A liestinė (sutrumpintai kaip tg arba tan) yra a trigonometrinė funkcija. Kampo liestinės nustatymui galime naudoti įvairias strategijas: apskaičiuokite santykį tarp kampo sinuso ir kosinuso, jei jie žinomi; naudokite liestinių lentelę arba skaičiuotuvą; apskaičiuokite santykį tarp priešingos ir gretimos kojos, jei aptariamas kampas yra stačiojo trikampio vidinis (smailusis), be kita ko.
Taip pat skaitykite: Kam naudojamas trigonometrinis apskritimas?
santrauka apie liestinę
Tangentas yra trigonometrinė funkcija.
Vidinio kampo liestinė su stačiakampiu trikampiu yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis.
Bet kurio kampo liestinė yra to kampo sinuso ir kosinuso santykis.
Funkcija \(f (x)=tg\ x\) yra apibrėžtas kampams x išreikštas radianais, kad cos \(cos\ x≠0\).
Tangentinės funkcijos grafikas rodo vertikalias reikšmių asimptotes, kur \(x= \frac{π}2+kπ\), su k visa, patinka \(x=-\frac{π}2\).
Tangentų dėsnis yra išraiška, kuri bet kuriame trikampyje susieja dviejų kampų ir priešingų kampų kraštines.
Kampo liestinė
Jei α yra vienas kampu vidinis a taisyklingas trikampis, α liestinė yra santykis tarp priešingos kojos ilgio ir gretimos kojos ilgio:
Bet kurio kampo α liestinė yra santykis tarp nuodėmės α ir α kosinuso, kur \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Reikėtų pažymėti, kad jei α yra 1 arba 3 kvadranto kampas, liestinė turės teigiamą ženklą; bet jei α yra 2 arba 4 kvadranto kampas, liestinė turės neigiamą ženklą. Šis ryšys tiesiogiai atsiranda dėl ženklų taisyklės tarp sinuso ir kosinuso ženklų kiekvienam α.
Svarbu: Atkreipkite dėmesį, kad liestinė neegzistuoja α kur reikšmėms \(cos\ α=0\). Tai atsitinka, kai kampai yra 90°, 270°, 450°, 630° ir pan. Norėdami pavaizduoti šiuos kampus bendrai, naudojame radianinį žymėjimą: \(\frac{ π}2+kπ\), su k visas.
Žymių kampų liestinė
Naudojant posakį \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), galime rasti liestinės nuostabūs kampai, kurie yra 30°, 45° ir 60° kampai:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Įdomus: Be šių, galime analizuoti 0° ir 90° kampų liestinės vertes, kurios taip pat plačiai naudojamos. Kadangi sin 0° = 0, darome išvadą, kad tan 0° = 0. 90° kampui, kadangi cos90° = 0, liestinė neegzistuoja.
Kaip apskaičiuoti tangentą?
Norėdami apskaičiuoti liestinę, naudojame formulę tg α = sin αcos α, naudojamą bet kurio kampo liestinės apskaičiavimui. Pažvelkime į keletą pavyzdžių žemiau.
1 pavyzdys
Žemiau esančiame stačiakampiame trikampyje raskite kampo α liestinę.
Rezoliucija:
Kalbant apie kampą α, 6 mato kraštinė yra priešinga, o 8 matavimo pusė yra gretima. Kaip šitas:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
2 pavyzdys
Žinant tai \(sin\ 35°≈0,573\) ir cos\(35°≈0,819\), suraskite apytikslę 35° liestinės reikšmę.
Rezoliucija:
Kadangi kampo liestinė yra santykis tarp to kampo sinuso ir kosinuso, turime:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
liestinės funkcija
Funkcija fx=tg x yra apibrėžta kampams x išreikštas radianais, todėl \(cos\ x≠0\). Tai reiškia, kad liestinės funkcijos sritis išreiškiama taip:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Be to, visi realūs skaičiai yra liestinės funkcijos vaizdas.
→ Tangentinės funkcijos grafikas
Atkreipkite dėmesį, kad liestinės funkcijos grafikas turi vertikalias asimptotes verčių kur \(x= \frac{π}2+kπ\), su k visa, patinka \(x=-\frac{π}2\). Dėl šių vertybių x, liestinė neapibrėžta (tai yra, liestinė neegzistuoja).
Taip pat žiūrėkite: Kas yra domenas, diapazonas ir vaizdas?
liestinių dėsnis
Tangentų dėsnis yra a išraiška, kuri asocijuojasi, a trikampis bet kuris, dviejų kampų liestinės ir priešingos šiems kampams kraštinės. Pavyzdžiui, toliau apsvarstykite trikampio ABC kampus α ir β. Atkreipkite dėmesį, kad kraštinė CB = a yra priešinga kampui α, o kraštinė AC = b yra priešinga kampui β.
Tangentų dėsnis teigia, kad:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometriniai santykiai
Į trigonometriniai santykiai yra trigonometrinės funkcijos, apdorotos stačiajame trikampyje. Šiuos santykius interpretuojame kaip santykius tarp tokio tipo trikampio kraštinių ir kampų.
Išsprendė pratimus ant tangento
Klausimas 1
Tegu θ yra antrojo kvadranto kampas, toks, kad nuodėmė\(sin\ θ≈0,978\), taigi tgθ yra apytikslis:
A) -4 688
B) 4 688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rezoliucija
Alternatyva A
jeigu \(sin\ θ≈0,978\), tada, naudojant pagrindinę trigonometrijos tapatybę:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ = 1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Kadangi θ yra antrojo kvadranto kampas, cosθ yra neigiamas, todėl:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Netrukus:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
2 klausimas
Apsvarstykite statųjį trikampį ABC, kurio kojelės AB = 3 cm ir AC = 4 cm. Kampo B liestinė yra:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
IR) \(\frac{5}3\)
Rezoliucija:
Alternatyva C
Pagal teiginį, koja priešinga kampui \(\kepurė{B}\) kintamoji srovė yra 4 cm, o kojelė yra greta kampo \(\kepurė{B}\) yra AB, kurio matmuo yra 3 cm. Kaip šitas:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Parašė Maria Luiza Alves Rizzo
Matematikos mokytojas