trigonometrinis apskritimas yra 1 spindulio apskritimas, pavaizduotas Dekarto plokštuma. Joje horizontali ašis yra kosinuso, o vertikali - sinusinė. Tai taip pat galima vadinti trigonometriniu ciklu.
Jis naudojamas trigonometrinių santykių tyrimams atlikti. Su juo galima geriau suprasti pagrindines trigonometrines priežastis kampai didesnis nei 180º, būtent: sinusas, kosinusas ir liestinė.
Taip pat skaitykite: 4 dažniausios pagrindinės trigonometrijos klaidos
Žingsnis po žingsnio sukurkite trigonometrinį apskritimą
Norėdami sukurti trigonometrinį apskritimą, mes naudojame dvi ašis, viena vertikali ir viena horizontali, kaip Dekarto plokštuma. Horizontali ašis yra žinoma kaip kosinuso ašis, o vertikalioji ašis yra žinoma kaip sinusinė ašis.
Konstruodami ašis, nubrėžkime 1 spindulio apskritimo grafiką.
Trigonometriniai santykiai apskritime
Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)
Mes naudojame apskritimą, kad rastume reikšmę sinusas, kosinusas ir liestinė, atsižvelgiant į kampo vertę. turintis vertikalioji ašis sinuso vertę, o horizontalioje - kosinuso reikšmė, nustatant trigonometrinio apskritimo kampą, galima rasti sinuso ir kosinuso vertę analizuojant taško, kuriame tiesės atkarpa jungia apskritimo centrą ir apskritimą, koordinatės, vaizde a vaizduojamos P sekite. Jei taške (1.0) nubrėžsime apskritimo liestinę tiesę, pagal vaizdą taip pat galime analitiškai apskaičiuoti šio kampo liestinę:
Taip pat skaitykite: Kas yra sekantinė, kosekantinė ir kotangentinė?
Trigonometriniai apskritimo radianai
Mes žinome, kad lanką galima išmatuoti naudojant du skirtingus matavimo vienetus: matą laipsniais ir matą radianai. Mes tai žinome apskritimas yra 360º ir kad jūsų lanko ilgis yra 2π:
Trigonometrinio apskritimo kvadrantai
Ar radianais, ar laipsniais, pagal jo matavimą galima apibrėžti kvadrantą, kuriame yra duotas lankas.
Analizuodami ciklą turime:
pirmasis kvadratas: kampai, kurie yra nuo 0 iki 90 ° arba 0 ir π / 2 radianai;
antras kvadratas: kampai, esantys nuo 90 ° iki 180 ° arba π / 2 ir π radianai;
trečiasis kvadratas: kampai, kurie yra tarp 180º ir 270º arba π ir 3 π / 2 radianai;
ketvirtasis kvadrantas: kampai, kurie yra tarp 270 ° ir 360 ° arba 3π / 2 ir 2π radianai.
Taip pat skaitykite: Plano charakteristikos ir savybės
Pažymimi trigonometrinio apskritimo kampai
Tyrimo pradžioje trigonometrija, mes sužinojome, kad žymūs kampai yra 30, 45 ir 60 laipsnių kampai, turintys žinomos sinuso, kosinuso ir liestinės vertę. Tačiau dėl trigonometrinio ciklo simetrijos galima rasti šių kampų sinusinę ir kosinusinę vertes ir simetriškus kampus jam kiekviename kvadrate.
Trigonometriniai apskritimo ženklai
Norint suprasti, kas yra kiekvieno iš ciklo trigonometrinių santykių ženklas, pakanka išanalizuoti ašies reikšmes Dekarto plokštumoje.
Pradėkime nuo kosinuso. Kadangi tai yra horizontali ašis, kampų, esančių vertikalios ašies dešinėje, kosinusas yra teigiamas, o kampų, esančių kairėje vertikalios ašies, kosinusas yra neigiamas.
Dabar, norėdami suprasti sinusinį kampo ženklą, tiesiog nepamirškite, kad vertikalioji ašis yra sinusinė, taigi kampo, kuris yra virš horizontalios ašies, sinusas yra teigiamas; bet jei kampas yra žemiau horizontalios ašies, šio kampo sinusas yra neigiamas, kaip parodyta šiame paveikslėlyje:
Mes tai žinome liestinė yra sinuso ir kosinuso santykis, tada, norėdami rasti kiekvieno kvadranto liestinės ženklą, žaidžiame ženklų žaidimą, kuris daro liestinę teigiamą nelyginiuose kvadratuose ir neigiamą lyginiuose kvadrantuose:
Taip pat skaitykite: Kas yra pusiau tiesi, pusiau plokštuma ir pusiau erdvė?
simetrija apskritime
Analizuojant trigonometrinį ciklą, galima sukonstruoti būdą, kaip sumažinti sinusą, kosinusą ir liestinę pirmajam kvadrantui. Šis sumažinimas reiškia, kad surandamas kampas, simetriškas kitų kvadrantų kampui, nes dirbant simetrišku kampu trigonometrinių santykių vertė yra tokia pati, keičiant tik jos signalas.
2 kampe esančio kampo sumažinimas iki 1 kvadranto
Pradėdami nuo kampų, esančių 2-ajame kvadrante, turime:
Kaip žinome, 1 ir 2 kvadrantuose sinusas yra teigiamas. Taigi, norėdami apskaičiuoti sinuso sumažėjimą nuo 2-ojo iki 1-ojo kvadranto, naudojame formulę:
sin x = nuodėmė (180º - x)
Kosinusas ir liestinė 2-ajame kvadrate yra neigiami. Norėdami sumažinti kosinusą nuo 2-ojo iki 1-ojo kvadranto, naudojame formulę:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Pavyzdys:
Kokia yra 120 ° kampo sinuso ir kosinuso vertė?
120 ° kampas yra kvadrantas antrasis kampas, nes jis yra tarp 90 ° ir 180 °. Norėdami sumažinti šį kampą iki 1-ojo kvadrato, apskaičiuojame:
nuodėmė 120 ° = nuodėmė (180 ° - 120 °)
nuodėmė 120º = nuodėmė 60º
60 ° kampas yra puikus kampas, todėl jo sinuso vertė yra žinoma, taigi:
Dabar apskaičiuokime jūsų kosinusą:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Žinodami 60-osios kosinusą, turime:
3-ame ir 1-ajame kvadrate esančio kampo sumažinimas
Kaip ir 2-ajame kvadrate, simetrija yra tarp 3-ojo ir 1-ojo kvadrato kampų.
Sinusas ir kosinusas trečiajame kvadrate yra neigiami. Taigi, norėdami sumažinti sinusą ir kosinusą nuo 3-iojo iki 1-ojo kvadranto, naudojame formulę:
sin x = - nuodėmė (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
3 kvadranto liestinė yra teigiama. Norėdami jį sumažinti, mes naudojame formulę:
tg x = tg (x - 180º)
Pavyzdys:
Apskaičiuokite 225 ° sinusą, kosinusą ir liestinę.
nuodėmė 225º = - nuodėmė (225–180º)
nuodėmė 225º = - nuodėmė 45º
Kadangi 45º yra nepaprastas kampas, mes turime:
Apskaičiuodami kosinusą, turime:
tg 225º = tg (225–180º)
tg 225º = tg 45º
Mes žinome, kad tg45º = 1, taigi:
tg 225º = 1
Kampo, esančio 4-ame kvadrante, sumažinimas iki 1-ojo kvadranto
Taikant tą patį argumentą kaip ir ankstesniuose redukcijose, tarp 4 ir 1 kvadrato yra simetrija:
Sinusinės ir liestinės reikšmės 4-ajame kvadrante yra neigiamos. Taigi, norėdami sumažinti nuo 4 iki 1 kvadrato, naudojame formulę:
sin x = - nuodėmė (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Kosinusas 4-ame kvadrate yra teigiamas. Taigi, norint sumažinti iki 1-ojo kvadrato, formulė yra:
cos x = cos (360º - x)
Pavyzdys:
Apskaičiuokite sinuso ir kosinuso vertes 330º.
Pradedant nuo sinuso:
Dabar skaičiuojant kosinusą:
Taip pat skaitykite: Kaip apskaičiuoti atstumą tarp dviejų taškų erdvėje?
Trigonometrinio apskritimo sprendžiami pratimai
Klausimas 1 - Tyrinėdamas apskritą akimirką, fizikas išanalizavo aplink save besisukantį objektą, suformuodamas 15 240º kampą. Analizuojant šį kampą, jo suformuotas lankas yra:
A) I kvadrantas
B) II kvadrantas.
C) III kvadrantas.
D) IV kvadratas.
E) ant vienos iš ašių.
Rezoliucija
B alternatyva.
Mes žinome, kad kiekvienas 360 ° šis objektas suko ratą aplink save. Atliekant padalijimas 1540 iš 360, rasime, kiek užbaigtų posūkių šis objektas padarė aplink save, tačiau mūsų pagrindinis interesas yra likusi dalis, kuri rodo kampą, kuriuo jis sustojo.
15.240: 360 = 42,333…
Rezultatas rodo, kad jis apsisuko 42 kartus, bet 360 · 42 = 15,120, todėl paliko kampą:
15.240 – 15.120 = 120º
Mes žinome, kad 120 ° yra kvadranto antrasis kampas.
2 klausimas - Vertinkite šiuos teiginius:
I → Skaičiuojant tg 140º, vertė bus neigiama.
II → 200 ° kampas yra 2 kvadrato kampas.
III → Sen 130º = nuodėmė 50º.
Pažymėkite teisingą alternatyvą:
A) Tik aš melas.
B) Tik II yra klaidinga.
C) Tik III yra klaidinga.
D) Visi yra teisingi.
Rezoliucija
B alternatyva.
I → Tiesa, kadangi 140º kampas priklauso 2-ajam kvadrantui, kuriame liestinė visada yra neigiama.
II → Netiesa, nes 200 ° kampas yra 3-iojo kvadrato kampas.
III → Tiesa, nes norint sumažinti kampą nuo 2 iki 1 kvadrato, tiesiog apskaičiuokite 180 ° - x skirtumą, tada:
nuodėmė 130 ° = nuodėmė (180 ° - 130 °)
nuodėmė 130-oji = nuodėmė 50-a
Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja
