Factoring is een proces dat in de wiskunde wordt gebruikt en dat bestaat uit het weergeven van een getal of een uitdrukking als een product van factoren.
Door een veelterm te schrijven zoals de vermenigvuldiging van andere veeltermen, kunnen we de uitdrukking vaak vereenvoudigen.
Bekijk de soorten polynomiale factorisatie hieronder:
Gemeenschappelijke factor in het bewijs
We gebruiken dit type factorisatie wanneer er een factor is die zichzelf herhaalt in alle termen van de polynoom.
Deze factor, die cijfers en letters kan bevatten, wordt voor de haakjes geplaatst.
Binnen de haakjes zal het resultaat zijn van het delen van elke term van het polynoom door de gemeenschappelijke factor.
Laten we in de praktijk de volgende stappen uitvoeren:
1º) Bepaal of er een getal is dat alle coëfficiënten van de polynoom deelt en letters die in alle termen worden herhaald.
2º) Zet de gemeenschappelijke factoren (cijfer en letters) voor de haakjes (als bewijs).
3e) Plaats tussen haakjes het resultaat van het delen van elke factor van de polynoom door de factor die aanwezig is. In het geval van letters gebruiken we de regel van de verdeling van bevoegdheden van dezelfde basis.
Voorbeelden
a) Wat is de factorvorm van de polynoom 12x + 6y - 9z?
Eerst identificeren we dat het nummer 3 verdeelt alle coëfficiënten en dat er geen letter is die zich herhaalt.
We plaatsen het getal 3 voor de haakjes, we delen alle termen door drie en het resultaat plaatsen we tussen de haakjes:
12x + 6j - 9z = 3 (4x + 2j - 3z)
b) Factor 2a2b + 3a3c - a4.
Omdat er geen getal is dat 2, 3 en 1 tegelijkertijd deelt, zullen we geen getal voor de haakjes plaatsen.
De brief De wordt herhaald in alle termen. De gemeenschappelijke factor is de De2, wat de kleinste exponent is van De in uitdrukking.
We delen elke term van de polynoom door De2:
2e2 b: de2 = 2e2 - 2 b = 2b
3e3c: de2 = 3e3 - 2 c = 3ac
De4: een2 = de2
We zetten de De2 voor haakjes en de resultaten van verdelingen tussen haakjes:
2e2b + 3a3c - a4 = de2 (2b + 3ac - a2)
groepering
In de polynoom die niet bestaat een factor die in alle termen wordt herhaald, kunnen we de factorisatie gebruiken door te groeperen.
Hiervoor moeten we termen identificeren die kunnen worden gegroepeerd op gemeenschappelijke factoren.
Bij dit type factorisatie brengen we de gemeenschappelijke factoren van de groeperingen in het bewijs.
Voorbeeld
Factor de polynoom mx + 3nx + my + 3ny
De voorwaarden mx en 3nx heeft als gemeenschappelijke factor de X. al de voorwaarden mijn en 3 jaar hebben als gemeenschappelijke factor de ja.
Deze factoren bewijzen:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Merk op dat (m + 3n) nu ook in beide termen wordt herhaald.
Als we het opnieuw bewijzen, vinden we de ontbonden vorm van de polynoom:
mx + 3nx + mijn + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Perfect Vierkant Trinomiaal
Trinomen zijn veeltermen met 3 termen.
De perfecte vierkante trinomialen a2 + 2ab + b2 en de2 - 2ab + b2 resultaat van het opmerkelijke product van het type (a + b)2 en (a - b)2.
Dus de ontbinding in factoren van de perfecte vierkante trinominaal zal zijn:
De2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kwadraat van de som van twee termen)
De2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kwadraat van het verschil van twee termen)
Om erachter te komen of een trinominaal echt een perfect vierkant is, doen we het volgende:
1º) Bereken de vierkantswortel van de termen die in het kwadraat verschijnen.
