Permutacija yra skaičiavimo technika, naudojama norint nustatyti, kiek būdų galima užsakyti baigtinio rinkinio elementus. Keitimasis yra keitimasis, o iškilus kombinatorikos problemoms, tai reiškia vietos elementų mainus, atsižvelgiant į jų išdėstymą.
Šie metodai yra matematikos srities, vadinamos kombinatorine analize, dalis, kurios tikslas yra žinoti ir suskaičiuoti įvairius rinkinių ir jų elementų organizavimo būdus. Paprasta permutacija ir a su pakartotiniais elementais sprendžia šios kategorijos problemas.
paprasta permutacija
Paprasta permutacija yra baigtinio rinkinio elementų išdėstymas, kai jų elementai nesikartoja, yra skirtingi. Jis naudojamas nustatant šių rūšių kiekį.
Kiekis n elementų rinkinio permutacijų skaičius yra lygus n! (skaitoma n faktorialas).
Paprastų permutacijų skaičiaus nustatymo formulė yra
Apsvarstykite aibę su n elementais. Norėdami juos sutvarkyti eilėje, turime pasirinkti pirmąjį, o tam turime n galimybių. Norėdami pasirinkti antrą, turime (n-1) galimybes, viena mažiau, nes pasirinkdami pirmąją mes jau pasinaudojome pasirinkimu. Šis procesas tęsiasi tol, kol lieka tik vienas elementas.
Norėdami nustatyti bendrą permutacijų skaičių, mes padauginame galimybių, esančių renkantis kiekvieną elementą, skaičių. Taigi:
Aukščiau pateikta išraiška vadinama n faktoriumi ir mes naudojame simbolį ne!.
išmokti daugiau apie faktorialas čia.
Pavyzdys:
Skirtingi žodžio raidžių tvarkymo būdai vadinami anagrammomis. Kiek anagramų yra už žodį ANTIS?
Tai yra galimybės:
Taigi, kadangi žodis PATO turi 4 raides, turime tai padaryti
Taigi yra 24 paprastos žodžio DUCK permutacijos.
Paprasti pratimų pratimai
Klausimas 1
Apskaičiuokite .
2 klausimas
Apsvarstykite žmonių, kurie ateina pirmi, eilę, kurioje bet kuriuo metu yra šeši žmonės. Kiek skirtingų būdų šiuos žmones būtų galima reitinguoti nuo pirmo iki paskutinio?
Kiekviena užsakymo forma yra paprasta permutacija, nes asmenys yra unikalūs ir nesikartoja. Taigi, turint šešis žmones, atsakymas yra permutacija su 6 elementais.
3 klausimas
Apsvarstykite žodį ŠAKĖ ir atsakykite į šiuos klausimus?
a) Kiek yra žodžio ŠAKĖ anagramų?
Kadangi raidės nėra kartojamos, tai yra paprastas 5 elementų permutacijos atvejis.
b) Kiek anagramų prasideda raide A?
Tokiu atveju pradžioje užfiksuojame raidę A ir apskaičiuojame permutacijas raidėmis GRFO, kurios yra 4 elementų permutacijos.
1 galimybė raidei A x .
c) Kiek yra anagramų, jei balsiai visada yra vienas šalia kito?
Viena iš galimybių būtų G R F A O.
Yra trys būdai, kaip užsisakyti priebalsius. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Yra du balsių užsakymo būdai. P2 = 2 x 1 = 2
Vis dar yra dar du būdai organizuoti grupes (priebalsius ir balsius) tarpusavyje. P2 = 2 x 1 = 2
Dabar tiesiog padauginkite rezultatus.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Taigi yra 24 anagramos, kuriose balsiai visada yra kartu.
Permutacija su pakartojimu
Pakartotinių elementų permutacija įvyksta, kai n elementų rinkinyje kai kurie iš jų yra lygūs.
Formulėje, leidžiančioje nustatyti permutacijų skaičių pasikartojant, viso elementų skaičiaus n faktorialą padalijame iš pasikartojančių elementų faktorialų sandaugos.
yra n elementų permutacijų skaičius.
kartojami kiekvieno tipo elementų skaičiai.
yra bendro elementų skaičiaus n faktorialas.
Pavyzdžiai
Nustatykime, kiek yra žodžio EGG permutacijų. Kad būtų lengviau, nuspalvinkime raides. Pažvelkime į žodžio EGG anagramas.
Paprastų permutacijų su 3 elementais skaičių nurodo
Tačiau kai kurios permutacijos kartojasi ir negalime jų suskaičiuoti du kartus. Tam turime padalinti reikšmę (nes žodis turi tris raides), pagal
(nes raidė O kartojama du kartus).
Taigi žodžio OVO raidžių permutacijų skaičius yra lygus 3.
Pažvelkime į šį kitą pavyzdį, kuriame apibrėžsime žodžio BANANA raidžių permutacijų skaičių.
Kur:
reiškia permutaciją su 6 elementais, kur kartojamos raidės A ir N.
3! nes A raidė kartojasi tris kartus.
2! nes N raidė kartojama du kartus.
Patarimas, kaip palengvinti skaičiavimą, yra sukurti 6! kol pasieksite 3!, supaprastindami vardiklį. Žiūrėkite plėtrą.
Taigi žodžio BANANA raidžių permutacijų skaičius yra lygus 60.
Galbūt jus domina šis kombinatorinės analizės turinys:
Kombinatorinė analizė
Kombinatorinės analizės pratimai
