Atvirkštinė funkcija: kas tai yra, grafikas, pratimai

atvirkštinė funkcija, kaip rodo pavadinimas, yra funkcija f (x)^-1, kuris tiksliai atlieka funkcijos f (x) atvirkštinę funkciją. Kad funkcija palaikytų atvirkštinę funkciją, ji turi būti bijektorius, tai yra, purkštuvas ir surjektorius tuo pačiu metu. Atvirkštinės funkcijos formavimosi dėsnis veikia priešingai nei funkcija f (x).

Pvz., Jei funkcija ima reikšmę iš domenas ir prideda 2, atvirkštinė funkcija, užuot pridėjusi, atima 2. Surask atvirkštinės funkcijos formavimo dėsnis tai ne visada lengva užduotis, nes būtina apversti nežinomus x ir y, taip pat izoliuoti y naujojoje lygtyje.

Taip pat skaitykite:Funkcija - viskas, ką reikia žinoti norint įvaldyti dalyką

Kada funkcija palaiko atvirkštinę?

Grafinis funkcijos ir jos atvirkštinės funkcijos vaizdavimas.

Vaidmuo yra apverčiamas, tai yra, ji turi atvirkštinę funkciją, jei ir tik tuo atveju bijektorius. Svarbu prisiminti, ką a bijektoriaus funkcija, kuri yra funkcija purkštukas, tai yra, kiekvienas vaizdo elementas turi vieną domeno korespondentą. Tai reiškia, kad skirtingus A rinkinio elementus reikia susieti su skirtingais A grupės elementais aibė B, tai yra, negali būti dviejų ar daugiau aibės A elementų, turinčių tą patį atitikmenį rinkinys B.

Vaidmuo yra surjektyvus jei vaizdas lygus kontrdomainui, tai yra, aibėje B nėra elemento, kuris neturėtų aibės A elemento, susijusio su juo.

Tegul funkcija f: A → B, kur A yra domenas, o B - priešdomenas, f atvirkštinė funkcija bus funkcija, kurią apibūdina f^-1 : B → A, tai yra domenas ir priešinis domenas yra apversti.

Pavyzdys:

Funkcija f: A → B yra bijektyvi, nes ji yra injekcinė (juk A skirtingi elementai yra susiję su skirtingi elementai B) ir tai taip pat surjektyvu, nes B rinkinyje nebelieka elemento, tai yra, kontrdomainas yra toks pat kaip rinkinys Vaizdas.

Todėl ši funkcija yra apverčiama, o atvirkštinė yra:

Kaip nustatomas atvirkštinės funkcijos formavimo dėsnis?

Norint rasti atvirkštinės funkcijos formavimo dėsnį, mums reikia atvirkščiai nežinomiems, tai yra, pakeičiant x y ir y x, tada išskiriant nežinomą y. Tam svarbu, kad funkcija būtų invertuojama, tai yra, bijector.

→ 1 pavyzdys

Raskite atvirkštinės funkcijos f (x) = x + 5 formavimosi dėsnį.

Rezoliucija:

Mes žinome, kad f (x) = y, taigi y = x + 5. Atlikdami x ir y inversiją, rasime tai lygtis:

x = y + 5

Dabar išskirkime y:

- 5 + x = y
y = x - 5

Aišku, jei f (x) prie x reikšmės prideda 5, tai jo atvirkštinė f (x) ^{- 1} padarys atvirkščiai, tai yra, x atėmus 5.

→ 2 pavyzdys

Atsižvelgiant į funkciją, kurios formavimosi dėsnis yra f (x) = 2x - 3, koks bus jos atvirkštinio formavimo dėsnis?

→ 3 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos y = 2 atvirkštinio formavimosi dėsnį^x.

Rezoliucija:

y = 2^x
X pakeitimas y:
x = 2^y

kreipiantis logaritmas Iš abiejų pusių:

žurnalas₂x = žurnalas₂2^y
žurnalas₂x = ilogas₂2
žurnalas₂x = y · 1
žurnalas₂x = y
y = žurnalas₂x

Taip pat skaitykite: Skirtumai tarp funkcijos ir lygties

Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)

Atvirkštinių funkcijų grafikas

Atvirkštinės funkcijos f grafikas ^-1 jis visada bus simetriškas funkcijos f grafikui tiesės y = x atžvilgiu, o tai leidžia analizuoti šių elgesį funkcijos, nors kai kuriais atvejais negalime apibūdinti atvirkštinės funkcijos formavimo dėsnio, dėl jo sudėtingumas.

Taip pat skaitykite: Kaip pavaizduoti funkciją?

sprendė pratimus

1) Jei f^-1 yra atvirkštinė f funkcija, einanti nuo R iki R, kurios formavimosi dėsnis f (x) = 2x - 10, skaitinė f reikšmė ^-1(2) é:

iki 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Rezoliucija:

→ 1-as žingsnis: raskite atvirkštinę f.

→ 2 žingsnis: pakeiskite 2 vietoje x vietoje f ^-1(x).

C alternatyva.

2) Tegu f: A → B yra funkcija, kurios formavimosi dėsnis yra f (x) = x² + 1, kur A {-2, -1, 0, 1, 2} ir B = {1,2,5}, teisinga sakyti, kad:

a) funkcija yra invertuojama, nes ji yra bijector.

b) funkcija nėra invertuojama, nes ji nėra švirkščiama.

c) funkcija nėra invertuojama, nes ji nėra surjektyvi

d) funkcija nėra invertuojama, nes ji nėra nei surjektyvi, nei injekcinė.

e) funkcija nėra invertuojama, nes ji yra bijector.

Rezoliucija:

Kad funkcija būtų invertuojama, ji turi būti bijektyvi, tai yra surjektyvi ir injekcinė. Pirmiausia paanalizuokime, ar jis surjektyvus.

Kad funkcija būtų surjektyvi, visi B elementai turi turėti atitikmenį A. Norėdami tai sužinoti, apskaičiuokime kiekvieną jo skaitinę vertę.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2 + 1 = 4 + 1 = 5

Atkreipkite dėmesį, kad visi B {1,2,5} elementai turi atitikmenį A, o tai daro funkciją surjektyvus.

Kad ši funkcija būtų švirkščiama, elementai, kurie skiriasi nuo A, turi turėti skirtingus atvaizdus B raidėje, o tai neįvyksta. Atkreipkite dėmesį, kad f (-2) = f (2) ir taip pat, kad f (-1) = f (1), o tai daro funkciją negalima švirkšti. Kadangi tai nėra purkštukas, jis taip pat nėra apverčiamas; todėl, alternatyva b.

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja