Kosinuso įstatymas: taikymas, pavyzdžiai ir pratimai

Kosinuso įstatymas yra naudojamas bet kurio trikampio vienos kraštinės arba nežinomo kampo matui apskaičiuoti, žinant kitus jo matus.

Pareiškimas ir formulės

Kosinuso teorema teigia, kad:

"Bet kuriame trikampyje kvadratas iš vienos pusės yra kvadratų, esančių kitose dviejose pusėse, suma, atėmus dvigubą tų dviejų pusių sandaugą, esant jų kampo kosinusui.."

Taigi pagal kosinusų dėsnį mes turime tokius santykius tarp trikampio kraštinių ir kampų:

Pavyzdžiai

1. Dvi trikampio kraštinės yra 20 cm ir 12 cm, o tarp jų yra 120 ° kampas. Apskaičiuokite trečiosios pusės matavimą.

Sprendimas

Norėdami apskaičiuoti trečiosios pusės matą, naudosime kosinusų dėsnį. Tam apsvarstykime:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (reikšmė nustatyta trigonometrinėse lentelėse).

Formulėje pakeisdami šias reikšmes:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
a = √784
a = 28 cm

Taigi trečioji pusė matuoja 28 cm.

2. Iš šio paveikslo nustatykite šoninės AC matą ir kampo, kurio viršūnė yra A, matą:

Pirmiausia nustatykime AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50-oji
B² = 164 – 160. cos 50-oji
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Dabar nustatykime kampo matą pagal kosinusų dėsnį:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Pastaba: Norėdami rasti kosinuso kampų vertes, mes naudojame Trigonometrinė lentelė. Joje mes turime kampų reikšmes nuo 1º iki 90º kiekvienai trigonometrinei funkcijai (sinusui, kosinusui ir liestinei).

Taikymas

Kosinuso įstatymas gali būti taikomas bet kuriam trikampiui. Ar tai būtų aštriakampis (vidinis kampas mažesnis nei 90 °), bukasis kampas (kurio vidinis kampas didesnis nei 90 °), ar stačiakampis (kurio vidinis kampas lygus 90 °).

Trikampių atvaizdavimas atsižvelgiant į jų vidinius kampus

O stačiakampiai trikampiai?

Taikykime kosinusų dėsnį šone, priešinga 90 ° kampui, kaip nurodyta toliau:

² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Kai cos 90º = 0, aukščiau pateikta išraiška tampa:

² = b² + c²

Kuris yra tas pats kaip išraiška Pitagoro teorema. Taigi galime sakyti, kad ši teorema yra konkretus kosinusų dėsnio atvejis.

Kosinuso įstatymas tinka problemoms, kai mes žinome dvi puses ir kampą tarp jų ir norime rasti trečiąją pusę.

Mes vis tiek galime jį naudoti, kai žinome tris trikampio kraštus ir norime žinoti vieną iš jo kampų.

Tais atvejais, kai mes žinome du kampus ir tik vieną kraštą ir norime nustatyti kitą pusę, patogiau naudoti nuodėmių dėsnis.

Kosino ir sinuso apibrėžimas

Kampo kosinusas ir sinusas apibrėžiami kaip trigonometriniai santykiai stačiajame trikampyje. Šalis, esanti priešais stačiu kampu (90º), vadinama hipotenūza, o kitos dvi pusės - kojomis, kaip parodyta žemiau esančiame paveikslėlyje:

Stačiojo trikampio ir jo šonų atvaizdavimas: klubai ir hipotenuzai

Tada kosinusas apibrėžiamas kaip gretimos pusės ir hipotenuzos matavimo santykis:

Kita vertus, sinusas yra santykis tarp priešingos kojos ir hipotenuzo matavimo.

Stojamojo egzamino pratybos

1. (UFSCar) Jei trikampio kraštinės yra x, x + 1 ir x +2, tai bet kuriai x tikrasis ir didesnis nei 1, šio trikampio didžiausio vidinio kampo kosinusas yra lygus:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Žr. Atsakymas

E) x alternatyva - 3 / 2x

2. (UFRS) Trikampyje, pavaizduotame žemiau esančiame paveikslėlyje, AB ir AC turi tą patį matą, o aukštis, palyginti su kraštine BC, yra lygus 2/3 BC mato.

Remiantis šiais duomenimis, kampo CÂB kosinusas yra:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Žr. Atsakymas

Alternatyva a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Dvi trikampio kraštinės yra 8 m ir 10 m ilgio ir sudaro 60 ° kampą. Trečioji šio trikampio kraštinė:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Žr. Atsakymas

Alternatyva a) 2√21 m

Skaitykite daugiau apie temą:

• Trigonometrija
• Trigonometrija stačiakampio trikampyje
• Trigonometrijos pratimai stačiajame trikampyje
• Trigonometriniai santykiai
• Trigonometrinis ratas
• Trigonometrinės funkcijos