Viens vienādojums ir matemātisks teikums, kuram ir vienlīdzība un vismaz viens nezināms, tas ir, kad mēs esam iesaistīti a algebriskā izteiksme un vienlīdzība. Vienādojumu izpētei ir nepieciešamas iepriekšējas zināšanas, piemēram, ciparu izteicieni. Vienādojuma mērķis ir atrodiet nezināmo vērtību kas pārvērš vienlīdzību par identitāti, tas ir, par patiesu vienlīdzību.
Lasiet arī:Darbības ar daļām - kā aprēķināt?
Vienādojumu izpētes pamatjēdzieni
Vienādojums ir matemātisks teikums, kuram ir nezināms, vismaz, un a vienlīdzība, un mēs varam to sarindot pēc nezināmo skaita. Skatiet dažus piemērus:
a) 5t - 9 = 16
Vienādojumam nav zināms, ko apzīmē ar burtu t.
b) 5x + 6y = 1
Vienādojumam ir divi nezināmi, kurus attēlo burti x un y.
c) t4 - 8z = x
Vienādojumā ir trīs nezināmi, kurus apzīmē ar burtiem labi,z un x.
Lai kāds būtu vienādojums, mums jāņem vērā jūsu Visuma kopa,sastāv no visām iespējamām vērtībām, kuras varam piešķirt nezināmajam, šo kopu apzīmē ar burtu U.
1. piemērs
Apsveriet vienādojumu x + 1 = 0 un tā iespējamo risinājumu x = –1. Tagad ņemiet vērā, ka vienādojuma kopums Visumā ir
dabiski.Ņemiet vērā, ka domājamais risinājums nepieder Visuma kopai, jo tā elementi ir visas iespējamās vērtības, kuras nezināmais var iegūt, tāpēc x = –1 nav vienādojuma risinājums.
Protams, jo lielāks ir nezināmo skaits, jo grūtāk ir noteikt jūsu risinājumu. risinājums vai avots vienādojuma vērtība ir visu vērtību kopa, kas, piešķirot nezināmajam, padara vienlīdzību patiesu.
2. piemērs
Apsveriet vienādojumu ar nezināmu 5x - 9 = 16, pārbaudiet, vai x = 5 ir vienādojuma risinājums vai sakne.
Lai to būtu iespējams pateikt x = 5 ir vienādojuma risinājums, mums šī vērtība jāaizstāj izteiksmē, ja mēs atradīsim patiesu vienādību, skaitlis būs pārbaudītais risinājums.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Skatiet, vai atrastā vienlīdzība ir patiesa, tāpēc mums ir identitāte, un skaitlis 5 ir risinājums. Tātad mēs varam teikt, ka risinājumu kopu dod:
S = {5}
3. piemērs
Apsveriet vienādojumu t2 = 4 un pārbaudiet, vai t = 2 vai t = –2 ir vienādojuma risinājumi.
Analogiski mums t vērtība ir jāaizstāj vienādojumā, tomēr ņemiet vērā, ka mums ir divas nezināmā vērtības, un tāpēc mums verifikācija jāveic divos posmos.
1. solis - Ja t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
2. solis - Par t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Skatiet t = 2 un t = - 2, mēs atrodam identitāti, tāpēc šīs divas vērtības ir vienādojuma risinājumi. Tādējādi mēs varam teikt, ka risinājumu kopa ir:
S = {2, –2}
Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vēl vairāk;)
Vienādojumu veidi
Varam arī klasificēt vienādojumu attiecībā uz stāvokli, kuru ieņem nezināmie. Skatiet galvenos veidus:
Polinomu vienādojumi
Plkst polinomu vienādojumi ir raksturīgi ar to, ka polinoms ir vienāds ar nulli. Skatiet dažus piemērus:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Cipari6, 5 un –5 ir vienādojuma koeficienti.
B) 9x – 9= 0
Cipari 9 un – 9 ir vienādojuma koeficienti.
c) y2– y – 1 = 0
Cipari 1, – 1 un – 1 ir vienādojuma koeficienti.
