Analitinė geometrija tiria geometrinius elementus koordinačių sistemoje plokštumoje arba erdvėje. Šiuos geometrinius objektus lemia jų vieta ir padėtis šios orientacijos sistemos taškų ir ašių atžvilgiu.
Nuo senovės tautų, tokių kaip egiptiečiai ir romėnai, istorijoje jau atsirado koordinačių idėja. Tačiau būtent XVII amžiuje su René Descartes'o ir Pierre'o de Fermat darbais ši matematikos sritis buvo susisteminta.
Dekarto stačiakampė sistema
Stačiakampė stačiakampė sistema yra atskaitos bazė koordinatėms nustatyti. Jį plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos ašys.
- Šios sistemos O(0,0) pradžia yra šių ašių sankirta.
- X ašis yra abscisė.
- Y ašis yra ordinatės.
- Keturi kvadrantai yra nukreipti prieš laikrodžio rodyklę.
užsakyta pora
Bet kuris plokštumos taškas turi koordinates P(x, y).
x yra taško P abscisė ir sudaro atstumą nuo jo stačiakampės projekcijos x ašyje iki pradžios.
y yra taško P ordinatė ir atstumas nuo jo stačiakampės projekcijos y ašyje iki pradžios.
atstumas tarp dviejų taškų
Atstumas tarp dviejų taškų Dekarto plokštumoje yra atkarpos, jungiančios šiuos du taškus, ilgis.
Atstumo tarp dviejų taškų formulė ir
bet koks.
Vidurio taško koordinatės
Vidurio taškas yra taškas, padalijantis atkarpą į dvi lygias dalis.
Esamas atkarpos vidurio taškas
, jo koordinatės yra abscisės ir ordinatės aritmetiniai vidurkiai.
ir
Trijų taškų derinimo sąlyga
Atsižvelgiant į taškus: .
Šie trys taškai bus suderinti, jei šios matricos determinantas yra lygus nuliui.
Pavyzdys
Linijos kampinis koeficientas
nuolydis tiesės linijos yra jos nuolydžio liestinė
x ašies atžvilgiu.
Norėdami gauti nuolydį iš dviejų taškų:
Jei m > 0, linija yra didėjanti, kitu atveju, jei m < 0, eilutė mažėja.
bendroji tiesės lygtis
Kur ,B ir ç yra pastovūs realieji skaičiai ir The ir B jie vienu metu nėra niekiniai.
Pavyzdys
Tiesės lygtis, žinanti tašką ir nuolydį
suteiktas taškas ir nuolydis
.
Linijos lygtis bus tokia:
Pavyzdys
Sumažinta tiesiosios lygties forma
Kur:
m yra nuolydis;
n yra tiesinis koeficientas.
ne yra išdėstyta ten, kur linija kerta y ašį.
Pavyzdys
Žiūrėk Linijos lygtis.
Santykinė padėtis tarp dviejų lygiagrečių tiesių plokštumoje
Dvi skirtingos linijos yra lygiagrečios, kai jų nuolydžiai yra vienodi.
jei tiesioji r turi nuolydį , ir tiesioji s turi nuolydį
, jie yra lygiagretūs, kai:
Tam jūsų polinkiai turi būti vienodi.
Liestinės yra lygios, kai kampai lygūs.
Santykinė padėtis tarp dviejų konkuruojančių tiesių plokštumoje
Dvi linijos yra lygiagrečios, kai jų nuolydžiai skiriasi.
Savo ruožtu šlaitai skiriasi, kai skiriasi jų polinkio kampai x ašies atžvilgiu.
statmenos linijos
Dvi liekanos yra statmenos, kai jų nuolydžių sandauga lygi -1.
dvi tieses r ir s, išsiskiriantys, su šlaitais ir
, yra statmenos tada ir tik tada, kai:
arba
Kitas būdas sužinoti, ar dvi tiesės yra statmenos, yra iš jų bendrosios formos lygčių.
Tiesių r ir s lygtys yra:
Dvi jam statmenos linijos, kai:
Žiūrėk Statmenos linijos.
Apimtis
Perimetras yra taškas plokštumoje, kur visi taškai P(x, y) yra vienodu atstumu r nuo jo centro C(a, b), kur r yra spindulio matas.
Perimetro lygtis sumažinta forma
Kur:
r yra spindulys, atstumas tarp bet kurio lanko taško ir centro. Ç.
The ir B yra centro koordinatės Ç.
bendroji apskritimo lygtis
Jis gaunamas išplėtojus apskritimo sumažintos lygties kvadratinius narius.
Labai dažnai pratybose rodoma bendra apskritimo lygties forma, dar žinoma kaip normalioji forma.
kūginis
Žodis kūgis kilęs iš kūgio ir reiškia kreives, gautas jį suskaidžius. Elipsė, hiperbolė ir parabolė yra kreivės, vadinamos kūginėmis.
Elipsė
Elipsė yra uždara kreivė, gauta perpjovus tiesų apskritą kūgį į ašį pasvirusia plokštuma, kuri nekerta viršūnės ir nėra lygiagreti jos generatrams.
Plokštumoje aibė visų taškų, kurių atstumų suma iki dviejų vidinių fiksuotų taškų yra pastovi.
Elipsės elementai:
- F1 ir F2 yra elipsės židiniai;
- 2c yra elipsės židinio nuotolis. Tai atstumas tarp F1 ir F2;
- Esmė O tai elipsės centras. Tai vidurio taškas tarp F1 ir F2;
- A1 ir A2 yra elipsės viršūnės;
- segmentas
pagrindinė ašis ir lygi 2a.
- segmentas
mažoji ašis lygi 2b.
- Ekscentriškumas
kur 0 < ir < 1.
Sumažintos elipsės lygtis
Apsvarstykite tašką P(x, y), esantį elipsėje, kur x yra abscisė, o y yra šio taško ordinatė.
Elipsės centras koordinačių sistemos pradžioje ir pagrindinė ašis (AA) x ašyje.
Elipsės centras koordinačių sistemos pradžioje ir pagrindinė ašis (AA) y ašyje.
Sumažinta elipsės lygtis su ašimis, lygiagrečiomis koordinačių ašims
svarstant tašką kaip Dekarto sistemos kilmė ir taškas
kaip elipsės centras.
AA pagrindinė ašis, lygiagreti x ašiai.
AA pagrindinė ašis, lygiagreti y ašiai.
Hiperbolė
Hiperbolė yra taškų rinkinys plokštumoje, kur skirtumas tarp dviejų fiksuotų taškų F1 ir F2 lemia pastovią teigiamą reikšmę.
Hiperbolės elementai:
- F1 ir F2 yra hiperbolės židiniai.
- 2c =
yra židinio nuotolis.
- Hiperbolės centras yra taškas O, F1F2 segmento vidurkis.
- A1 ir A2 yra viršūnės.
- 2a = A1A2 yra tikroji arba skersinė ašis.
- 2b = B1B2 yra įsivaizduojama arba konjuguota ašis.
-
yra ekscentriškumas.
Per trikampį B1OA2
Hiperbolės sumažinta lygtis
Su realiąja ašimi apie x ašį ir centru pradinėje vietoje.
Su realiąja ašimi y ašyje ir centru pradinėje vietoje.
Hiperbolės lygtis su ašimis, lygiagrečiomis koordinačių ašims
AA tikroji ašis lygiagreti x ašiai ir centrui .
Realioji ašis AA lygiagreti y ašiai ir centrui .
Parabolė
Parabolė yra taškas, kuriame taškų aibė P(x, y) yra vienodu atstumu nuo fiksuoto taško F ir tiesės d.
Parabolės elementai:
- F yra palyginimo židinys;
- d yra tiesi linija;
- Simetrijos ašis yra tiesi linija per židinį F ir statmena gairei.
- V yra parabolės viršūnė.
- p yra vienodo ilgio atkarpa tarp židinio F ir viršūnės V e, tarp viršūnės ir direktyvos d.
Sumažintos parabolės lygtys
Su viršūne pradžios taške ir simetrijos ašimi y ašyje.
Jei p>0 įdubimas aukštyn.
Jei p<0 įdubimas žemyn.
Su viršūne pradžios taške ir simetrijos ašimi x ašyje.
Jei p>0 įdubimas į dešinę.
Jei p<0 įdubimas į kairę.
Su simetrijos ašimi, lygiagrečia y ašiai ir viršūnei .
Su simetrijos ašimi, lygiagrečia x ašiai ir viršūnei .
praktikuotis su Analitinės geometrijos pratimai.
Sužinokite daugiau adresu:
Dekarto planas
atstumas tarp dviejų taškų
kūginis
Kampinio koeficiento apskaičiavimas
