Pitagora teorēma norāda, ka taisnstūra trīsstūrī hipotenūzes kvadrāta mērvienība ir vienāda ar kājas kvadrātu summu.
Izmantojiet atrisināto un komentēto vingrinājumu priekšrocības, lai atbildētu uz visām šaubām par šo svarīgo saturu.
Ierosinātie vingrinājumi (ar izšķirtspēju)
jautājums 1
Karloss un Ana izgāja no mājām, lai strādātu no tā paša punkta - ēkas garāžas, kurā viņi dzīvo. Pēc 1 minūtes pa perpendikulāru ceļu viņi atradās 13 m attālumā viens no otra.
Ja Karlosa automašīna šajā laikā izdarīja 7 m vairāk nekā Ana, cik tālu viņi atradās no garāžas?
a) Karloss atradās 10 m attālumā no garāžas, bet Ana - 5 m attālumā.
b) Karloss atradās 14 m attālumā no garāžas un Ana bija 7 m attālumā.
c) Karloss atradās 12 m attālumā no garāžas, bet Ana - 5 m attālumā.
d) Karloss atradās 13 m attālumā no garāžas un Ana bija 6 m attālumā.
Pareiza atbilde: c) Karloss atradās 12 m attālumā no garāžas, bet Ana - 5 m attālumā.
Šajā jautājumā izveidotā taisnstūra trīsstūra malas ir:
- hipotenūza: 13 m
- lielāka kāja: 7 + x
- īsāka kāja: x
Piemērojot vērtības Pitagora teorēmā, mums ir:
Tagad mēs izmantojam Bhaskaras formulu, lai atrastu x vērtību.
Tā kā tas ir garuma mērs, mums jāizmanto pozitīvā vērtība. Tāpēc šajā jautājumā izveidotā taisnstūra trīsstūra malas ir:
- hipotenūza: 13 m
- lielāka kāja: 7 + 5 = 12 m
- īsāka kāja: x = 5 m
Tādējādi Ana atradās 5 metru attālumā no garāžas, bet Karloss - 12 metru attālumā.
2. jautājums
Kerla, meklējot savu kaķēnu, ieraudzīja viņu koka galā. Pēc tam viņa lūdza mātes palīdzību, un viņi nolika kāpnes pie koka, lai palīdzētu kaķim nolaisties.
Zinot, ka kaķis atradās 8 metrus no zemes un kāpņu pamatne bija novietota 6 metrus no koka, cik ilgi kāpnes izmantoja kaķēna glābšanai?
a) 8 metri.
b) 10 metri.
c) 12 metri.
d) 14 metri.
Pareiza atbilde: b) 10 metri.
Ņemiet vērā, ka kaķa augstums un kāpņu pamatnes attālums veido taisnu leņķi, tas ir, 90 grādu leņķi. Tā kā kāpnes ir novietotas pretī taisnajam leņķim, tad to garums atbilst taisnā trīsstūra hipotenūzai.
Pielietojot Pitagora teorēmā norādītās vērtības, mēs atklājam hipotenūza vērtību.
Tāpēc kāpnes ir 10 metrus garas.
3. jautājums
Kurš parāda taisnstūra trijstūra vērtības saskaņā ar zemāk redzamajās alternatīvās parādītajiem mērījumiem?
a) 14 cm, 18 cm un 24 cm
b) 21 cm, 28 cm un 32 cm
c) 13 cm, 14 cm un 17 cm
d) 12 cm, 16 cm un 20 cm
Pareiza atbilde: d) 12 cm, 16 cm un 20 cm.
Lai uzzinātu, vai uzrādītie mērījumi veido taisnstūri, mums jāpiemēro Pitagora teorēma katrai alternatīvai.
a) 14 cm, 18 cm un 24 cm
b) 21 cm, 28 cm un 32 cm
c) 13 cm, 14 cm un 17 cm
d) 12 cm, 16 cm un 20 cm
Tāpēc izmēri 12 cm, 16 cm un 20 cm atbilst taisnstūra trijstūra malām, jo hipotenūzes, garākās malas, kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrāta summu.
4. jautājums
Ievērojiet šādus ģeometriskos attēlus, kuru viena mala atrodas taisnstūra trīsstūra, kura izmērs ir 3 m, 4 m un 5 m, hipotenūzā.
Atrodiet vienādmalu trijstūra BCD augstumu (h) un kvadrāta BCFG diagonālo vērtību (d).
a) h = 4,33 m un d = 7,07 m
b) h = 4,72 m un d = 8,20 m
c) h = 4,45 m un d = 7,61 m
d) h = 4,99 m un d = 8,53 m
Pareiza atbilde: a) h = 4,33 m un d = 7,07 m.
Tā kā trijstūris ir vienādmalu, tas nozīmē, ka tā trīs malām ir vienāds mērs. Zīmējot līniju, kas atbilst trijstūra augstumam, mēs to sadalām divos taisnstūra trīsstūros.
Tas pats ir ar laukumu. Kad mēs uzzīmējam tā diagonālo līniju, mēs varam redzēt divus taisnstūra trīsstūrus.
Pielietojot Pitagoras teorēmas apgalvojuma datus, vērtības tiek atklātas šādi:
1. Trīsstūra (taisnstūra kājas) augstuma aprēķins:
Pēc tam mēs nonākam pie formulas augstuma aprēķināšanai. Tagad vienkārši aizstājiet L vērtību un aprēķiniet to.
2. Kvadrāta diagonāles aprēķins (taisnstūra trīsstūra hipotenūze):
Tāpēc vienādmalu trijstūra BCD augstums ir 4,33 un kvadrāta BCFG diagonāles vērtība ir 7,07.
Skatiet arī: Pitagora teorēma
Iestājeksāmena jautājumi ir atrisināti
5. jautājums
(Cefet / MG - 2016) Kite, kura attēls ir parādīts zemāk, tika uzbūvēts ABCD četrstūra formātā, kas bija un
. nūju
pūķa krustojas ar stieni
tās viduspunktā E, veidojot taisnu leņķi. Šī pūķa uzbūvē tika veikti pasākumi
izmantotie izmēri ir attiecīgi 25 cm un 20 cm, un
ir vienāds
no pasākuma
.
Šādos apstākļos pasākums , cm, ir vienāds ar
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Pareiza alternatīva: c) 55.
Vērojot jautājuma skaitli, mēs redzam, ka DE segments, kuru mēs vēlamies atrast, ir tāds pats kā BD segments, atņemot BE segmentu.
Tātad, kā mēs zinām, ka segments BE ir vienāds ar 20 cm, tad mums jāatrod segmenta BD vērtība.
Ņemiet vērā, ka problēma sniedz mums šādu informāciju:
Tātad, lai atrastu BD mēru, mums jāzina segmenta AC vērtība.
Tā kā punkts E sadala segmentu divās vienādās daļās (viduspunkts), tad . Tāpēc pirmais solis ir atrast CE segmenta mērījumu.
Lai atrastu CE mērījumu, mēs noteicām, ka trijstūris BCE ir taisnstūris, ka BC ir hipotenūza un BE un CE ir kājas, kā parādīts zemāk esošajā attēlā:
Pēc tam mēs piemērosim Pitagora teorēmu, lai atrastu kājas mēru.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Lai atrastu apkakli, mēs varētu arī novērot, ka trijstūris ir Pitagora, tas ir, tā malu izmēri ir trīsstūra 3, 4, 5 mērījumu vairāki skaitļi.
Tādējādi, reizinot 4 ar 5, mums ir apkakles vērtība (20), un, reizinot 5 ar 5, mums ir hipotenūza (25). Tāpēc otra kāja varēja būt tikai 15 (5. 3).
Tagad, kad esam atraduši EK vērtību, mēs varam atrast citus pasākumus:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Tāpēc pasākums ir vienāds ar 55 cm.
Skatiet arī: Pitagors
6. jautājums
(SFPS - 2017) Apsveriet vienādmalu trīsstūri ar 5√3 ܿ݉ malu. Kāds ir attiecīgi šī trīsstūra augstums un laukums?
Pareiza alternatīva: e) 7,5 cm un 75√3 / 4 cm2
Vispirms uzzīmēsim vienādmalu trīsstūri un uzzīmēsim augstumu, kā parādīts zemāk esošajā attēlā:
Ņemiet vērā, ka augstums sadala pamatu divos viena un tā paša mēroga segmentos, jo trīsstūris ir vienādmalu. Ņemiet vērā arī to, ka trīsstūris ACD attēlā ir taisns trīsstūris.
Tādējādi, lai atrastu augstuma mēru, mēs izmantosim Pitagora teorēmu:
Zinot augstuma mērījumus, mēs varam atrast laukumu pēc formulas:
7. jautājums
(SFPS - 2016) Zemāk redzamajā attēlā attiecīgi x un y vērtība ir
Pareiza alternatīva: a) 4√2 un √97.
Lai atrastu x vērtību, pieliksim Pitagora teorēmu taisnleņķa trīsstūrim, kura malas ir vienādas ar 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Lai atrastu y vērtību, mēs izmantosim arī Pitagora teorēmu, tagad uzskatot, ka vienas kājas izmērs ir 4 cm, bet otras - 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Tāpēc x un y vērtība ir attiecīgi 4√2 un √97.
8. jautājums
(Mācekļa jūrnieks - 2017) Apskatiet zemāk redzamo attēlu.
Iepriekš redzamajā attēlā ir vienādsānu trijstūris ACD, kurā segmenta AB izmērs ir 3 cm, nevienlīdzīgā AD puse ir 10√2 cm, un segmenti AC un CD ir perpendikulāri. Tāpēc ir pareizi apgalvot, ka BD segments mēra:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Pareiza alternatīva: d) √149 cm
Ņemot vērā problēmā sniegto informāciju, mēs izveidojam zemāk redzamo attēlu:
Saskaņā ar attēlu mēs konstatējam, ka, lai atrastu x vērtību, būs jāatrod tās puses mērs, kuru mēs saucam par a.
Tā kā trijstūris ACD ir taisnstūris, mēs izmantosim Pitagora teorēmu, lai atrastu kājas vērtību a.
Tagad, kad mēs zinām a vērtību, mēs varam atrast x vērtību, ņemot vērā taisno trīsstūri BCD.
Ņemiet vērā, ka kāja BC ir vienāda ar kājas mērījumu mīnus 3 cm, tas ir, 10 - 3 = 7 cm. Piemērojot Pitagora teorēmu šim trijstūrim, mums ir:
Tāpēc ir pareizi apgalvot, ka BD segmenta izmērs ir √149 cm.
9. jautājums
(IFRJ - 2013) Federālā institūta Arrozal pilsētiņas sporta pagalms ir taisnstūrveida, 100 m garš un 50 m plats, ko šajā attēlā attēlo ABCD taisnstūris.
Alberto un Bruno ir divi studenti, kuri sporto pagalmā. Alberto iet no punkta A uz punktu C pa taisnstūra diagonāli un pa to pašu ceļu atgriežas sākuma punktā. Bruno sākas no punkta B, pilnīgi apiet pagalmu, ejot pa sānu līnijām, un atgriežas sākuma punktā. Tādējādi, ņemot vērā √5 = 2,24, tiek norādīts, ka Bruno staigāja vairāk nekā Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Pareiza alternatīva: c) 76 m.
Taisnstūra diagonāle to sadala divos taisnstūra trijstūros, hipotenūza ir diagonāle, un malas ir vienādas ar taisnstūra malām.
Tātad, lai aprēķinātu diagonāles mēru, izmantosim Pitagora teorēmu:
Tā kā Alberto gāja un atgriezās, tāpēc viņš veica 224 m.
Bruno veica attālumu, kas vienāds ar taisnstūra perimetru, citiem vārdiem sakot:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Tāpēc Bruno soļoja 76 m garāk nekā Alberto (300 - 112 = 76 m).
10. jautājums
(Enem - 2017) Bērnu svētku galda rotāšanai pavārs izmantos sfērisku meloni ar diametru 10 cm, kas kalpos par atbalstu dažādu saldumu iesmiem. Tas noņems no melones sfērisku rumbas vāciņu, kā parādīts attēlā, un, lai nodrošinātu šī atbalsta stabilitāti, apgrūtinot melones ripošanu uz galda, priekšnieks iegriezīs tā, lai apļveida griezuma daļas r rādiuss būtu matains. mīnus 3 cm. No otras puses, šefpavārs vēlēsies, lai reģionā būtu pēc iespējas lielāka platība, kur tiks salaboti saldumi.
Lai sasniegtu visus savus mērķus, priekšniekam ir jāsamazina melones vāciņš h augstumā centimetros, kas vienāds ar
Pareiza alternatīva: c) 1
Vērojot jautājumā sniegto skaitli, mēs noteicām, ka augstumu h var atrast, samazinot segmenta OA mērījumu no sfēras rādiusa (R).
Sfēras rādiuss (R) ir vienāds ar pusi no tā diametra, kas šajā gadījumā ir vienāds ar 5 cm (10: 2 = 5).
Tāpēc mums jāatrod OA segmenta vērtība. Šim nolūkam mēs apsvērsim OAB trīsstūri, kas attēlots zemāk redzamajā attēlā, un piemērosim Pitagora teorēmu.
52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Mēs varētu arī atrast x vērtību tieši, atzīmējot, ka tas ir Pitagora trīsstūris 3,4 un 5.
Tātad h vērtība būs vienāda ar:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Tāpēc pavāram vajadzētu sagriezt melones vāciņu 1 cm augstumā.
11. jautājums
(Enem - 2016 - 2. pieteikums) Boccia ir sporta veids, kas tiek spēlēts uz laukumiem, kas ir līdzeni un līdzenā reljefā, ierobežoti ar perimetra koka platformām. Šī sporta mērķis ir mest boules, kas ir bumbas, kas izgatavotas no sintētiska materiāla, lai to izdarītu novietojiet tos pēc iespējas tuvāk bolimam, kas iepriekš ir mazāka bumba, vēlams izgatavota no tērauda uzsākta. 1. attēlā parādīta boča bumba un bolims, kas tika spēlēti laukumā. Pieņemsim, ka spēlētājs ir iemetis bumbu ar 5 cm rādiusu, kas ir atspiedies pret bulli, ar 2 cm rādiusu, kā parādīts 2. attēlā.
Apsveriet punktu C kā bumbas centru un punktu O kā bumbas centru. Ir zināms, ka A un B ir punkti, kuros attiecīgi boča bumba un bulols pieskaras laukuma zemei un ka attālums starp A un B ir vienāds ar d. Šajos apstākļos kāda ir attiecība starp d un bolima rādiusu?
Pareiza alternatīva: e) √10
Lai aprēķinātu attāluma d vērtību starp punktiem A un B, izveidosim skaitli, kas savieno divu sfēru centrus, kā parādīts zemāk:
Ņemiet vērā, ka zilā punktētā figūra ir kā trapece. Sadalīsim šo trapeci, kā parādīts zemāk:
Sadalot trapecu, mēs iegūstam taisnstūri un taisnu trīsstūri. Trijstūra hipotenūza ir vienāda ar bociņa lodītes rādiusa summu ar bolima rādiusu, tas ir, 5 + 2 = 7 cm.
Vienas kājas mērījums ir vienāds ar d, bet otras kājas mērījums ir vienāds ar segmenta CA mērījumu, kas ir boča lodītes rādiuss, atņemot bolima rādiusu (5 - 2 = 3) .
Tādā veidā mēs varam atrast d vērtību, piemērojot Pitagora teorēmu šim trijstūrim, tas ir:
72 = 32 - no2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Tāpēc attiecību starp attālumu d un bolimu aprēķina šādi:.
12. jautājums
(Enem - 2014) Katru dienu dzīvesvieta patērē 20 160 Wh. Šajā dzīvesvietā ir 100 saules baterijas taisnstūrveida (ierīces, kas saules gaismu var pārveidot par elektrisko enerģiju), kura izmērs ir 6 cm x 8 cm. Katra no šīm šūnām dienas laikā rada 24 Wh uz centimetru diagonāles. Šīs mājas īpašnieks vēlas dienā saražot tieši tādu pašu enerģijas daudzumu, kādu patērē viņa māja. Kas šim īpašniekam būtu jādara, lai viņš sasniegtu savu mērķi?
a) Noņemiet 16 šūnas.
b) Noņemiet 40 šūnas.
c) Pievienojiet 5 šūnas.
d) Pievienojiet 20 šūnas.
e) Pievienojiet 40 šūnas.
Pareiza alternatīva: a) noņemiet 16 šūnas.
Pirmkārt, jums būs jānoskaidro, kāda ir katras šūnas enerģijas izlaide. Lai to izdarītu, mums jāatrod taisnstūra diagonāles mērs.
Diagonāle ir vienāda ar trijstūra hipotenūzu, kuras kājas ir vienādas ar 8 cm un 6 cm. Pēc tam mēs aprēķināsim diagonāli, piemērojot Pitagora teorēmu.
Tomēr mēs atzīmējam, ka attiecīgais trīsstūris ir Pitagora, kas ir trīsstūra 3,4 un 5 daudzkārtne.
Tādā veidā hipotenūzes izmērs būs vienāds ar 10 cm, jo Pitagora trīsstūra 3,4 un 5 malas reizina ar 2.
Tagad, kad mēs zinām diagonāles mērījumus, mēs varam aprēķināt 100 šūnu saražoto enerģiju, ti:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Tā kā patērētā enerģija ir vienāda ar 20 160 Wh, mums būs jāsamazina šūnu skaits. Lai atrastu šo numuru, mēs rīkosimies:
24 000 - 20 160 = 3840 Wh
Dalot šo vērtību ar šūnas saražoto enerģiju, mēs atrodam skaitli, kas jāsamazina, tas ir:
3840: 240 = 16 šūnas
Tāpēc īpašnieka rīcībai, lai viņš sasniegtu savu mērķi, jābūt 16 šūnu noņemšanai.
Lai uzzinātu vairāk, skatiet arī: Trigonometrijas vingrinājumi