de cosinuswaarde voor de hoofdhoeken:
Zie ook: Secans, cosecans en cotangens - inverse trigonometrische verhoudingen van sinus, cosinus en tangens
sinusfunctie
De cosinusfunctie is de functie f: R → R, waarvan de vormingswet is f(x) = zonde(x). Zoals de sinus van een hoek, net als de cosinus, is altijd een getal tussen 1 en -1, dan -1 ≤ sin (x) ≤ 1.
Domein
Het domein van de sinusfunctie is de verzameling van reële getallen. De functie f(x) = sin (x) is gedefinieerd voor alle reële getallen, dus Df= EEN.
Beeld
Het beeld van de sinusfunctie heeft maximale waarde in f(x) = 1 en minimumwaarde wanneerf(x) = -1. Dus de afbeelding van de functie is het werkelijke bereik [-1, 1].
sinus functie grafiek
De grafiek van de sinusfunctie het wordt ook beperkt door de horizontale lijnen y = -1 en y = 1. Het gedrag is vergelijkbaar met dat van de periodieke sinusfunctie, met toenemende intervallen en afnemende intervallen. Zie de grafische weergave van de sinusfunctie in het Cartesiaanse vlak hieronder:
De grafiek van de sinusfunctie is ook periodiek en staat bekend als een sinus.
Signaal
In tegenstelling tot de cosinusfunctie, is de sinusfunctie heeft positieve waarden inzo kwadrantzo ik en II eerst, dat wil zeggen, voor hoeken tussen 0° en 180°. In radialen is de functie positief voor waarden tussen 0 en π.
De sinusfunctie heeft negatieve waardenin IIik en IV kwadrantzo, dat wil zeggen, de hoek ligt tussen 180º en 360º. In radialen, als de sinusfunctie negatief is, ligt x tussen π en 2π.
Cosinus functie periode
De grafiek van de sinusfunctie heeft a periode van 2π. Dit betekent dat, na of voor het interval van 0 tot 2π, de grafiek periodiek is, dat wil zeggen dat hij zichzelf herhaalt.
Pariteit
De sinusfunctie wordt beschouwd als a bezetting impaar-, omdat er symmetrie in de grafiek is ten opzichte van de bissectrice van de oneven kwadranten. Wanneer een functie als oneven wordt beschouwd, moeten we f (x) = -f (x), dat wil zeggen, sin (-x) = -sin (x).
Opmerkelijke bogen van de sinusfunctie
Laten we eens kijken naar de sinuswaarde voor de hoofdhoeken:
Tangens functie
We weten dat de raaklijn is de reden tussen sinus en cosinus. In tegenstelling tot de twee voorgaande goniometrische functies heeft de tangensfunctie geen maximum of minimumwaarde. Daarnaast zijn er beperkingen voor het domein, maar de wet van vorming van de raaklijnfunctie is f(x) = bruin (x).
Domein
De tangensfunctie heeft beperkingen voor zijn domein, omdat het wordt gevormd door de verhouding tussen de sinus en de cosinus, er zijn geen waarden voor tangens wanneer cos (x) = 0. Met een gewicht in de trigonometrische cyclus van 0º tot 360º is de tangensfunctie niet gedefinieerd voor de hoeken van 90º en 270º, aangezien dit de waarden zijn waarbij de cosinus gelijk is aan 0. Als er hoeken zijn die groter zijn dan één volledige omwenteling, maken al die hoeken waar de cosinuswaarde 0 is geen deel uit van het domein van de cosinusfunctie.
Beeld
In tegenstelling tot de sinusfunctie en de cosinusfunctie, het beeld van de tangensfunctie is de verzameling reële getallen, dat wil zeggen, het is niet beperkt en heeft geen maximale of minimale waarde. ik = R
Tangens functie grafiek
De tangensfunctie is ook periodiek zoals de sinus- en cosinusfuncties, dat wil zeggen dat deze altijd wordt herhaald. Als we vergelijken:
Signaal
de tangensfunctie heeft een positieve waarde voor de oneven kwadranten, dat wil zeggen, ik en III kwadranten. Voor hoeken tussen 0º en 90º en hoeken tussen 180º en 270º heeft de functie positieve waarden. In radialen moet de waarde van x tussen 0 en π/2 of π en 3π/2 liggen.
Tijdsverloop
De periode van de tangensfunctie is ook anders dan de sinus- en cosinusfuncties. O periode van de raaklijnfunctie is π.
Pariteit
de tangensfunctie é een vreemde functie, omdat tan(-x) = -tan (x), dus er is symmetrie in de grafiek met betrekking tot de oorsprong van de cartesiaans vlak.
Opmerkelijke bogen van de tangensfunctie
Laten we eens kijken naar de raaklijnwaarde voor de hoofdhoeken:
Zie ook: Hoe sinus en cosinus van aanvullende hoeken te vinden?
Oefeningen opgelost
Vraag 1 - (Enem 2017) Zonnestralen bereiken het oppervlak van een meer en vormen een hoek x met het oppervlak, zoals weergegeven in de afbeelding.
Onder bepaalde omstandigheden kan worden aangenomen dat de lichtsterkte van deze stralen, op het oppervlak van het meer, bij benadering gegeven worden door I(x) = k · sin(x), waarbij k een constante is, en aangenomen dat X tussen 0° en 90º.
Wanneer x = 30º, wordt de lichtsterkte teruggebracht tot welk percentage van de maximale waarde?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Resolutie
alternatief B
In het bereik van 0º tot 90º heeft de sinusfunctie de hoogste waarde wanneer x = 90º, dus we moeten:
i = k · sin (90º)
ik = k · 1
ik = k
Nu, wanneer x = 30º, moeten we:
i = k · zonder (30e)
ik = k · 1/2
ik = k/2
Merk op dat de intensiteit i met de helft is verminderd, namelijk 50%.
Vraag 2 - (Enem 2015) Volgens het Braziliaanse Instituut voor Geografie en Statistiek (IBGE) zijn seizoensproducten producten met duidelijk gedefinieerde cycli van productie, consumptie en prijs. Kortom, er zijn tijden van het jaar waarin de beschikbaarheid ervan op de detailhandelsmarkten schaars is, met hoge prijzen, soms is het overvloedig, met lagere prijzen, die optreedt in de maand van maximale productie van de oogst. Uit een historische reeks werd vastgesteld dat de prijs P, in reais, van de kilogram van een bepaald seizoensproduct kan worden beschreven door de functie:
Waarbij x staat voor de maand van het jaar, waarbij x = 1 geassocieerd met de maand januari, x = 2, met de maand februari, enzovoort, tot x = 12, geassocieerd met de maand december.
In de oogst is de maand van maximale productie van dit product
A) Januari.
B) april.
C) juni.
D) juli.
E) Oktober.
Resolutie
alternatief D
De oogst laat maximale productie toe wanneer de prijs het laagst is, we weten dat de cosinusfunctie zijn minimumwaarde aanneemt wanneer cos(x) = -1.
De hoek met een cos-waarde van -1 is de hoek π. Dus het hoekargument moet gelijk zijn aan π, dus we moeten:
Maand 7 is de maand juli.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
