Atstumas tarp dviejų taškų

Atstumas tarp dviejų taškų yra juos sujungiančios tiesės atkarpos matas.

Šią matą galime apskaičiuoti naudodami analitinę geometriją.

Atstumas tarp dviejų plokštumos taškų

Plokštumoje taškas yra visiškai nustatytas žinant su juo susietą porą (x, y).

Norėdami sužinoti atstumą tarp dviejų taškų, iš pradžių juos atvaizduosime Dekarto plokštumoje ir paskaičiuosime šį atstumą.

Pavyzdžiai:

1) Koks atstumas tarp taško A (1.1) ir taško B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Koks atstumas tarp taško A (4.1) ir taško B (1,3)?

Atkreipkite dėmesį, kad atstumas tarp taško A ir taško B yra lygus stačiojo trikampio, turinčio 2 ir 3 kojas, hipotenuzai.

Taigi, mes naudosime Pitagoro teorema apskaičiuoti atstumą tarp nurodytų taškų.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Atstumo tarp dviejų plokštumos taškų formulė

Norėdami rasti atstumo formulę, galime apibendrinti 2 pavyzdyje atliktą skaičiavimą.

Už bet kuriuos du taškus, tokius kaip A (x₁yy₁) ir B (x₂y₂), mes turime:

Norėdami sužinoti daugiau, skaitykite taip pat:

• plokštumos geometrija
• Dekarto planas
• tiesiai

Atstumas tarp dviejų taškų erdvėje

Taškams erdvėje vaizduoti naudojame trimatę koordinačių sistemą.

Taškas yra visiškai nustatytas erdvėje, kai su juo yra susietas trigubas (x, y, z).

Norėdami rasti atstumą tarp dviejų taškų erdvėje, iš pradžių galime juos pavaizduoti koordinačių sistemoje ir iš ten atlikti skaičiavimus.

Pavyzdys:

Koks atstumas tarp taško A (3,1,0) ir taško B (1,2,0)?

Šiame pavyzdyje matome, kad taškai A ir B priklauso xy plokštumai.

Atstumą pateiks:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Atstumo tarp dviejų taškų erdvėje formulė

Norėdami sužinoti daugiau, skaitykite taip pat:

• Erdvinė geometrija
• Linijos lygtis
• Matematikos formulės

Išspręsti pratimai

1) Taškas A priklauso abscisės ašiai (x ašis) ir yra vienodai nutolęs nuo taškų B (3.2) ir C (-3.4). Kokios yra taško A koordinatės?

Žr. Atsakymas

Kadangi taškas A priklauso abscisės ašiai, tada jo koordinatė yra (a, 0). Taigi turime rasti a vertę.

(0 - 3)² + (iki - 2)² = (0 + 3)² + (iki –4)²
9 + iki² - 4a +4 = 9 + a² - 8 + 16
4 = 12
a = 3
(3.0) yra taško A koordinatės.

2) Atstumas nuo taško A (3, a) iki taško B (0,2) yra lygus 3. Apskaičiuokite ordinato vertę a.

Žr. Atsakymas

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
The² - 4-as +4 = 0
a = 2

3) KRAŠTAS - 2013 m

Pastaraisiais metais televizija patyrė tikrą revoliuciją, kalbant apie vaizdo kokybę, garsą ir interaktyvumą su žiūrovu. Ši transformacija atsiranda dėl analoginio signalo pavertimo skaitmeniniu signalu. Tačiau daugelyje miestų vis dar nėra šios naujos technologijos. Siekdama suteikti šių pranašumų trims miestams, televizija ketina pastatyti naują perdavimo bokštą, kuris siunčia signalą šiuose miestuose jau esančioms A, B ir C antenoms. Antenų vietos nurodytos Dekarto plokštumoje:

Bokštas turi būti vienodai nutolęs nuo trijų antenų. Tinkama vieta šio bokšto statybai atitinka koordinačių tašką

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Žr. Atsakymas

Teisinga alternatyva e: (50; 30)

Taip pat žiūrėkite: atstumas tarp dviejų taškų pratimų

4) KRAŠTAS - 2011 m

Miesto kaimynystė buvo suplanuota plokščiame regione, lygiagrečiomis ir statmenomis gatvėmis, apibrėžiančiomis tokio paties dydžio kvartalus. Šioje Dekarto koordinačių plokštumoje ši apylinkė yra antrame kvadrante, o atstumai -
ašys pateikiamos kilometrais.

Y = x + 4 lygties tiesė rodo požeminės metro linijos, kertančios kaimynystę ir kitus miesto regionus, maršruto planavimą.
Taške P = (-5,5) yra valstybinė ligoninė. Bendruomenė paprašė planavimo komiteto suplanuoti metro stotį taip, kad jos atstumas iki ligoninės, išmatuotas tiesia linija, būtų ne didesnis kaip 5 km.
Reaguodamas į bendruomenės prašymą, komitetas teisingai teigė, kad tai bus automatiškai patenkinta, nes punkte jau buvo numatyta statyti stotį.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Žr. Atsakymas

Teisinga b alternatyva: (-3,1).

Taip pat žiūrėkite: analitinės geometrijos pratimai