Atvirkštinė matrica: kas tai yra, kaip rasti pratimus

Sąvoka atvirkštinė matrica priartėja prie skaičiaus atvirkštinės sąvokos. Prisiminkime, kad atvirkštinis skaičius ne yra skaičius ne^-1, kai sandauga tarp dviejų yra lygi neutraliam elemento elementui dauginimas, tai yra skaičius 1. Jau matricos M atvirkštinė yra matrica M^-1, kur sandauga M · M^-1 yra lygi I tapatumo matricai_ne, kas yra ne kas kita kaip neutralus matricos daugybos elementas.

Kad matrica turėtų atvirkštinę, ji turi būti kvadratinė, be to, jos determinantas turi skirtis nuo nulio, kitaip atvirkštinės nebus. Norėdami rasti atvirkštinę matricą, mes naudojame matricos lygtį.

Skaityk ir tu: Trikampė matrica - specialus kvadratinės matricos tipas

Kad matrica turėtų atvirkštinę, ji turi būti kvadratinė.

tapatybės matrica

Norint suprasti, kas yra atvirkštinė matrica, pirmiausia reikia žinoti tapatumo matricą. Mes žinome kaip tapatumo matricą I kvadratinę matricą_ne kur visi pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs 1, o kiti terminai lygūs 0.

tapatumo matrica yra neutralus dauginimo tarp matricų elementas.

, tai yra, atsižvelgiant į a būstinė N eilės M, sandauga tarp matricos M ir I matricos_ne yra lygus matricai M.

M · Aš_ne = M

Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)

Kaip apskaičiuoti atvirkštinę matricą

Norint rasti atvirkštinę M matricą, būtina išspręsti matricos lygtį:

 M · M^-1 = Aš_ne

Pavyzdys

Raskite atvirkštinę M. matricą.

Kadangi mes nežinome atvirkštinės matricos, atvaizduokime šią matricą algebriškai:

Mes žinome, kad sandauga tarp šių matricų turi būti lygi I₂:

Dabar išspręskime matricos lygtį:

Galima išskirti problemą į dvi dalis sistemos lygtis. Pirmajame naudojamas pirmasis matricos M · M stulpelis^-1 ir pirmasis tapatybės matricos stulpelis. Taigi, mes turime:

Norėdami išspręsti sistemą, išskirkime₂₁ II lygtyje ir pakeiskite I lygtimi.

I lygtyje pakeisdami turime:

Kaip rasti a reikšmę₁₁, tada rasime a reikšmę₂₁:

Žinant a vertę₂₁ ir₁₁, dabar mes rasime kitų terminų vertę nustatydami antrąją sistemą:

izoliuoti₂₂ III lygtyje turime:

3 d₁₂ + 1₂₂ = 0

The₂₂ = - 3-ioji₁₂

Pakeitimas IV lygtyje:

5 d₁₂ + 2-oji₂₂ =1

5 d₁₂ + 2 · (- 3 d₁₂) = 1

5 d₁₂ - 6-oji₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

The₁₂ = – 1

Žinant a vertę₁₂, rasime a vertę₂₂ :

The₂₂ = - 3-ioji₁₂

The₂₂ = – 3 · ( – 1)

The₂₂ = 3

Dabar, kai žinome visas matricos M sąlygas^-1, tai galima atstovauti:

Taip pat skaitykite: Matricų sudėjimas ir atimimas

Atvirkštinės matricos ypatybės

Yra savybių, kurios atsiranda apibrėžiant atvirkštinę matricą.

• 1-asis turtas: matricos atvirkštinė M^-1 yra lygus matricai M. Atvirkštinės matricos atvirkštinė visada yra pati matrica, tai yra (M^-1)^-1 = M, nes mes žinome, kad M^-1 · M = Aš_ne, todėl M^-1 yra atvirkštinė M, taip pat M yra atvirkštinė M^-1.
• 2-asis turtas: tapatybės matricos atvirkštinė yra pati: aš^-1 = Aš, nes tapatumo matricos sandauga savaime lemia tapatumo matricą, tai yra aš_ne · Aš_ne = Aš_ne.
• 3-asis turtas: atvirkštinė dviejų matricų sandaugaar tu yra lygus inversijų sandaugai:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4-oji nuosavybė: kvadratinė matrica turi atvirkštinę tik tada, jei ji lemiantis skiriasi nuo 0, tai yra det (M) ≠ 0.

sprendė pratimus

1) Atsižvelgiant į matricas A ir matricą B, žinant, kad jie yra atvirkštiniai, x + y reikšmė yra:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Rezoliucija:

Alternatyva d.

Kuriant lygtį:

A · B = aš 

Antrame stulpelyje, sulygindami sąlygas, turime:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

X išskyrimas į I:

Pakeičiant lygtis II, mes turime:

Žinodami y reikšmę, rasime x reikšmę:

Dabar apskaičiuokime x + y:

2 klausimas

Matrica turi atvirkštinę tik tada, kai jos determinantas skiriasi nuo 0. Kas yra x reikšmės, dėl kurių matrica nepalaiko atvirkštinės, žiūrint žemiau

a) 0 ir 1.

b) 1 ir 2.

c) 2 ir - 1.

d) 3 ir 0.

e) - 3 ir - 2.

Rezoliucija:

B alternatyva.

Skaičiuojant A determinantą, norime reikšmių, kur det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

sprendžiant 2 laipsnio lygtis, Mes privalome:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Autorius Raulas Rodriguesas de Oliveira
Matematikos mokytoja

Ar norėtumėte paminėti šį tekstą mokykloje ar akademiniame darbe? Pažvelk:

OLIVEIRA, Raulas Rodriguesas de. „Atvirkštinė matrica“; Brazilijos mokykla. Yra: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Žiūrėta 2021 m. Birželio 28 d.

Matricų tipai

Matrica, Matricų tipas, Matricų tvarka, Eilučių matrica, Stulpelių matrica, Nulinė matrica, Matrica kvadratas, įstrižinė matrica, tapatumo matrica, priešinga matrica, matrica, lygi matrica, lygybė matricos.