Vienādojuma grādi
Polinomu vienādojumus var klasificēt pēc to pakāpes. Kā arī polinomi, polinoma vienādojuma pakāpi izsaka vislielākā jauda, kurai ir koeficients, kas nav nulle.
No iepriekšējiem piemēriem a, b un c mums ir tas, ka vienādojumu pakāpes ir:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polinoma vienādojums trešā pakāpe
b) 9x - 9 = 0 → Polinoma vienādojums pirmā pakāpe
ç) y2 - y - 1 = 0 → Polinoma vienādojums vidusskola
Lasīt arī: kvadrātvienādojumsu: kā aprēķināt, veidi, piemēri
racionāli vienādojumi
Racionālajiem vienādojumiem ir raksturīgi to nezināmie a saucējā frakcija. Skatiet dažus piemērus:
Lasīt arī: Kas ir racionāli skaitļi?
iracionālie vienādojumi
Plkst iracionālie vienādojumi ir raksturīgi ar to, ka viņiem ir nezināmie n-tās saknes iekšienē, tas ir, radikāļa iekšpusē, kuram ir indekss n. Skatiet dažus piemērus:
eksponenciālie vienādojumi
Plkst eksponenciālie vienādojumi ir nezināmie, kas atrodas eksponentā gada a potence. Skatiet dažus piemērus:
logaritmiskais vienādojums
Plkst logaritmiskie vienādojumi ir raksturīgi ar viens vai vairāki nezināmi kādā no logaritms. Mēs redzēsim, ka, piemērojot logaritma definīciju, dažos iepriekšējos gadījumos vienādojums ietilpst. Skatiet dažus piemērus:
Skatīt arī: Pirmās pakāpes vienādojums ar nezināmu
Kā atrisināt vienādojumu?
Lai atrisinātu vienādojumu, mums jāizpēta katra veida izmantotās metodes, tas ir, katram vienādojuma veidam ir atšķirīga metode iespējamo sakņu noteikšanai. Tomēr visas šīs metodes ir izriet no ekvivalences principa, ar to ir iespējams atrisināt galvenos vienādojumu veidus.
Līdzvērtības princips
Otrais līdzvērtības princips - mēs varam brīvi darboties vienā līdztiesības pusē, ja vien to darām līdztiesības otrā pusē. Lai uzlabotu izpratni, mēs nosauksim šīs puses.
Tāpēc līdzvērtības princips nosaka, ka tas ir iespējams operēt ar pirmo ekstremitāti brīvi, kamēr tā pati darbība tiek veikta ar otro locekli.
Lai pārbaudītu līdzvērtības principu, ņemiet vērā šādu vienlīdzību:
5 = 5
Iesim tagad Pievienot abās pusēs skaitli 7 un ņemiet vērā, ka vienlīdzība joprojām būs patiesa:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Iesim tagad atņemt 10 abās vienlīdzības pusēs, vēlreiz ņemiet vērā, ka vienlīdzība joprojām būs patiesa:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
redzēt, ka mēs varam vairoties vai dalīties un paaugstināt līdz potence vai pat izvilkt a avots, ja vien tas tiek darīts pirmajam un otrajam loceklim, vienmēr pastāvēs vienlīdzība.
Lai atrisinātu vienādojumu, mums jāizmanto šis princips kopā ar zināšanām par minētajām operācijām. Lai atvieglotu vienādojumu izstrādi, izlaidīsim darbību, kas veikta ar pirmo locekli, tas ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka mēs nododam numuru otram dalībniekam, nomainot zīmi pret pretējo.
Ideja noteikt vienādojuma risinājumu vienmēr ir izolēt nezināmo, izmantojot līdzvērtības principu, Skaties:
4. piemērs
Izmantojot ekvivalences principu, nosakiet vienādojuma 2x - 4 = 8 risinājumu kopu, zinot, ka Visuma kopu dod: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Lai atrisinātu pirmās pakāpes polinomu vienādojumu, mums pirmais loceklis jāatstāj izolēts. Šim nolūkam mēs no pirmā locekļa ņemsim skaitli –4, abām pusēm pievienojot 4, jo –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Ņemiet vērā, ka šī procesa veikšana ir vienāda ar skaitļa 4 vienkāršu nodošanu ar pretēju zīmi. Tātad, lai izolētu nezināmo x, nodosim skaitli 2 otrajam dalībniekam, jo tas reizina x. (Atcerieties: reizināšanas apgrieztā darbība ir dalīšana). Tas būtu tas pats, kas sadalīt abas puses ar 2.
