Pratimai apie PA ir PG

Žingsnis po žingsnio mokykitės aritmetinės ir geometrinės progresijos atlikdami išspręstus ir komentuojamus pratimus.

1 pratimas

AP atveju a2 = 5 ir a7 = 15. Raskite a4 ir pridėkite pirmuosius penkis šio AP terminus.

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: a4 = 9 ir S = 35.

Rezoliucija

1 žingsnis: nustatykite priežastį ir a4.
Norėdami palikti a2 ir atvykti į a7, pridedame 5r, nes tai yra „atstumas“ tarp 7 ir 2.

a su 7 indeksu yra lygus a su 2 indeksu plius 5 r 15 tarpas lygus tarpas 5 tarpas plius tarpas 5 r 15 tarpo atėmus tarpą 5 tarpą lygu 5 r 10 tarpo lygu tarpui 5 r 10 virš 5 lygu r 2 lygu r

Terminas a4 yra terminas a2 plius 2r, nes norėdami gauti nuo a2 iki a4, mes „pažengiame“ 2r. Netrukus

a su 4 indeksu yra lygus a su 2 indeksu plius 2 r a su 4 indeksu yra lygus 5 tarpams plius tarpas 2,2 a su 4 indeksu yra 5 tarpas plius tarpas 4 tarpas yra lygus tarpui 9

Todėl ketvirtasis AP terminas yra 9.

2 žingsnis: nustatykite pirmųjų penkių šio AP dalių sumą.

AP sąlygų suma apskaičiuojama taip:

S lygus skaitiklio kairiesiems skliaustams a su 1 apatiniu indeksu ir a su n dešiniuoju skliaustu. n virš vardiklio 2 trupmenos pabaiga

a1 = a2 - r (nes grįžtame viena pozicija atgal, pradedant nuo a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (nes mes grįžtame dviem pozicijomis PA, pradedant nuo a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S lygus skaitiklio kairysis skliaustas 3 tarpas plius tarpas 11 dešinysis skliaustas.5 virš vardiklio 2 trupmenos galas lygus skaitiklio 14 tarpui. tarpas 5 virš vardiklio 2 trupmenos galas lygus 70 virš 2 lygus 35

2 pratimas

(Aeronautika 2021) Profesorius parašė 8 terminų didėjančią aritmetinę progresiją, prasidedančią skaičiumi 3 ir sudarytą tik iš natūraliųjų skaičių. Tada jis pastebėjo, kad antrasis, ketvirtasis ir aštuntasis šios aritmetinės progresijos nariai tokia tvarka sudaro geometrinę progresiją. Profesorius taip pat pastebėjo, kad šios geometrinės progresijos narių suma buvo lygi

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

žiūrėti atsakymą

Atsakymas: a) 42

Pagal AP terminai, sudarantys PG, yra a2, a4 ir a8:

a su 2 apatiniais indeksais lygu a su 1 indeksu plius kairysis skliaustas n atėmus 1 dešinįjį skliaustelį r a su 2 apatinis indeksas lygus 3 plius kairysis skliaustas 2 atėmus 1 dešinysis skliaustas r a su 2 indeksu lygus 3 plius r erdvė

a su 4 indeksu yra lygus a su 1 indeksu plius kairysis skliaustas 4 atėmus 1 dešinįjį skliaustelį r a su 4 indeksu yra lygus 3 tarpams plius tarpas 3 r

a su 8 indeksu yra lygus 3 plius kairysis skliaustas 8 atėmus 1 dešinįjį skliaustelį r a su 8 indeksu yra lygus 3 plius 7 r

Trijų terminų suma yra tokia:

S lygus a su 2 apatiniais indeksais plius a su 4 apatiniais indeksais plius a su 8 apatiniais indeksais S yra lygus kairiesiems skliaustams 3 plius r dešiniajam skliaustam tarpui plius tarpui kairiesiems skliaustams 3 plius 3 r skliaustelei dešinysis tarpas plius tarpas kairysis skliaustas 3 plius 7 r dešinysis skliaustas S lygus 9 tarpas plius tarpas 11 r tarpas tarpas tarpas kairysis skliaustas ir klausimo tarpas I skliaustas teisingai

Norėdami nustatyti r, naudojame geometrinį vidurkį:

a su 4 indeksu atitinka kvadratinę šaknį iš a su 2 indeksu. a su 8 apatinio indekso 3 šaknies pabaiga plius 3 r yra lygi kvadratinei šaknims iš kairiojo skliausto 3 plius r dešiniojo skliausto. kairysis skliaustas 3 plius 7 r dešinysis skliaustas šaknies galas

Iš abiejų pusių kvadratas

kairysis skliaustas 3 plius 3 r dešinysis skliaustas kvadratu lygus kairysis skliaustas 3 plius r dešinysis skliaustas. kairysis skliaustas 3 plius 7 r dešinysis skliaustas

Pirmosios kadencijos kvadratūra ir antrojo termino paskirstymas:

Pakeitę r į I lygtį, gauname:

S tarpas lygus tarpas 9 tarpas plius tarpas 11 r S tarpas lygus tarpas 9 tarpas plius tarpas 11,3 S tarpas lygus tarpas 9 tarpas plius tarpas 33 S tarpas lygus tarpui 42

Todėl pirmųjų trijų narių suma lygi 42.

3 pratimas

(PM-SP 2019) 2015 m. didelė naftos bendrovė pradėjo pakartotinai panaudoti vandenį, naudojamą dalims, kurios pagamino ir numatė, kad iki 2050 m. kasmet palaipsniui didės pakartotinai panaudoto vandens kiekis aritmetine progresija. metų.

Lentelėje pateikiami pakartotinai panaudoto vandens kiekiai per pirmuosius 3 metus:

Lentelė, susijusi su klausimo sprendimu.

Tegu An yra bendras aritmetinės progresijos narys, nurodantis pakartotinai panaudoto vandens tūrį milijonais m³, kai n = 1, reiškia pakartotinai panaudoto vandens kiekį 2016 metais, n = 2, reiškia pakartotinai panaudoto vandens kiekį 2017 metais ir pan. paeiliui.

Tokiomis sąlygomis žmogus turi

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: c) An = 0,5n + 23.

objektyvus
Nustatykite An kaip n funkciją.

Rezoliucija
Aritmetinės progresijos santykis yra 0,5, nes 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Bendras AP terminas pateikiamas taip:

A su n apatiniu indeksu yra lygus tarpui a su 1 apatiniu indeksu tarpo ir tarpo kairiuoju skliaustu n atėmus 1 dešinįjį skliaustelį r

Vertybių pakeitimas:

A su n indeksu yra lygus 23 kableliui 5 tarpui plius tarpui 0 kableliui 5 n tarpui atėmus tarpą 0 kableliui 5 A su n indeksu yra lygus 0 kableliui 5 n plius 23 tarpai

4 pratimas

(CEDERJ 2021) Seka (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) yra 6 santykio aritmetinė progresija. Ketvirtasis šios progresijos terminas yra

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: a) 31

Rezoliucija
r tarpas lygus tarpui a su 2 indeksu atėmus a su 1 indeksu 6 tarpas lygus tarpui 3 x plius 4 tarpams atėmus skliaustus kairėje 2x plius 3 skliausteliuose dešinėje 6 lygu 3x plius 4 minus 2x minus 3 6 lygu x plius 1x lygu 6 minus 1x lygu 5

Ketvirtasis narys yra a3 + r, pavyzdžiui:

a su 4 indeksu yra lygus a su 3 indeksu plius r a su 4 indeksu yra 4 x tarpas plius tarpas 5 tarpas ir tarpas r

Rastų reikšmių pakeitimas:

a su 4 apatiniais indeksais yra lygus 4,5 tarpo plius tarpo 5 tarpo plius tarpo 6 a su 4 apatiniais indeksais yra lygus 20 plius tarpas 5 tarpas plius tarpas 6 a su 4 indeksais yra lygus 31

5 pratimas

(Enem 2021) Brazilijoje laikas, reikalingas studentui baigti mokymą iki aukštojo kurso baigimo, įvertinus 9 metus pradinės mokyklos, 3 metus vidurinės mokyklos ir 4 metus baigimo (vidutinis laikas), tai yra 16 metų. Tačiau brazilų realybė rodo, kad vidutinis vyresnių nei 14 metų žmonių mokymosi laikas vis dar yra labai mažas, kaip matyti iš lentelės.
Lentelė, susijusi su klausimo sprendimu.

Atsižvelkite į tai, kad studijų laikas kiekvienu laikotarpiu šiems žmonėms išlieka pastovus iki metų 2050 m., ir kad ketinama pasiekti 70 % laiko, reikalingo aukštesniam kursui įgyti anksčiau.
Tai bus metai, kuriais vyresnių nei 14 metų asmenų vidutinis studijų laikas pasieks norimą procentą

a) 2018 m.
b) 2023 m.
c) 2031 m.
d) 2035 m.
e) 2043 m.

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: d) 2035 m.

1 dalis: nustatykite 70% iš 16.

70 procentų ženklų tarpas 16 tarpas lygus tarpui 70 virš 100 daugybos ženklas 16 lygus 1120 virš 100 lygus 11 taškas 2

2 dalis: nustatyti, po kiek laikotarpių bus pasiektas 11,2 studijų metų.

