Matricas reizināšana: kā aprēķināt, piemēri

mmatricas reizināšana tiek veikts, izmantojot algoritmu, kas prasa lielu uzmanību. Lai produkts starp matricu A un matricu B pastāvētu, ir nepieciešams, lai skaits kolonnas dod vispirms galvenā mītne, gadījumā A, ir vienāds ar līnijas dod Pirmdiena galvenā mītne, gadījumā B.

Pēc reizināšanas starp matricām ir iespējams saprast, kas ir identitātes matrica, kas ir neitrāls matricas reizināšanas elements un kāda ir matricas M apgrieztā matrica, kas ir matrica M^-1 kura M produkts ar M^-1 ir vienāds ar identitātes matricu. Ir arī iespējams reizināt matricu ar reālu skaitli - šajā gadījumā mēs reizinām katru no nosacījumiem galvenā mītne pēc skaita.

Lasiet arī: Kas ir trīsstūrveida matrica?

pastāvēšanas nosacījums

Reizināšana starp matricām ir process, kas prasa lielu uzmanību.

Lai reizinātu divas matricas, vispirms jāpārbauda pastāvēšanas nosacījums. Lai produkts pastāvētu, kolonnu skaitam pirmajā matricā jābūt vienādam ar rindu skaitu otrajā matricā. Turklāt reizināšanas rezultāts ir matrica, kurai ir tāds pats rindu skaits kā pirmajai matricai un tāds pats kolonnu skaits kā otrajai matricai.

Piemēram, produkts AB starp matricām A_3x2 un B_2x5 pastāv, jo kolonnu skaits A (2 kolonnas) ir vienāds ar B rindu skaitu (2 rindas), un rezultāts ir matrica AB_3x5. Jau ir produkts starp C matricām_3x5 un matrica D_2x5 nepastāv, jo C ir 5 kolonnas un D ir 3 rindas.

Nepārtrauciet tūlīt... Pēc reklāmas ir vēl vairāk;)

Kā aprēķināt reizinājumu starp divām matricām?

Lai veiktu matricas reizināšanu, ir nepieciešams veikt dažas darbības. Mēs izveidosim algebriskās matricas A reizināšanas piemēru_2x3 pēc matricas B_3x2

Mēs zinām, ka produkts pastāv, jo matricai A ir 3 kolonnas un matricai B - 3 rindas. Mēs sauksim C reizināšanas rezultātu A · B. Turklāt mēs arī zinām, ka rezultāts ir C matrica._2x2, jo matricai A ir 2 rindas, bet matricai B - 2 kolonnas.

Lai aprēķinātu matricas A reizinājumu_2x3 un matrica B_3x2, izpildīsim dažus soļus.

Vispirms mēs atradīsim katru no matricas C noteikumiem_2x2:

Lai atrastu noteikumus, pieņemsim vienmēr saistiet matricas A rindas ar matricas B kolonnām:

ç₁₁ → A 1. līnija un B kolonna
ç₁₂ → A 1. līnija un B 2. kolonna
ç₂₁ → A 2. līnija un B kolonna
ç₂₂ → A 2. līnija un B 2. kolonna

Mēs aprēķinām katru no noteikumiem, reizinot termiņus A rindā un terminus B slejā. Tagad mums jāpievieno šie produkti, sākot ar ç_11:

A 1. līnija
B kolonna

ç₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

aprēķinot ç₁₂:

A 1. līnija
B 2. kolonna

ç₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

aprēķinot ç₂₁:

A 2. līnija
B kolonna

ç₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

aprēķinot termiņu ç₂₂:

A 2. līnija
B 2. kolonna

ç₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Tādējādi matricu C veido termini:

Piemērs:

Aprēķināsim reizinājumu starp matricām A un B.

Mēs to zinām A_2x2 un B_2x3, kolonnu skaits pirmajā ir vienāds ar rindu skaitu otrajā, tāpēc produkts pastāv. Tātad mēs izveidosim C = A · B un mēs zinām, ka C_2x3.

Reizinot, mums ir:

Skatīt arī: Kas ir transponētā matrica?

identitātes matrica

Reizinot starp matricām, ir daži īpaši gadījumi, piemēram identitātes matrica, kas ir neitrāls reizināšanas elements starp matricām.. Identitātes matrica ir kvadrātveida matrica, tas ir, rindu skaits vienmēr ir vienāds ar kolonnu skaitu. Turklāt tikai diagonāles noteikumi ir vienādi ar 1 tajā, un visi pārējie termini ir vienādi ar nulli. Kad mēs reizinām matricu M ar identitātes matricu I_Nē, Mums vajag:

M · I_Nē = M

Identitātes matricas no 2. līdz 5. kārtai

Piemērs:

Kas ir apgrieztā matrica?

Ņemot vērā matricu M, mēs to zinām kā M apgriezto matricu. matrica M^-1kura produkts M · M^-1 ir vienāds à identitātes matrica I_Nē. Lai matricai būtu apgriezts, tai jābūt kvadrātā un tā noteicošais jāatšķiras no 0. Apskatīsim apgriezto matricu piemērus:

Aprēķinot reizinājumu A · B, mums:

Ņemiet vērā, ka produkts starp A un B ģenerēto matricu I₂. Kad tas notiek, mēs sakām, ka B ir A apgrieztā matrica. Lai uzzinātu vairāk par šāda veida matricu, lasiet: Apgrieztā matrica.

Matricas reizināšana ar reālu skaitli

Atšķirībā no reizināšanas starp matricām pastāv arī matricas reizināšana ar vienu reālais skaitlis, kas ir daudz vienkāršāka darbība, lai atrastu risinājumu.

Dota matrica M, reizinot matricu ar reālu skaitli k ir vienāds ar matricu kM. Lai atrastu šo matricu kM, pietiek reiziniet visus matricas nosacījumus ar konstanti k.

Piemērs:

ja k = 5 un ņemot vērā matricu M zemāk, atrodiet matricu 5M.

Reizinot:

atrisināti vingrinājumi

Jautājums 1 - (Unitau) Dotās matricas A un B,

c elementa vērtība₁₁ matricas C = AB ir:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Izšķirtspēja

A alternatīva

Kā mēs vēlamies terminu c₁₁, reizināsim pirmās rindas un A terminus ar termiņiem B pirmajā kolonnā.

aprēķinot c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

2. jautājums - (Enem 2012) Kāds students tabulā reģistrēja dažu savu priekšmetu divkāršojošās atzīmes. Viņš atzīmēja, ka tabulas skaitliskie ieraksti veido 4 × 4 matricu un ka viņš var aprēķināt šo disciplīnu gada vidējos rādītājus, izmantojot matricu reizinājumu. Visiem testiem bija vienāds svars, un viņa iegūtā tabula ir parādīta zemāk.

Lai iegūtu šos vidējos rādītājus, viņš reizināja no tabulas iegūto matricu ar matricu:

Izšķirtspēja

E alternatīva

Vidējais rādītājs ir nekas cits kā elementu summa, kas dalīta ar elementu skaitu. Ņemiet vērā, ka katrā rindā ir 4 piezīmes, tāpēc vidējā vērtība būtu šo piezīmju summa, dalīta ar 4. Dalīt ar 4 ir tas pats, kas reizināt ar frakcija ¼. Arī pakāpju matrica ir 4x4 matrica, tāpēc mums ir jāreizina ar 4x1 matricu, tas ir, tai ir 4 rindas un 1 kolonna, lai atrastu matricu, kurai ir pakāpju vidējais rādītājs.

Autors Rauls Rodrigess de Oliveira
Matemātikas skolotājs