Tāpēc risinājumu kopu dod:
S = {6}
5. piemērs
Atrisiniet 2. vienādojumux + 5 = 128, zinot, ka Visuma kopu dod U = ℝ.
Lai atrisinātu eksponenciālo vienādojumu, vispirms izmantosim sekojošo potencēšanas īpašums:
Them + n =m · ANē
Mēs izmantosim arī to, ka 22 = 4 un 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Ņemiet vērā, ka abas puses ir iespējams sadalīt ar 32, tas ir, nodot skaitli 32 otrajam loceklim, dalot.
Tāpēc mums ir:
2x = 4
2x = 22
Vienīgā x vērtība, kas atbilst vienādībai, ir skaitlis 2, tātad x = 2, un risinājumu kopu dod:
S = {2}
atrisināti vingrinājumi
jautājums 1 - Apsveriet iestatīto Visumu U = ℕ un nosakiet šāda iracionālā vienādojuma risinājumu:
Izšķirtspēja
Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums jāuztraucas par pirmā locekļa saknes izslēgšanu. Ņemiet vērā, ka šim nolūkam ir nepieciešams pacelt pirmo locekli tajā pašā indeksā kā sakne, tas ir, uz kubu. Pēc līdzvērtības principa mums jāaudzina arī otrais līdztiesības loceklis.
Ņemiet vērā, ka mums tagad jāatrisina otrās pakāpes polinoms. Nodosim skaitli 11 otrajam loceklim (atņemiet 11 abās vienādības pusēs), lai izolētu nezināmo x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Tagad, lai noteiktu x vērtību, redziet, ka ir divas vērtības, kas atbilst vienlīdzībai x ’= 4 vai x’ ’= –4, vienreiz:
42 = 16
un
(–4)2 = 16
Tomēr jautājuma paziņojumā ņemiet vērā, ka dotais Visuma kopums ir dabisko skaitļu kopums un skaitlis –4 tam nepieder, tādējādi risinājumu kopu dod:
S = {4}
2. jautājums - Apsveriet polinoma vienādojumu x2 + 1 = 0, zinot, ka Visuma kopu dod U = ℝ.
Izšķirtspēja
Ekvivalences principam atņemiet 1 no abiem locekļiem.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Ņemiet vērā, ka vienlīdzībai nav risinājuma, jo Visuma kopa ir reālie skaitļi, tas ir, visi vērtības, kuras nezināmais var pieņemt, ir reālas, un nav reāla skaitļa, kas kvadrātā būtu negatīvs.
12 = 1
un
(–1)2 = 1
Tāpēc vienādojumam reālu kopā nav risinājuma, un tādējādi mēs varam teikt, ka risinājumu kopa ir tukša.
S = {}
autors Robsons Luizs
Matemātikas skolotājs
(Enem 2009) 50 cilvēku grupa izveidoja sākotnējo budžetu ballītes organizēšanai, kas tika sadalīta starp viņiem vienādās daļās. Galu galā tika konstatēts, ka visu izdevumu segšanai trūkst R10 5,00 USD un grupai ir pievienojušies 5 jauni cilvēki. Izlīgumā tika nolemts, ka kopējie izdevumi tiks sadalīti vienādi ar 55 cilvēkiem. Tie, kas vēl nebija iemaksājuši, maksātu savu daļu, un katram no 50 cilvēkiem sākotnējā grupā būtu jāveic papildu R $ 7,00.
Saskaņā ar šo informāciju, kāda bija kvotas vērtība, kas tika aprēķināta galīgajā līgumā katram no 55 cilvēkiem?
(Vunesp - 2011) Pedrinju bija četri gadi, kad viņa māte dzemdēja dvīņus. Šodien trīs brāļu un māsu vecuma summa ir 52 gadus veca. Pedrinho vecums šodien ir:
