aprēķināt faktoriāls skaitlim ir jēga tikai tad, kad mēs strādājam ar dabiskajiem skaitļiem. Šī operācija ir diezgan izplatīta kombinatoriskā analīze, atvieglojot izkārtojumu, permutāciju, kombināciju un citu skaitīšanas problēmu aprēķināšanu. Faktorial ir ko apzīmē simbols “!”. Mēs to definējam kā n! (n faktoriāls) uz n reizināšana ar visiem tā priekšgājējiem līdz sasniedzat 1. Nē! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Lasiet arī: Skaitīšanas pamatprincips - kombinatoriskās analīzes pamatjēdziens
Kas ir faktoriāls?
Factorial ir ļoti svarīga operācija kombinatoriskās analīzes izpētei un attīstībai. Matemātikā skaitlim seko izsaukuma simbols (!) ir pazīstams kā faktoriāls, piemēram, x! (x faktoriāls).
Mēs zinām kā faktori a dabiskais skaitlis The reizinot šo skaitli ar tā priekšgājējiem, izņemot nulli, t.i.
Nē! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Jāatzīmē, ka, lai šai operācijai būtu jēga, n ir naturāls skaitlis, tas ir, mēs neaprēķinām negatīvā skaitļa, pat decimāldaļas vai frakciju faktoriālo.
faktoru aprēķins
Lai atrastu skaitļa faktoriālu, vienkārši aprēķiniet reizinājumu. Ņemiet vērā arī to, ka faktorial ir operācija, kas, kad palielināt n vērtību, rezultāts arī daudz palielināsies.
Piemēri:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Pēc definīcijas mums ir:
0! = 1
1! = 1
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vairāk;)
Faktorālās operācijas
Lai atrisinātu faktoru darbības, ir svarīgi būt uzmanīgiem un nepieļaut kļūdas. Kad mēs pievienosim, atņemsim vai reizināsim divas faktoriāles, ir nepieciešams aprēķināt katru no tām atsevišķi. Tikai nodaļai ir īpaši veidi, kā veikt vienkāršojumus. Nepieļaujiet kļūdu, veicot operāciju un saglabājot faktorialuvai nu saskaitīšanai un atņemšanai, vai reizināšanai.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Risinot kādu no šīm operācijām, mums jāaprēķina katra no faktorijām.
Piemēri:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Skatīt arī: Kā atrisināt vienādojumu ar faktoriālo?
Faktorālā vienkāršošana
Sadalījumi ir diezgan atkārtoti. Formulās kombinācija, izkārtojums un permutācija ar atkārtojumu, mēs vienmēr izmantosim vienkāršošanu, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar faktoriālo. Lai to izdarītu, izpildīsim dažus soļus.
Piemērs:
1. solis: identificējiet lielāko no faktorijām - šajā gadījumā tas ir 8! Tagad, aplūkojot saucēju, kas ir 5!, uzrakstīsim tā priekšgājēju reizinājumu ar 8, līdz mēs nonāksim līdz 5 !.
Skaitļa n faktoriālu, tas ir, n!, Var pārrakstīt kā n reizinājumu ar k!. Tādējādi
Nē! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, tāpēc pārrakstīsim 8! patīk reizināt no 8 līdz 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Tātad pārrakstīsim iemeslu:
2. solis: pēc pārrakstīšanas iemesls, ir iespējams vienkāršot skaitītāju ar saucēju, jo 5! tas ir gan skaitītājā, gan saucējā. Pēc vienkāršošanas vienkārši veiciet reizināšanu.
2. piemērs:
Kombinatoriskā un faktoru analīze
Veicot turpinot kombinatorisko analīzi, vienmēr parādīsies skaitļa faktoriāls. Kombinatoriskās analīzes galvenie grupējumi, kas ir permutācija, kombinācija un izkārtojums, savās formulās izmanto skaitļa faktoriālu.
Permutācija
permutācija un visu kopas elementu pārkārtošana. Lai aprēķinātu permutāciju, mēs izmantojam faktoriālo, jo n elementu permutāciju aprēķina:
PNē = n!
Piemērs:
Cik daudz anagrams vai mēs varam veidot ar nosaukumu HEITOR?
Šī ir tipiska permutācijas problēma. Tā kā nosaukumā ir 6 burti, lai aprēķinātu iespējamo anagramu skaitu, vienkārši aprēķiniet P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Piekļūstiet arī: Permutācija ar atkārtotiem elementiem: kā to atrisināt?
Vienošanās
Aprēķiniet kārtību tas prasa arī apgūt skaitļa faktoriālu. Izkārtojums, tāpat kā permutācija, ir pārkārtošanas veidošanās. Atšķirība ir izkārtojumā mēs pārkārtojam komplekta daļu, tas ir, mēs vēlamies uzzināt, cik daudz iespējamo pārkārtojumu mēs varam izveidot, izvēloties daudzumu k no viena komplekts ar n elementiem.
Piemērs:
Kādā uzņēmumā iestādi vada 6 kandidāti, divi tiks atlasīti direktora un direktora vietnieka amatiem. Cik daudz ir iespējamo rezultātu, zinot, ka viņus ievēlēs balsojot?
Šajā gadījumā mēs aprēķināsim 6 kārtojumu, kas ņemti no 2 pret 2, jo uz divām vakancēm ir 6 kandidāti.
Kombinācija
Kombinācijā, tāpat kā citās, ir jāapgūst skaitļa faktoriāls. Mēs definējam kā kombināciju jūs kopas apakškopas. Atšķirība ir tāda, ka kombinācijā nav pārkārtošanas, jo pasūtījums nav svarīgs. Tātad mēs aprēķinām, cik apakškopas ar k elementiem mēs varam veidot n elementu kopumā.
Piemērs:
Klases pārstāvēšanai tiks izvēlēta 3 studentu komiteja. Zinot, ka ir 5 kandidāti, cik var izveidot komisijas?
Lasiet arī: Vienošanās vai kombinācija?
Vingrinājumi atrisināti
Jautājums 1 - Par skaitļa faktoriālu vērtējiet šādus apgalvojumus.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Tikai es esmu patiess.
B) Tikai II ir taisnība.
C) Tikai III ir taisnība.
D) Patiesība ir tikai I un II.
E) Patiesi ir tikai II un II.
Izšķirtspēja
A alternatīva
I) Patiesi.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Nepatiesa.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Nepatiesa.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
2. jautājums - (UFF) Vai produkts 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 ir ekvivalents?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Izšķirtspēja
D alternatīva
Aplūkojot visu pāra skaitļu no 2 līdz 20 reizinājumu, mēs zinām, ka:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Tātad mēs varam pārrakstīt kā 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
