오일러의 관계는 볼록 다면체의 꼭짓점, 모서리 및 면의 수를 관련시키는 등식입니다. 면의 수에 꼭짓점의 수를 더한 것은 모서리의 수에 2를 더한 것과 같습니다.
오일러 관계는 다음과 같이 주어진다.
어디에,
에프 는 면의 수이고,
V 정점의 수,
그만큼 가장자리의 수.
다면체가 볼록할 때마다 오일러의 관계를 사용하여 V, F 또는 A의 미지의 값을 결정하거나 확인할 수 있습니다.
| 다면체 | 에프 | V | 그만큼 | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 입방체 | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| 삼각형 피라미드 | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| 오각형 베이스 프리즘 | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| 정팔면체 | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
예시
볼록 다면체는 20개의 면과 12개의 꼭짓점을 가지고 있습니다. 모서리 수를 결정합니다.
오일러의 관계를 사용하여 A를 분리:
F 및 V 값 대체:
면, 정점 및 모서리
다면체는 둥근 면이 없는 입체적인 기하학적 모양입니다. 이 면이 다면체의 면(F)입니다.
면의 만남을 모서리(A)라고 합니다.
꼭짓점은 세 개 이상의 모서리가 만나는 점입니다.
볼록 다면체
볼록 다면체는 오목함을 나타내지 않는 기하학적 입체이므로 면 중 어느 것도 180º보다 큰 내각이 없습니다.
이 다면체에서 파란색으로 표시된 내각은 180º 이상이므로 볼록 다면체가 아닙니다.
에 대해 자세히 알아보기 다면체.
오일러의 관계에 대한 연습
연습 1
9개의 모서리와 6개의 꼭짓점을 갖는 다면체에서 면의 수를 구하십시오.
정답: 5개의 얼굴.
오일러 관계식 사용:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
운동 2
12면체는 12개의 면을 가진 정다면체입니다. 20개의 꼭지점이 있다는 것을 알고 모서리의 수를 결정하십시오.
정답:
오일러 관계식 사용:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = 에이
30 = 에이
운동 3
4개의 꼭짓점과 6개의 모서리를 가진 다면체의 면의 개수와 관련하여 면이 삼각형인 다면체의 이름은 무엇입니까?
답: 사면체.
면의 수를 결정해야 합니다.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
면이 4개인 삼각형 형태의 다면체를 사면체라고 합니다.
레온하르트 폴 오일러는 누구였습니까?
Leonhard Paul Euler(1707-1783)는 역사상 가장 능숙한 수학자이자 물리학자 중 한 명이며 천문학 연구에 기여했습니다. 독일어를 구사하는 그는 상트페테르부르크 과학 아카데미와 베를린 아카데미의 물리학 교수였습니다. 그는 수학에 관한 여러 연구를 발표했습니다.
또한 다음을 배우십시오.
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- 공간 기하학
- 기하학적 모양
- 프리즘 - 기하학적 그림
- 피라미드
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