Kosinusa likums: pielietojums, piemēri un vingrinājumi

Kosinusa likums tiek izmantots jebkura trijstūra vienas malas vai nezināma leņķa aprēķināšanai, zinot citus tā mērījumus.

Paziņojums un formulas

Kosinusa teorēma nosaka, ka:

"Jebkurā trijstūrī kvadrāts vienā pusē ir kvadrātu summa abās pārējās pusēs, mīnus divas reizes pārsniedzot šo divu malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām.."

Tādējādi saskaņā ar kosinusu likumu mums ir šādas attiecības starp trijstūra malām un leņķiem:

Piemēri

1. Divas trīsstūra malas ir 20 cm un 12 cm lielas, un starp tām veido 120 ° leņķi. Aprēķiniet trešās puses mērījumu.

Risinājums

Lai aprēķinātu trešās puses mēru, mēs izmantosim kosinusu likumu. Šim nolūkam ņemsim vērā:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (vērtība atrodama trigonometriskās tabulās).

Aizstājot šīs vērtības formulā:

The² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
The² = 400 + 144 + 240
The² = 784
a = √784
a = 28 cm

Tātad trešā puse mēra 28 cm.

2. Nosakiet sānu AC un leņķa ar virsotni A vērtību no šāda attēla:

Pirmkārt, nosakīsim AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50. vieta
B² = 164 – 160. cos 50. vieta
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Tagad nosakīsim leņķa mērījumu ar kosinusu likumu:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Piezīme: Lai atrastu kosinusa leņķu vērtības, mēs izmantojam Trigonometriskā tabula. Tajā mums ir leņķu vērtības no 1º līdz 90º katrai trigonometriskajai funkcijai (sinusa, kosinusa un tangensa).

Pieteikums

Kosinusa likumu var piemērot jebkuram trijstūrim. Vai tas būtu akūta leņķa leņķis (iekšējie leņķi ir mazāki par 90 °), nolaisti leņķa (ar iekšējo leņķi ir lielāki par 90 °) vai taisnstūris (ar iekšējo leņķi, kas vienāds ar 90 °).

Trijstūru attēlojums to iekšējo leņķu izteiksmē

Kā ar taisnstūra trīsstūriem?

Pielietosim kosinusu likumu pusē, kas atrodas pretī 90 ° leņķim, kā norādīts zemāk:

The² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Tā kā cos 90º = 0, iepriekšminētā izteiksme kļūst:

The² = b² + c²

Kas ir tas pats, kas izteiksme Pitagora teorēma. Tādējādi mēs varam teikt, ka šī teorēma ir īpašs kosinusu likuma gadījums.

Kosinusa likums ir piemērots problēmām, kurās mēs zinām divas puses un leņķi starp tām, un mēs vēlamies atrast trešo pusi.

Mēs to joprojām varam izmantot, kad zinām trīsstūra trīs malas un vēlamies uzzināt vienu no tā leņķiem.

Situācijām, kad mēs zinām divus leņķus un tikai vienu pusi un vēlamies noteikt citu pusi, ir ērtāk izmantot grēku likums.

Kosinusa un sinusa definīcija

Leņķa kosinusu un sinusu definē kā trigonometriskās attiecības taisnā trīsstūrī. Sānu, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (90º), sauc par hipotenūzu, bet pārējās divas puses - par kājām, kā parādīts zemāk redzamajā attēlā:

Taisnā trīsstūra un tā malu attēlojums: gurni un hipotenūza

Pēc tam kosinīns tiek definēts kā attiecība starp blakus esošās kājas un hipotenūzes mērījumu:

Savukārt sinusa ir attiecība starp pretējās kājas un hipotenūzes mērījumu.

Iestājeksāmena vingrinājumi

1. (UFSCar) Ja trijstūra malas ir x, x + 1 un x +2, tad jebkuram x reāls un lielāks par 1, šī trijstūra lielākā iekšējā leņķa kosinuss ir vienāds ar:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Skatiet Atbilde

E) x alternatīva - 3 / 2x

2. (UFRS) Trīsstūrī, kas attēlots zemāk redzamajā attēlā, AB un AC ir vienāds mērs, un augstums attiecībā pret sānu BC ir vienāds ar 2/3 no BC mēra.

Pamatojoties uz šiem datiem, leņķa CÂB kosinuss ir:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Skatiet Atbilde

Alternatīva a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Divas trijstūra malas ir 8 m un 10 m un veido 60 ° leņķi. Šī trīsstūra trešā puse mēra:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Skatiet Atbilde

Alternatīva a) 2√21 m

Lasiet vairāk par tēmu:

• Trigonometrija
• Trigonometrija taisnstūra trijstūrī
• Trigonometrijas vingrinājumi labajā trīsstūrī
• Trigonometriskās attiecības
• Trigonometriskais aplis
• Trigonometriskās funkcijas