Pitagoro teorema: formulė ir pratimai

O Pitagoro teorema išvardijamas stačiojo trikampio kraštinių ilgis. Šią geometrinę figūrą formuoja 90 ° vidinis kampas, vadinamas stačiuoju kampu.

Šios teoremos teiginys yra:

"Jūsų kojų kvadratų suma atitinka jūsų hipotenūzo kvadratą."

Pitagoro teoremos formulė

Pagal Pitagoro teoremos teiginį, formulė pateikiama taip:

The² = b² + c²

Esamas,

The: hipotenuzė
B: cateto
ç: cateto

hipotenuzė yra ilgiausia stačiojo trikampio kraštinė, o kraštinė - priešinga stačiakampiui. Kitos dvi pusės yra kojos. Šių dviejų pusių suformuoto kampo matas lygus 90º (stačiu kampu).

Mes taip pat nustatėme kojas pagal atskaitos kampą. Tai yra, šoną galima vadinti gretima arba priešinga puse.

Kai koja yra arti atskaitos kampo, ji vadinama a greta, kita vertus, jei jis yra prieš šį kampą, jis vadinamas priešingas.

Žemiau pateikiami trys Pitagoro teoremos taikymo tiesinio trikampio metriniams santykiams pavyzdžiai.

1 pavyzdys: apskaičiuokite hipotenuzės matą

Jei stačiojo trikampio kojų matai yra 3 cm ir 4 cm, kokia yra šio trikampio hipotenuzė?

Todėl stačiojo trikampio kraštinės yra 3 cm, 4 cm ir 5 cm.

2 pavyzdys: apskaičiuokite vienos kojos matą

Nustatykite kojos, kuri yra stačiojo trikampio dalis, kurios hipotenuzė yra 20 cm, o kitos kojos - 16 cm, matą.

Todėl stačiojo trikampio kraštinių matmenys yra 12 cm, 16 cm ir 20 cm.

3 pavyzdys: patikrinkite, ar trikampis yra stačiakampis

Trikampio kraštinės yra 5 cm, 12 cm ir 13 cm. Kaip sužinoti, ar tai stačiasis trikampis?

Norint įrodyti, kad stačiasis trikampis yra teisingas, jo kraštų matmenys turi atitikti Pitagoro teoremą.

Kadangi pateiktos priemonės tenkina Pitagoro teoremą, ty hipotenuzos kvadratas yra lygus kojų kvadrato sumai, galime sakyti, kad trikampis yra stačiakampis.

Taip pat skaitykite: Metriniai santykiai stačiakampio trikampyje

Pitagoro trikampis

Kai matuoja a taisyklingas trikampis yra teigiami sveikieji skaičiai, trikampis vadinamas Pitagoro trikampiu.

Šiuo atveju kojos ir hipotenuzai vadinami „Pitagoro kostiumu“ arba „Pitagoro trijulė“. Norėdami patikrinti, ar trys skaičiai sudaro Pitagoro trijulę, naudojame ryšį su² = b² + c².

Geriausiai žinomą Pitagoro trijulę atstovauja skaičiai: 3, 4, 5. Hipotenuzė lygi 5, didesnė koja lygi 4 ir mažesnė koja lygi 3.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienoje trikampio pusėje nubrėžtų kvadratų plotas yra panašus į Pitagoro teorema: ilgosios pusės kvadrato plotas atitinka kitų dviejų plotų sumą aikštė.

Įdomu tai, kad šių skaičių kartotiniai taip pat sudaro Pitagoro kostiumą. Pavyzdžiui, jei padauginsime trijulę 3, 4 ir 5 iš 3, gausime skaičius 9, 12 ir 15, kurie taip pat sudaro Pitagoro kostiumą.

Be 3, 4 ir 5 kostiumų, yra daugybė kitų kostiumų. Kaip pavyzdį galime paminėti:

• 5, 12 ir 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 ir 29
• 12, 35 ir 37

Taip pat skaitykite: Trigonometrija stačiakampio trikampyje

Kas buvo Pitagoras?

pagal istoriją Pitagoras iš Samoso (570 a. Ç. - 495 a. C.) buvo graikų filosofas ir matematikas, įkūręs Pitagoro mokyklą, esančią Italijos pietuose. Taip pat vadinama Pitagoro draugija, ji apėmė matematikos, astronomijos ir muzikos studijas.

Nors stačiojo trikampio metrinius santykius jau žinojo babiloniečiai, gyvenę gerokai prieš Pitagorą, pirmasis įrodymas, kad ši teorema pritaikyta bet kuriam stačiakampiui trikampiui, manoma, buvo padaryta Pitagoras.