Tyrimo laiko seka yra aritmetinė progresija (AP), kurios santykis yra 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

11,2 metų suma bus pasiekta:

A su n yra lygus a su 1 indeksu plius tarpas kairysis skliaustas n atėmus 1 dešinysis skliaustas r 11 kablelis 2 lygus 5 kableliui 2 plius kairysis skliaustas n minus 1 dešinysis skliaustas 0 kablelis 6 11 kablelis 2 yra lygus 5 kableliui 2 plius 0 kableliui 6 n minus 0 kableliu 6 11 kableliu 2 minus 5 kableliu 2 plius 0 kableliu 6 yra lygus 0 kablelis 6 n 6 plius 0 kablelis 6 lygus 0 kableliui 6 n 6 kableliui 6 lygu 0 kableliui 6 n skaitiklis 6 kablelis 6 virš vardiklio 0 kablelis 6 trupmenos pabaiga lygu n 11 lygus n

11,2 suma bus pasiekta 11 PA kadencijoje.

3 dalis: nustatyti, kuri yra 11 metų PA kadencija.

Santykis yra a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 metai

A su 11 apatinių indeksų yra lygus a su 1 indeksu ir kairįjį skliaustelį n atėmus 1 dešinįjį skliaustelį r A su 11 apatinių indeksų yra lygus 1995 plius kairysis skliaustas 11 minus 1 dešinysis skliaustas 4 A su 11 apatinių indeksų yra lygus 1995 plius 10,4 A su 11 apatinių indeksų yra 1995 tarpas plius tarpas 40 A su 11 apatinių indeksų 2035

Išvada
70% iš 16 metų, reikalingų bakalauro laipsniui įgyti, bus pasiekta 2035 m.

6 pratimas

(Fire Department 2021) Lėktuve ir gaisrinėje mašinoje yra atitinkamai 12 000 ir 8 000 litrų talpos vandens rezervuarai. Sunkvežimis turi 2,5 GPM siurblį, tai reiškia, kad jis gali siurbti 2,5 galono per minutę.

Iš šios hipotetinės situacijos spręskite toliau pateiktą dalyką, manydami, kad 1 galonas yra lygus 3,8 litro vandens.

Jei vandens bako talpa yra X tūkst. litrų, taigi 8, X ir 12 yra geometrine progresija, tokia tvarka, tai to bako talpa yra mažesnė nei 10 tūkst.

Teisingai

Neteisingai

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: teisingai

objektyvus
Patikrinkite, ar X < 10.

Rezoliucija
Geometrinėje progresijoje PG vidurkis yra geometrinis vidurkis tarp kraštutinumų.

X mažiau nei kvadratinė šaknis iš 8,12 šaknies galas X tarpas mažesnis nei kvadratinė šaknis iš 96

Tiesą sakant, apytikslė kvadratinė šaknis iš 96 yra 9,79. Darome išvadą, kad bako talpa X yra mažesnė nei 10 tūkstančių litrų.

7 pratimas

(Aeronautika 2021) Būkite P.G. (24, 36, 54, ...). Pridėjus 5-ąją ir 6-ąją šio G.P. ten buvo

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: c) 1215/4

objektyvus
Pridėkite a5 + a6

Rezoliucija

1 veiksmas: nustatykite santykį q.

PG priežastis yra:

q lygus su 2 indeksu virš a su 1 indeksu lygu 36 virš 24 lygu 3 virš 2

2 veiksmas: nustatykite a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

A4 pakeitimas į a5:

a su 5 indeksų tarpu yra lygus tarpui a su 3 indeksų tarpu. erdvė q erdvė. tarpas q tarpas lygus tarpui a su 3 apatinio indekso tarpais. erdvė q kvadratu

3 veiksmas: nustatykite a6

a6 = a5. q

A5 pakeitimas į a6:

a su 6 indeksu atitinka a su 5 indeksu tarpą. tarpas q tarpas lygus tarpui a su 3 apatinio indekso tarpais. erdvė q erdvė kvadratu. tarpas q tarpas lygus tarpui a su 3 apatinio indekso tarpais. erdvė q kubeliu

4 veiksmas: pridėkite a5 + a6, pakeisdami skaitines reikšmes.

a su 5 indeksu ir a su 6 indeksu atitinka a su 3 indeksu. q tarpas kvadratu ir tarpas a su 3 indeksais. q su kubeliu a su 5 indeksu ir a su 6 indeksu atitinka 54 tarpą. tarpas atidaro skliaustelį 3 virš 2 uždaro skliaustelį kvadratu plius tarpas 54 tarpas. tarpas atidaro skliaustus 3 per 2 uždaro skliaustus su 5 indeksu ir a su 6 apatiniais indeksais yra lygus 54 tarpams. erdvė 9 virš 4 erdvės plius erdvė 54 vietos. erdvė 27 virš 8

