지수 함수: 5 개의 주석이 달린 연습 문제

그만큼 지수 함수 ℝ에서 ℝ의 모든 기능^*_+, f (x) = a로 정의^엑스, 여기서 a는 0보다 크고 1이 아닌 실수입니다.

이 콘텐츠에 대한 모든 의문을 없애기 위해 주석이 달린 연습을 활용하고 콘테스트의 해결 된 질문에서 지식을 확인하십시오.

주석이 달린 연습

연습 1

한 그룹의 생물 학자들이 특정 박테리아 군집의 발달을 연구하고 있습니다. 이상적인 조건에서 박테리아의 수는 N (t) 표현을 통해 찾을 수 있습니다. = 2000. 2^{0.5 톤}, 시간에 t입니다.

이러한 조건을 고려할 때 관찰 시작 후 얼마나 오래 박테리아 수가 8192000 개가 될까요?

해결책

제안 된 상황에서 우리는 박테리아의 수를 알고 있습니다. 즉, N (t) = 8192000이고 t의 값을 찾고 싶습니다. 따라서 주어진 표현식에서이 값을 바꾸십시오.

이 방정식을 풀기 위해 소인수로 숫자 4096을 씁니다. 같은 밑을 가지고 있으면 지수와 같을 수 있기 때문입니다. 따라서 숫자를 인수 분해하면 다음과 같이됩니다.

따라서, 관찰 시작으로부터 1 일 (24 시간) 후에 배양 물에는 8 억 192,000 개의 박테리아가있을 것입니다.

연습 2

방사성 물질은 시간이 지남에 따라 방사성 물질을 분해하는 자연스러운 경향이 있습니다. 방사성 물질의 절반이 분해되는 데 걸리는 시간을 반감기라고합니다.

주어진 원소의 방사성 물질의 양은 다음과 같이 주어진다 :

존재,

N (t): 주어진 시간에 방사성 물질의 양 (그램 단위).
엔₀: 재료의 초기 양 (그램 단위)
T: 반감기 (년)
t: 시간 (년)

이 원소의 반감기가 28 년이라는 점을 고려하여 방사성 물질이 초기 양의 25 %로 감소하는 데 필요한 시간을 결정하십시오.

해결책

제안 된 상황의 경우 A (t) = 0.25 A₀ = 1 / 4A₀, 그래서 우리는 T를 28 년으로 대체하여 주어진 표현식을 쓸 수 있습니다.

따라서 방사성 물질의 양이 25 % 감소하는 데 56 년이 걸릴 것입니다..

콘테스트 질문

1) 유네스 프-2018

이부프로펜은 약 2 시간의 반감기로 통증과 발열에 대한 처방약입니다. 이는 예를 들어 200mg의 이부프로펜을 2 시간 동안 섭취 한 후 약 100mg 만 환자의 혈류에 남아 있음을 의미합니다. 2 시간 (총 4 시간)이 지나면 혈류에 50mg 만 남게됩니다. 환자가 6 시간마다 800mg의 이부프로펜을 투여받는 경우, 첫 번째 투여 후 14 시간 동안 혈류에 남아있는이 약의 양은

a) 12.50 mg
b) 456.25 mg
c) 114.28 mg
d) 6.25mg
e) 537.50 mg

답변보기

2 시간마다 혈류의 초기 약물 양이 절반으로 나뉘므로 다음 계획을 사용하여이 상황을 나타낼 수 있습니다.

각 상황에서 지수는 시간을 2로 나눈 것과 같습니다. 따라서 다음 식을 사용하여 혈류 내 약물의 양을 시간 함수로 정의 할 수 있습니다.

존재

Q (t): 주어진 시간의 수량
큐₀: 초기 섭취량
t: 시간 (시간)

800mg의 이부프로펜을 6 시간마다 복용 한 것을 고려하면 다음과 같습니다.

1 차 복용 후 14 시간 후에 혈류에서 약물의 양을 확인하려면 1 차, 2 차 및 3 차 용량을 참조하는 양을 추가해야합니다. 이 수량을 계산하면 다음이 있습니다.

1 차 투여 량은 14 시간과 같은 시간을 고려하여 찾을 수 있으므로 다음과 같습니다.

두 번째 투여의 경우 위의 그림에서 볼 수 있듯이 시간은 8 시간이었습니다. 이 값을 대체하면 다음과 같습니다.

세 번째 복용 시간은 2 시간입니다. 세 번째 복용량과 관련된 양은 다음과 같습니다.

이제 섭취 한 각 복용량의 양을 알았으므로 발견 된 각 양을 더하여 총량을 찾을 수 있습니다.