Pitagoro teorema yra viena iš geriausiai žinomų, svarbiausių ir matematikoje naudojamų teoremų. Tai būtina sprendžiant analitinės geometrijos, plokštumos geometrijos, erdvinės geometrijos ir trigonometrijos problemas.

Be teoremos, kiti svarbūs Pitagoro matematikos draugijos indėliai buvo šie:

• Neracionalių skaičių atradimas;
• Sveikųjų skaičių savybės;
• MMC ir MDC.

Taip pat skaitykite: Matematikos formulės

Pitagoro teoremos įrodymai

Yra keli būdai įrodyti Pitagoro teoremą. Pavyzdžiui, knyga Pitagoro pasiūlymas, išleistame 1927 m., buvo pateikti 230 būdų tai parodyti, o kitas leidimas, išleistas 1940 m., padidėjo iki 370 demonstracijų.

Žiūrėkite žemiau esantį vaizdo įrašą ir peržiūrėkite keletą Pitagoro teoremos demonstracijų.

Kiek yra būdų įrodyti Pitagoro teoremą? - Betty Fei

Pakomentavo Pitagoro teoremos pratimus

Klausimas 1

(PUC) Stačiojo trikampio trijų kraštinių kvadratų suma lygi 32. Kiek laiko trikampio hipotenuzė?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: b) 4.

Iš teiginyje pateiktos informacijos žinome, kad² + b² + c² = 32. Kita vertus, pagal Pitagoro teoremą mes turime² = b² + c² .

B vertės pakeitimas²+ c² prie² pirmoje išraiškoje randame:

The² +² =32 ⇒ 2. The² = 32 ⇒ iki² = 32/2 ⇒ iki² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Norėdami gauti daugiau klausimų, žiūrėkite: Pitagoro teorema - pratimai

2 klausimas

(Ir arba)

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje, kuriame pavaizduoti laiptai su 5 to paties aukščio laipteliais, bendras turėklų ilgis yra lygus:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva: b) 2,1 m.

Bendras turėklų ilgis bus lygus dviejų ilgio dalių, lygių 30 cm, sumai su pjūviu, kurio mes nežinome.

Iš paveikslo galime pastebėti, kad nežinomas pjūvis vaizduoja stačiojo trikampio, kurio vienos kojos matas lygus 90 cm, hipotenuzą.

Norėdami rasti kitos kojos matą, turime pridėti 5 žingsnių ilgį. Todėl turime b = 5. 24 = 120 cm.

Norėdami apskaičiuoti hipotenuzą, pritaikykime Pitagoro teoremą šiam trikampiui.

The² = 90² + 120² į² = 8100 + 14 400 ⇒ iki² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Atkreipkite dėmesį, kad hipotenuzai apskaičiuoti galėjome panaudoti Pitagoro kostiumų idėją, nes kojos (90 ir 120) yra 3, 4 ir 5 kostiumo kartotiniai (visus terminus padauginus iš 30).

Tokiu būdu bendras turėklų matas bus:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Patikrinkite savo žinias Trigonometrijos pratimai

3 klausimas

(UERJ) Millôras Fernandesas, pagerbdamas matematiką, parašė eilėraštį, iš kurio ištraukėme žemiau esantį fragmentą:

Tiek matematikos knygos lapų,
Quotient įsimylėjo vieną dieną pašėlusiai
autorius Nežinomas.
Jis pažvelgė į ją savo nesuskaičiuojamu žvilgsniu
ir jis matė ją nuo viršūnės iki apačios: keista figūra;
rombinės akys, trapecijos formos burna,
stačiakampis kūnas, sferoidinės krūtys.
Sukūrėte savo gyvenimą lygiagrečiai jai,
kol jie susitiko Begalybėje.
"Kas tu esi?" - paklausė radikaliai sunerimęs.
„Aš esu kojų kvadratų suma.
Bet tu gali mane vadinti hipotenuse.”

(Millôr Fernandes. Trisdešimt metų savęs.)

„Incognita“ neteisingai pasakė, kas tai. Norint įvykdyti Pitagoro teoremą, reikia atlikti šiuos veiksmus:

a) „Aš esu kojų sumos kvadratas. Bet vadink mane hipotenūzų aikšte “.
b) „Aš esu kojų suma. Bet tu gali mane vadinti hipotenuse “.
c) „Aš esu kojų sumos kvadratas. Bet tu gali mane vadinti hipotenuse “.
d) „Aš esu kojų kvadratų suma. Bet vadink mane hipotenūzų aikšte “.

Žr. Atsakymas

D alternatyva „Aš esu kojų kvadratų suma. Bet vadink mane hipotenūzų aikšte “.

Sužinokite daugiau apie temą:

• lygiašonis trikampis
• Sinusas, Kosinas ir Tangentas
• Matematika Enem