2) Vermenigvuldig de gevonden waarden met 2.
3e) Vergelijk de gevonden waarde met de term die geen vierkanten heeft. Als ze gelijk zijn, is het een perfect vierkant.
Voorbeelden
a) Factor de polynoom x2 + 6x + 9
Eerst moeten we testen of de polynoom een perfect vierkant is.
x2 = x en √9 = 3
Vermenigvuldigen met 2 vinden we: 2. 3. x = 6x
Aangezien de gevonden waarde gelijk is aan de term die niet gekwadrateerd is, is de polynoom perfect gekwadrateerd.
De factorisatie zal dus zijn:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Factor de polynoom x2 - 8xy + 9y2
Testen of het een perfecte vierkante trinominaal is:
x2 = x en √9y2 = 3 jaar
De vermenigvuldiging doen: 2. X. 3y = 6xy
De gevonden waarde komt niet overeen met de term van de polynoom (8xy ≠ 6xy).
Omdat het geen perfecte vierkante trinominaal is, kunnen we dit type ontbinden in factoren niet gebruiken.
Verschil van twee vierkanten
Om polynomen van het type a. te ontbinden2 - B2 we gebruiken het opmerkelijke product van som en verschil.
Dus de factorisatie van polynomen van dit type zal zijn:
De2 - B2 = (a + b). (a - b)
Om te factoriseren, moeten we de vierkantswortel van de twee termen berekenen.
Schrijf vervolgens het product van de som van de gevonden waarden en het verschil tussen deze waarden.
Voorbeeld
Factor de 9x binomiaal2 - 25.
Zoek eerst de vierkantswortel van de termen:
√9x2 = 3x en √25 = 5
Schrijf deze waarden als een product van de som en het verschil:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
perfecte kubus
de veeltermen a3 + 3e2b+3ab2 + b3 en de3 - 3e2b+3ab2 - B3 resultaat van het opmerkelijke product van het type (a + b)3 of (a - b)3.
De gefactoreerde vorm van de perfecte kubus is dus:
De3 + 3e2b+3ab2 + b3 = (a + b)3
De3 - 3e2b+3ab2 - B3 = (a - b)3
Om dergelijke veeltermen buiten beschouwing te laten, moeten we de derdemachtswortel van de termen tot de derde macht berekenen.
Daarna is het nodig om te bevestigen dat de polynoom een perfecte kubus is.
Als dat zo is, doen we de som of aftrekking van de waarden van de gevonden kubieke wortels in een kubus.
Voorbeelden
a) Factor de polynoom x3 + 6x2 + 12x + 8
Laten we eerst de derdemachtswortel van de termen in blokjes berekenen:
3x3 = x en 3√ 8 = 2
Bevestig vervolgens of het een perfecte kubus is:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Aangezien de gevonden termen dezelfde zijn als de termen in de polynoom, is het een perfecte kubus.
De factorisatie zal dus zijn:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Factor de polynoom a3 - 9e2 + 27e - 27e
Laten we eerst de derdemachtswortel van de termen in blokjes berekenen:
3naar3 = een en 3√ - 27 = - 3
Bevestig vervolgens of het een perfecte kubus is:
3. De2. (-3) = - 9e2
3. De. (- 3)2 = 27e
Aangezien de gevonden termen dezelfde zijn als de termen in de polynoom, is het een perfecte kubus.
De factorisatie zal dus zijn:
De3 - 9e2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Lees ook:
- Potentiëring
- Veeltermen
- Polynomiale functie
- priemgetallen
Opgelost Oefeningen
Factor de volgende polynomen:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 - de2
e) 9e2 + 12e + 4
a) 11. (3x + 2j - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x – 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - een)
e) (3e + 2)2
Zie ook:
- Algebraïsche uitdrukkingen
- Oefeningen op algebraïsche uitdrukkingen
- opmerkelijke producten
- Opmerkelijke producten - Oefeningen