큐_합계= 6.25 + 50 + 400 = 456.25mg

대안 b) 456.25 mg

2) UERJ-2013 년

도시 공급에 사용 된 호수가 산업 재해 후 오염되어 독성 수준 T에 도달했습니다.₀, 초기 레벨의 10 배에 해당합니다.
아래 정보를 읽으십시오.

• 호수의 자연적인 흐름으로 인해 10 일마다 볼륨의 50 %가 재생됩니다.
• 사고 x 일 후 독성 수준 T (x)는 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

D는 독성이 초기 수준으로 돌아가는 데 필요한 물 공급 중단의 최소 일수로 간주합니다.
log 2 = 0.3이면 D 값은 다음과 같습니다.

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

답변보기

초기 독성 수준으로 돌아가려면 다음이 필요합니다.

주어진 함수에서이 값을 대체하면 다음과 같습니다.

"십자"로 곱하면 방정식은 다음과 같습니다.

2 ^{0.1 배}= 10

밑이 10 인 로그를 양쪽에 적용하여 1 차 방정식으로 바꿉니다.

로그(2^{0.1 배}) = 로그 10

10을 밑으로하는 10의 로그가 1과 같다는 것을 기억하면 방정식은 다음과 같습니다.

0.1 배 로그 2 = 1

log 2 = 0.3을 고려하고 방정식에서이 값을 대체하십시오.

따라서 공급이 중단되어야하는 최소 일수는 대략 34 일입니다.

대안 c) 34

3) 푸베스프 - 2018

f: ℝ → ℝ 및 g: ℝ₊ → ℝ 정의

각기.

복합 함수 g의 그래프_º신앙:

답변보기

찾고있는 그래프는 복합 함수 g입니다._ºf 따라서 첫 번째 단계는 이 기능을 결정하는 것입니다. 이를 위해 함수 g (x)의 x에서 함수 f (x)를 대체해야합니다. 이 교체를 통해 다음을 찾을 수 있습니다.

몫과 거듭 제곱의 로그 속성을 사용하면 다음과 같이됩니다.

위에서 찾은 함수는 affine 함수 인 ax + b 유형입니다. 따라서 그래프는 직선이 될 것입니다.

또한 기울기 a는 log와 같습니다.₁₀ 5는 양수이므로 그래프가 증가합니다. 이런 식으로 옵션 b, c 및 e를 제거할 수 있습니다.

옵션 a와 d가 남아 있지만 x=0일 때 gof = - log가 있습니다.₁₀ 그래프 a에 표시된 음수 값인 2입니다.

대안 a)

4) 유니캠프 - 2014

아래 그래프는 시간 t에 따른 미생물 집단에 대한 생물 전위 곡선 q (t)를 보여줍니다.

와 b는 실수 상수이므로 이 전위를 나타낼 수 있는 함수는 다음과 같습니다.

a) q (t) = at + b
b) q (t) = ab^티
c) q(t) = 에서² + bt
d) q (t) = a + 로그 _비 티

답변보기

표시된 그래프에서 t=0일 때 함수가 1000과 같다는 것을 확인할 수 있습니다. 또한 그래프가 직선이 아니기 때문에 함수가 유사하지 않음을 관찰 할 수도 있습니다.

함수가 유형 q (t) = at 인 경우²+ bt, t = 0 일 때 결과는 1000이 아니라 0과 같습니다. 따라서 이차 함수도 아닙니다.

로그인 방법_비0은 정의되지 않았으며 q (t) = a + log 함수도 가질 수 없습니다._비티.

따라서 유일한 옵션은 함수 q (t) = ab입니다.^티. t=0을 고려하면 함수는 q(t) = a가 됩니다. a는 상수 값이므로 주어진 그래프에 맞는 함수에 대해 1000과 같으면 충분합니다.

대안 b) q (t) = ab^티

5) 에넴 (PPL)-2015

회사의 노동 조합은 해당 학급의 최저 급여가 1,800.00 루피 (R $)라고 제안하고 있으며, 일에 전념하는 해마다 고정 비율 인상을 제안합니다. 근속 기간 (t)의 함수로서 연봉 제안 (s)에 해당하는 표현은 s (t) = 1800입니다. (1,03)^티 .

노조의 제안에 따르면이 회사에서 2 년 근무한 전문가의 급여는 레알로,

가) 7 416.00
나) 3,819.24
c) 3,709.62
d) 3,708.00
e) 1,909.62.

답변보기

노동 조합이 제안한 시간 함수로 임금을 계산하는 표현은 지수 함수에 해당한다.

표시된 상황에서 급여 값을 찾으려면 아래 표시된대로 t = 2 일 때 s의 값을 계산해 보겠습니다.

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

대안 e) 1909.62

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