Analītiskā ģeometrija pēta ģeometriskos elementus koordinātu sistēmā plaknē vai telpā. Šos ģeometriskos objektus nosaka to atrašanās vieta un novietojums attiecībā pret šīs orientācijas sistēmas punktiem un asīm.
Kopš senajām tautām, piemēram, ēģiptiešiem un romiešiem, koordinātu ideja jau ir parādījusies vēsturē. Bet tieši 17. gadsimtā ar Renē Dekarta un Pjēra de Fermā darbiem šī matemātikas joma tika sistematizēta.
Dekarta ortogonālā sistēma
Ortogonālā Dekarta sistēma ir atsauces bāze koordinātu noteikšanai. To plaknē veido divas viena otrai perpendikulāras asis.
- Šīs sistēmas O(0,0) izcelsme ir šo asu krustpunkts.
- X ass ir abscisa.
- Y ass ir ordinātas.
- Četri kvadranti ir vērsti pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
pasūtīts pāris
Jebkuram plaknes punktam ir koordināte P(x, y).
x ir punkta P abscisa un veido attālumu no tā ortogonālās projekcijas uz x asi līdz sākuma punktam.
y ir punkta P ordināta un attālums no tā ortogonālās projekcijas uz y ass līdz sākuma punktam.
attālums starp diviem punktiem
Attālums starp diviem punktiem Dekarta plaknē ir segmenta garums, kas savieno šos divus punktus.
Attāluma starp diviem punktiem formula un
jebkura.
Viduspunkta koordinātas
Viduspunkts ir punkts, kas sadala segmentu divās vienādās daļās.
Būt segmenta viduspunkts
, tā koordinātas ir abscisu un ordinātu vidējās aritmētiskās vērtības.
un
Trīs punktu izlīdzināšanas nosacījums
Ņemot vērā punktus: .
Šie trīs punkti tiks izlīdzināti, ja nākamās matricas determinants ir vienāds ar nulli.
Piemērs
Līnijas leņķiskais koeficients
slīpums taisna līnija ir tās slīpuma tangenss
attiecībā pret x asi.
Lai iegūtu slīpumu no diviem punktiem:
Ja m > 0, līnija ir augoša, pretējā gadījumā, ja m < 0, līnija ir dilstoša.
līnijas vispārējais vienādojums
Kur ,B un ç ir nemainīgi reāli skaitļi un The un B tās vienlaikus nav nulles.
Piemērs
Līnijas vienādojums, zinot punktu un slīpumu
dots punkts un slīpums
.
Līnijas vienādojums būs šāds:
Piemērs
Taisnā vienādojuma reducēta forma
Kur:
m ir slīpums;
n ir lineārais koeficients.
Nē ir sakārtots vietā, kur līnija krustojas ar y asi.
Piemērs
Skaties Līnijas vienādojums.
Relatīvā pozīcija starp divām paralēlām taisnēm plaknē
Divas atšķirīgas līnijas ir paralēlas, ja to slīpumi ir vienādi.
ja taisni r ir slīpums , un taisni s ir slīpums
, tie ir paralēli, ja:
Šim nolūkam jūsu tieksmēm jābūt vienādām.
Pieskares ir vienādas, ja leņķi ir vienādi.
Relatīvā pozīcija starp divām konkurējošām taisnēm plaknē
Divas līnijas ir vienlaikus, ja to slīpumi ir atšķirīgi.
Savukārt nogāzes atšķiras, ja to slīpuma leņķi attiecībā pret x asi ir atšķirīgi.
perpendikulāras līnijas
Divas atliekas ir perpendikulāras, ja to slīpumu reizinājums ir vienāds ar -1.
divas taisnes r un s, izteikti, ar nogāzēm un
, ir perpendikulāri tad un tikai tad, ja:
vai
Vēl viens veids, kā uzzināt, vai divas līnijas ir perpendikulāras, ir to vienādojumi vispārējā formā.
Līniju r un s vienādojumi ir:
Divas līnijas, kas ir perpendikulāras tai, ja:
Skaties Perpendikulāras līnijas.
Apkārtmērs
Apkārtmērs ir plaknes lokuss, kurā visi punkti P(x, y) ir vienādi r no tā centra C(a, b), kur r ir rādiusa mērs.
Apkārtmēra vienādojums samazinātā formā
Kur:
r ir rādiuss, attālums starp jebkuru punktu uz jūsu loka un centru. Ç.
The un B ir centra koordinātas Ç.
apļa vispārējais vienādojums
To iegūst, izstrādājot apkārtmēra reducētā vienādojuma kvadrātos.
Ļoti bieži vingrinājumos tiek parādīta apkārtmēra vienādojuma vispārējā forma, kas pazīstama arī kā parastā forma.
konusveida
Vārds konisks nāk no konusa un attiecas uz līknēm, kas iegūtas, to sadalot. Elipse, hiperbola un parabola ir līknes, ko sauc par koniskām.
Elipse
Elipse ir slēgta līkne, kas iegūta, pārgriežot taisnu riņķveida konusu ar plakni, kas ir slīpa pret asi, kas neiet cauri virsotnei un nav paralēla tās ģenerātrijām.
Plaknē visu punktu kopa, kuru attālumu summa līdz diviem iekšējiem fiksētiem punktiem ir nemainīga.
Elipses elementi:
- F1 un F2 ir elipses perēkļi;
- 2c ir elipses fokusa attālums. Tas ir attālums starp F1 un F2;
- Jēga O tas ir elipses centrs. Tas ir viduspunkts starp F1 un F2;
- A1 un A2 ir elipses virsotnes;
- segmentu
galvenā ass un vienāda ar 2a.
- segmentu
mazā ass ir vienāda ar 2b.
- Ekscentriskums
kur 0 < un < 1.
Samazināts elipses vienādojums
Apsveriet punktu P(x, y), kas atrodas elipsē, kur x ir abscisa un y ir šī punkta ordināta.
Elipses centrs koordinātu sistēmas sākumā un galvenā ass (AA) uz x ass.
Elipses centrs koordinātu sistēmas sākumā un galvenā ass (AA) uz y ass.
Samazināts elipses vienādojums ar asīm, kas ir paralēlas koordinātu asīm
apsverot kādu punktu kā Dekarta sistēmas izcelsme un punkts
kā elipses centrs.
AA galvenā ass, paralēla x asij.
AA galvenā ass, paralēla y asij.
Hiperbola
Hiperbola ir punktu kopa plaknē, kur starpība starp diviem fiksētiem punktiem F1 un F2 rada nemainīgu, pozitīvu vērtību.
Hiperbolas elementi:
- F1 un F2 ir hiperbolas perēkļi.
- 2c =
ir fokusa attālums.
- Hiperbolas centrs ir punkts O, F1F2 segmenta vidējais rādītājs.
- A1 un A2 ir virsotnes.
- 2a = A1A2 ir reālā vai šķērsass.
- 2b = B1B2 ir iedomātā vai konjugētā ass.
-
ir ekscentriskums.
Caur trīsstūri B1OA2
Hiperbolas reducēts vienādojums
Ar reālo asi ap x asi un centru sākuma punktā.
Ar reālo asi uz y ass un centru sākuma punktā.
Hiperbolas vienādojums ar asīm, kas ir paralēlas koordinātu asīm
AA reālā ass ir paralēla x asij un centram .
Reālā ass AA ir paralēla y asij un centram .
Līdzība
Parabola ir vieta, kur punktu kopa P(x, y) atrodas vienādā attālumā no fiksēta punkta F un taisnes d.
Līdzības elementi:
- F ir līdzības fokuss;
- d ir taisna vadlīnija;
- Simetrijas ass ir taisna līnija caur fokusu F un ir perpendikulāra vadlīnijai.
- V ir parabolas virsotne.
- p ir vienāda garuma segments starp fokusu F un virsotni V e, starp virsotni un direktīvu d.
Reducēti parabolas vienādojumi
Ar virsotni sākuma punktā un simetrijas asi uz y ass.
Ja p>0 ieliekums uz augšu.
Ja p<0 lejupvērsta ieliekums.
Ar virsotni sākuma punktā un simetrijas asi uz x ass.
Ja p>0 ieliekums pa labi.
Ja p<0 ieliekums pa kreisi.
Ar simetrijas asi paralēli y asij un virsotnei .
Ar simetrijas asi paralēli x asij un virsotnei .
vingrināties ar Analītiskās ģeometrijas vingrinājumi.
Uzziniet vairāk vietnē:
Dekarta plāns
attālums starp diviem punktiem
konusveida
Leņķa koeficienta aprēķins
