Polinomo skilimo teorema

Pagrindinė algebros teorema daugianario lygtys garantuoja tai "kiekvieno laipsnio polinomas n ≥ 1 turi bent vieną sudėtingą šaknį ". Šios teoremos įrodymą pateikė matematikas Friedrichas Gaussas 1799 m. Iš jo galime parodyti daugianario skilimo teorema, kuris garantuoja, kad bet kurį polinomą galima suskaidyti į pirmojo laipsnio veiksnius. Paimkite šį polinomą p (x) laipsnio n ≥ 1 irne ≠ 0:

p (x) = ane xne +n-1 xn-1 +… +1x1 +0

Remdamiesi pagrindine algebros teorema galime teigti, kad šis daugianaris turi bent vieną sudėtingą šaknį. u1, toks kad p (u1) = 0. O D'Alemberto teorema į daugianario padalijimas teigia, kad jei p (u1) = 0, tada p (x) dalijasi iš (x - u1), gaunamas koeficientas 1x), kuris yra laipsnio polinomas (n - 1), kuris mus verčia sakyti:

p (x) = (x - u1). ką1x)

Iš šios lygties reikia išskirti dvi galimybes:

Jei u = 1 ir 1x) yra laipsnio polinomas (n - 1)tada1x) turi laipsnį 0. Kaip dominuojantis koeficientas p (x) é ne, 1x) yra pastovus tipo polinomas 1x)=ne. Taigi mes turime:

p (x) = (x - u1). ką1x)
(x) = (x - u1).ne
p (x) = ane . (x - u1)

Bet jei u ≥ 2, tada daugianaris 1 turi laipsnį n - 1 ≥ 1 o pagrindinė algebros teorema galioja. Galime sakyti, kad daugianaris 1 turi bent vieną šaknį ne2, kuris mus verčia tai sakyti 1 galima parašyti taip:

1(x) = (x - u2). ką2x)

Nesustokite dabar... Po reklamos yra daugiau;)

Bet kaip p (x) = (x - u1). ką1(x), galime perrašyti taip:

p (x) = (x - u1). (x - u2). ką2x)

Nuosekliai kartodami šį procesą turėsime:

p (x) = ane. (x - u1). (x - u2)… (X - une)

Taigi galime daryti išvadą, kad kiekviena daugianario ar daugianario lygtis p (x) = 0 laipsnio n ≥ 1 savo tiksliai ne sudėtingos šaknys.

Pavyzdys: Būk p (x) laipsnio polinomas 5, tokios, kad jos šaknys yra – 1, 2, 3, – 2 ir 4. Parašykite šį polinomą, suskaidytą į 1 laipsnio veiksnius, atsižvelgdami į dominuojantis koeficientas lygus 1. Tai turi būti parašyta išplėstine forma:

jei – 1, 2, 3, – 2 ir 4 yra daugianario šaknys, taigi skirtumų sandauga x kiekvienai iš šių šaknų atsiranda p (x):

p (x) = ane. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Jei dominuojantis koeficientas ne = 1, mes turime:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48

Autorius Amanda Gonçalves
Baigė matematiką

Ar norėtumėte paminėti šį tekstą mokykloje ar akademiniame darbe? Pažvelk:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Polinomo irimo teorema“; Brazilijos mokykla. Yra: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm. Žiūrėta 2021 m. Birželio 28 d.

Polinomas

Sužinokite polinomo lygties apibrėžimą, apibrėžkite daugianario funkciją, skaitinę polinomo vertę, daugianario šaknį arba nulį, daugianario laipsnį.

Lygiagrečios linijos: apibrėžimas, supjaustytas skersai ir pratimai

Lygiagrečios linijos: apibrėžimas, supjaustytas skersai ir pratimai

Dvi skirtingos linijos yra lygiagrečios, kai jos turi tą patį nuolydį, tai yra, jos turi tą patį ...

read more
Kūgio ploto apskaičiavimas: formulės ir pratimai

Kūgio ploto apskaičiavimas: formulės ir pratimai

kūgio plotas jis nurodo šios erdvinės geometrinės figūros paviršiaus matą. Atminkite, kad kūgis ...

read more
Sferos sritis: formulė ir pratimai

Sferos sritis: formulė ir pratimai

sferos plotas atitinka šios erdvinės geometrinės figūros paviršiaus matą. Atminkite, kad rutulys...

read more