54 įrodymas:

a su 5 indeksais plius a su 6 indeksais yra lygus 54 tarpai atveria skliaustus 9 virš 4 tarpo ir tarpo 27 daugiau nei 8 uždaro skliaustus a su 5 indeksu plius a su 6 indeksu yra lygus 54 atidaro skliaustus skaitiklis 9 erdvė. tarpas 8 virš vardiklio 4 tarpas. tarpas 8 trupmenos pabaiga plius tarpas skaitiklis 27 tarpas. tarpas 4 virš vardiklio 4 tarpas. tarpas 8 trupmenos pabaiga uždaro skliaustus a su 5 indeksu plius a su 6 indeksu yra lygus 54 atidaro skliaustus 72 virš 32 plius 108 virš 32 uždaro skliaustus a su 5 indeksais plius a su 6 indeksais yra lygus 54 atidaro skliaustus 180 virš 32 uždaro skliaustus a su 5 indeksais plius a su 6 indeksais yra lygus 54 erdvė. tarpas 180 virš 32 lygus 9720 virš 32 lygus 1215 virš 4

8 pratimas

(UERJ 2019) Trikampiai A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, pavaizduoti toliau, turi atitinkamai p1, p2, p3 perimetrus. Šių trikampių viršūnės, pradedant nuo antrojo, yra ankstesnio trikampio kraštinių vidurio taškai.

Vaizdas, susietas su problemos sprendimu.

pripažinti tai krūva A su 1 indeksu B su 1 apatiniu indeksu su pasviruoju brūkšniu virš krūvos B su 1 indeksu C su 1 indeksu su pasviruoju brūkšniu viršuje yra lygus 7 tarpo ir tarpo krūvos A su 1 apatiniu indeksu C su 1 apatiniu indeksu su pasviruoju brūkšniu viršuje yra lygus 4 .

Taigi (p1, p2, p3) apibrėžia tokią progresiją:

a) santykis aritmetinis = – 8
b) santykio aritmetinis = – 6
c) geometrinis santykis = 1/2
d) geometrinis santykis = 1/4

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: c) geometrinis santykis = 1/2

Rezoliucija

1 veiksmas: apibrėžkite perimetrus p1, p2 ir p3.

p su 1 apatiniu indeksu atitinka tarpinį paketą A su 1 apatiniu indeksu B su 1 apatiniu indeksu su pasviruoju brūkšniu viršuje ir tarpo paketą B su 1 indeksu C su 1 apatiniu indeksu su pasviruoju brūkšniu viršuje plius krūva A su 1 apatiniu indeksu C su 1 apatiniu indeksu su pasviruoju brūkšniu virš p su 1 indeksu yra lygus 7 tarpai plius tarpas 7 tarpas plius tarpas 4 p su 1 indeksu yra lygus 18

Pagal lygiagretumą patikriname, ar vidinio trikampio kraštinės yra pusė iš karto esančio trikampio.

Pavyzdžiui, B2A2 = A1C2

Taigi p2 yra pusė p1, kaip p3 yra pusė p2. Mes turime:

p su 2 indeksu yra lygus p su 1 indeksu, padalytu iš 2, yra lygus 9 ir p su 3 indeksu yra lygus p su 2 indeksu, padalintu iš 2, yra lygus 9 tarpui, padalytam iš 2, yra lygus 4 kableliui 5

2 veiksmas: surinkite progresą ir klasifikuokite jį.

p su 1 apatiniu indeksu kablelio tarpas p su 2 apatiniais indeksais kablelio tarpas p su 3 apatiniais indeksais lygus tarpui 18 kableliui 9 kableliui 4 kableliui 5

Pasirodo, norint nustatyti p2, 18 padauginamas iš 1/2.

18 tarpo daugybos ženklo tarpo 1 pusė lygi 9

Be to, 9 padaugintas iš 1/2 yra 4,5.

9 tarpo daugybos ženklas tarpas 1 pusė lygi 9 virš 2 lygus 4 kableliui 5

Išvada
Mes patikriname, ar progresija yra geometrinė, o santykis yra 1/2.

9 pratimas

(Enem 2021) Diagrama informuoja pramonės užregistruotą produkciją sausio, kovo ir balandžio mėnesiais.

Dėl logistikos problemų vasario mėnesio produkcijos tyrimas nebuvo atliktas. Tačiau kitų trijų mėnesių informacija rodo, kad gamyba per šį keturių mėnesių laikotarpį augo eksponentiškai, kaip rodo grafike pavaizduota tendencijų kreivė.

Darant prielaidą, kad augimas šiuo laikotarpiu buvo eksponentinis, galima daryti išvadą, kad šios pramonės produkcijos kiekis vasario mėnesį tūkstančiais vienetų buvo

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

žiūrėti atsakymą

Teisingas atsakymas: c) 240.

Rezoliucija

Bendrasis PG narys yra eksponentinis a kaip n funkcija, kur a1 ir q yra pastovūs skaičiai.