산술 진행 조건의 합계

하나 산술 진행 (PA)는 순서 각 항은 비율이라고하는 상수에 의한 이전 항의 합계입니다. 그들은 존재한다 수학적 표현 PA의 기간을 결정하고 그 합계를 계산합니다. 아니 첫 번째 용어.

계산에 사용되는 공식 용어의 합 유한 PA 또는 아니 PA의 첫 번째 용어는 다음과 같습니다.

에스_아니 = ...에서₁ +_아니)
2

* n은 BP 용어의 수입니다. 그만큼₁ 첫 번째 용어이고_아니 마지막입니다.

PA 조건의 합의 유래

독일의 수학자 칼 프리 데리 히 가우스 (Carl Friederich Gauss)는 약 10 살 때 학교에서 학급에서 벌을 받았다고합니다. 교사는 학생들에게 표시되는 모든 숫자를 더하라고했습니다. 순서 1에서 100까지.

Gauss는 매우 짧은 기간에 처음으로 끝낸 사람 일뿐만 아니라 올바른 결과를 얻은 유일한 사람이기도합니다 (5050). 또한 계산을 표시하지 않았습니다. 그가 한 일은 다음 재산을 수리하는 것입니다.

유한 PA의 극단에서 등거리에있는 두 항의 합은 극단의 합과 같습니다.

에 대한 지식이 없었습니다. 팬 당시 Gauss는 숫자 목록을보고 마지막에 첫 번째를 더하면 101이된다는 것을 깨달았습니다. 두 번째를 두 번째에 더하면 결과도 101이됩니다. 모든 용어 쌍의 합으로 등거리 극단의 극단이 101에 이르렀고 Gauss는 5050 결과를 찾기 위해이 숫자에 사용 가능한 항의 절반 만 곱하면되었습니다.

숫자 1부터 100까지 정확히 100 개의 숫자가 있습니다. Gauss는 두 개씩 더하면 101에 해당하는 50 개의 결과를 얻을 수 있다는 것을 깨달았습니다. 따라서이 곱셈은 전체 항의 절반으로 이루어졌습니다.

PA 조건의 합계 데모

이 위업은 의 합 아니 PA의 첫 번째 용어. 이 표현에 도달하는 데 사용되는 전술은 다음과 같습니다.

주어진 팬 any, 우리는 그것의 처음 n 항을 추가 할 것입니다. 수학적으로 우리는 다음을 갖게 될 것입니다.

에스_아니 =₁ +₂ +₃ +… +_{n – 2} +_n-1 +_아니

이 바로 아래 용어의 합, 우리는 이전 용어와 동일한 용어를 사용하지만 감소하는 의미로 다른 하나를 작성할 것입니다. 첫 번째 항목의 합은 두 번째 항목의 합과 같습니다. 따라서 둘 다 S와 동일시되었습니다._아니.

에스_아니 =₁ +₂ +₃ +… +_{n – 2} +_n-1 +_아니

에스_아니 =_아니 +_n-1 +_{n – 2} +… +₃ +₂ +₁

이 두 표현은 단일 팬 등거리 항은 수직으로 정렬됩니다. 따라서 다음을 얻기 위해 표현식을 추가 할 수 있습니다.

에스_아니 =₁ +₂ +₃ +… +_{n – 2} +_n-1 +_아니

+ 에스_아니 =_아니 +_n-1 +_{n – 2} +… +₃ +₂ +₁

2S_아니 = (₁ +_아니) + (a₂ +_n-1) +… + (a_n-1 +₂) + (a_아니 +₁)

극단에서 등거리에있는 항의 합은 극단의 합과 같습니다. 따라서 각 괄호는 다음과 같이 극단 값의 합으로 대체 될 수 있습니다.

2S_아니 = (₁ +_아니) + (a₁ +_아니) +... + (₁ +_아니) + (a₁ +_아니)

Gauss의 아이디어는 시퀀스의 등거리 항을 추가하는 것이 었습니다. 그래서 그는 용어의 절반을 얻었습니다. 팬 결과 101. 초기 BP의 각 항이 등거리 값에 더해 지도록 만들었습니다. 용어 수. 따라서 PA에 n 개의 항이 있으므로 위의 식에서 곱셈으로 합계를 변경하고 다음을 풀 수 있습니다. 방정식 찾다:

2S_아니 = (₁ +_아니) + (a₁ +_아니) +... + (₁ +_아니) + (a₁ +_아니)

2S_아니 = n (a₁ +_아니)

에스_아니 = ...에서₁ +_아니)
2

이것은 정확히 아니 PA의 첫 번째 조건.

예

P.A (1, 2, 3, 4)가 주어지면 처음 100 개 항의 합을 결정합니다.

해결책:

우리는 용어를 찾아야 할 것입니다₁₀₀. 이를 위해 우리는 일반 용어 공식 PA의 :

그만큼_아니 =₁ + (n – 1) r

그만큼₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

그만큼₁₀₀ = 1 + 99

그만큼₁₀₀ = 100

이제 처음 n 개의 항을 더하는 공식 :

에스_아니 = ...에서₁ +_아니)
2

에스₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

에스₁₀₀ = 100(101)
2

에스₁₀₀ = 10100
2

에스₁₀₀ = 5050

루이스 파울로 모레이라
수학 졸업

출처: 브라질 학교- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm