O Paskāla trīsstūris tas ir diezgan vecs matemātikas rīks. Visā vēsturē tas ir saņēmis vairākus vārdus, taču šodien tiek pieņemti visvairāk aritmētiskais trīsstūris un Paskāla trīsstūris. Otrais vārds ir veltījums matemātiķim, kurš sniedza vairākus ieguldījumus šī trijstūra izpētē. nozīmē, ka trīsstūri ir izgudrojis viņš, bet viņš bija tas, kurš to padziļināti izpētīja rīks.
No Paskāla trijstūra īpašībām ir iespējams to konstruēt loģiski. Izceļas arī jūsu attiecības ar kombinācijas pētīta kombinatoriskajā analīzē. Pascal trīsstūra nosacījumi atbilst arī binomiālajiem koeficientiem, un tāpēc tie ir ļoti noderīgi jebkura Ņūtona binomāla aprēķināšanai.
Lasiet arī: Briot-Ruffini ierīce - metode polinomu dalīšanai
Paskāla trīsstūra uzbūve
Paskāla trīsstūris tiek iegūts no kombināciju rezultāta, tomēr ir praktiska metode, kas atvieglo tās izveidi. Pirmā rinda un pirmā kolonna tiek skaitītas kā nulle un kolonna nulle. Mēs varam izmantot tik daudz līniju, cik nepieciešams šajā konstrukcijā trīsstūrim var būt bezgalīgas līnijas. Līniju izstrādes pamatojums vienmēr ir vienāds. Skaties:
Mēs to zinām trīsstūra termini ir kombinācijas, mācījās kombinatoriskā analīze. Lai aizstātu Paskāla trīsstūri ar skaitliskām vērtībām, mēs zinām, ka skaitļa kombinācija ar nulli un skaitļa kombinācija ar sevi vienmēr ir vienāda ar 1. Tāpēc pirmā un pēdējā vērtība vienmēr ir 1.
Lai atrastu pārējos, mēs sākam ar 2. rindiņu, jo 0. un 1. rindiņa jau ir pabeigta. 2. rindā, lai atrastu kombināciju no 2 līdz 1, augšējā rindā, tas ir, 1. rindā, pievienosim terminu virs tā tajā pašā slejā un terminu virs tā iepriekšējā slejā, kā parādīts attēlā :
Pēc 2. līnijas izbūves ir iespējams uzcelt 3. līniju, veicot to pašu procedūru.
Turpinot šo procedūru, mēs atradīsim visus noteikumus - šajā gadījumā līdz 5. rindai -, bet ir iespējams uzbūvēt tik daudz līniju, cik nepieciešams.
Paskāla trīsstūra īpašības
Tur ir daži Paskāla trijstūra īpašības, tā uzbūves regularitātes dēļ. Šīs īpašības ir noderīgas darbam ar kombinācijām, pašas trīsstūra līniju konstrukcijai un līniju, kolonnu un diagonāļu summai.
1. īpašums
Pirmais īpašums bija tas, ko mēs izmantojām, lai izveidotu trīsstūri. Tātad uz atrast terminu Paskāla trijstūrī, vienkārši pievienojiet terminu, kas atrodas rindā virs tā, un to pašu kolonnu ar terminu, kas atrodas kolonnā un rindā pirms tā. Šo īpašumu var attēlot šādi:
Šis īpašums ir pazīstams kā Stifela attiecības un ir svarīgi atvieglot trīsstūra uzbūvi un atrast katras līnijas vērtības.
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vēl vairāk;)
2. īpašums
Visu rindas vārdu summu aprēķina:
sNē=2Nē, uz ko Nē ir līnijas numurs.
Piemēri:
Izmantojot šo īpašumu, ir iespējams zināt visu rindā esošo vārdu summa bez nepieciešamības konstruēt Paskāla trīsstūri. Piemēram, 10. rindas summu var aprēķināt ar 210 = 1024. Kaut arī visi termini nav zināmi, jau tagad ir iespējams uzzināt visas līnijas summas vērtību.
3. īpašums
Terminu summa, kas secībā no dotās kolonnas sākuma P līdz noteiktai līnijai Nē ir tāds pats kā termins līnijā n +1 aizmugure un kolonna p +1 vēlāk, kā parādīts zemāk:
4. īpašums
Diagonāles summa, kas sākas 0 kolonnā un iet uz terminu p slejā un n rindā, ir vienāda ar terminu tajā pašā slejā (p), bet rindā zemāk (n + 1), kā parādīts attēlā :
5. īpašums
Pascal trīsstūra līnijās ir simetrija. Pirmais un otrais termins ir vienāds, otrais un priekšpēdējais termins ir vienāds utt.
Piemērs:
6. rinda: 1615 20 156 1.
Ņemiet vērā, ka termini ir vienādi no diviem līdz diviem, izņemot centrālo terminu.
Skatīt arī: Polinoma dalījums: kā to atrisināt?
Ņūtona binomāls
Mēs definējam Ņūtona binomu a viena spēks polinoms kurai ir divi termini. Binoma aprēķins ir saistīts ar Paskāla trijstūri, kas kļūst par mehānismu, lai aprēķinātu to, ko mēs saucam par binomiālajiem koeficientiem. Lai aprēķinātu binomu, mēs izmantojam šādu formulu:
Ņemiet vērā, ka eksponenta vērtība The tas samazinās, līdz pēdējā termiņā tas ir vienāds ar The0. Mēs zinām, ka katrs skaitlis, kas paaugstināts līdz 0, ir vienāds ar 1, tāpēc šis termins The neparādās pēdējā sasaukumā. Ņemiet vērā arī to, ka B sākas ar B0, drīz B neparādās pirmajā termiņā un palielinās līdz sasniegšanai BNē, pēdējā sasaukumā.
Turklāt katram terminam pievienoto skaitli saucam par koeficientu - šajā gadījumā to sauc par binomālo koeficientu. Lai labāk izprastu, kā atrisināt šāda veida binomu, piekļūstiet mūsu tekstam: Ņūtona binomāls.
binomālais koeficients
Binomiālais koeficients ir nekas cits kā kombinācija, kuru var aprēķināt, izmantojot formulu:
Tomēr, lai atvieglotu Ņūtona binomāla aprēķināšanu, ir svarīgi izmantot Paskāla trīsstūri, jo tas mums dod kombinācijas rezultātu ātrāk.
Piemērs:
Lai atrastu binomālā koeficienta rezultātu, atrodam Paskāla trīsstūra 5. rindas vērtības, kas ir {1,5,10,10,5,1}.
(x + y)5= 1x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ 1 g5
Vienkārši liec:
(x + y)5= x5+ 5x4y + 10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+ y5
atrisināti vingrinājumi
Jautājums 1 - Zemāk izteiksmes vērtība ir?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Izšķirtspēja
A alternatīva
Pārgrupējot pozitīvās un negatīvās vērtības, mums:
Ņemiet vērā, ka mēs faktiski aprēķinām atskaitījumu starp Paskāla trīsstūra 4. un 3. līniju. Pēc īpašuma mēs zinām, ka:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2. jautājums - Kāda ir izteiksmes vērtība zemāk?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Izšķirtspēja
B alternatīva
Ņemiet vērā, ka termiņus no Paskāla trīsstūra 1. kolonnas pievienojam 7. rindai, pēc tam - 3. rindai rekvizītu, šīs summas vērtība ir vienāda ar terminu, kas aizņem 7. + 1. rindu un 1. + 1. aili, tas ir, 8. rindu, 2. sleja. Tā kā mēs vēlamies tikai vienu vērtību, visa Pascal trīsstūra izveidošana nav ērta.
Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs
