ფინანსური მათემატიკა: რა არის ეს, ცნებები, მაგალითები

ფინანსური მათემატიკა მათემატიკის ერთ-ერთი სფეროა, რომელიც პასუხისმგებელია სწავლაზე ფინანსურ სამყაროსთან დაკავშირებული მოვლენები. გარდა ამისა, მათი კონცეფციების შესწავლა ძალზე მნიშვნელოვანია, რადგან ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში ისინი სულ უფრო მეტად განიცდიან უფრო მეტი საჩუქარი, მაგალითად, როდესაც ჩვენ მივიღებთ ფასდაკლებას ნაღდი ფულის ყიდვისას ან ზედმეტი ნივთის ყიდვისას განვადებით.

 ფინანსური მათემატიკის შესწავლა მოითხოვს წინასწარ ცოდნას პროცენტული, ვნახავთ, რომ ყველა ცნება ემყარება ამ თემას.

წაიკითხეთ ასევე:პროცენტული გაანგარიშება სამი წესით

რისთვის არის ფინანსური მათემატიკა?

ფინანსური მათემატიკა ყოველდღიურად გამოიყენება, მაგალითად, როდესაც ჩვენ ვაპირებთ ნაღდი ფულის შეძენას და გამყიდველი გვთავაზობს ა ფასდაკლება 5% პროდუქტის ღირებულებაზე, ან როდესაც ჩვენ ვირჩევთ პროდუქტის განვადებით შეძენას და, ამ პროცესში, ა საპროცენტო განაკვეთი დროთა განმავლობაში იგი ერიცხება მყიდველს.

ფინანსური მათემატიკის ცნებების გაგების მნიშვნელობის მაგალითს ეწოდება ოვერდრაფტის ლიმიტი. გარკვეულ ბანკში ანგარიშის გახსნისას, "დამატებით" თანხას სთავაზობენ, მაგალითად, საგანგებო სიტუაციებისთვის. ამასთან, ამ ლიმიტის ან მისი ნაწილის გამოყენებისას, აღებული თანხის გარდა, მოგვიანებით გადაიხდება გადასახადი. ამ მაჩვენებელს პროცენტი ეწოდება და ამ კონცეფციების უკეთ გააზრებით შეგვიძლია შევადგინოთ უკეთესი სტრატეგია ჩვენი ფინანსების მართვისთვის.

• მაგალითი 1

ადამიანს ყოველთვიური გადასახადის გადახდის დასრულებისთვის 100 რეალობა სჭირდება, თუმცა მთლიანი ხელფასი უკვე დახარჯულია სხვა გადასახადებზე. ანალიზის დროს ამ პირმა დაადგინა, რომ მას ორი გზა ჰქონდა.

ვარიანტი 1 - გამოიყენეთ ბანკის მიერ შემოთავაზებული ოვერდრაფტის ლიმიტი, დღეში 0,2% განაკვეთით, რომელიც უნდა გადაიხადოთ ერთ თვეში.

ვარიანტი 2 - მიიღეთ 100 რეალი მეგობრისგან, თვეში 2% -ით, რომ გადაიხადოთ ორი თვის განმავლობაში.

მხოლოდ პროცენტული ცოდნის გამოყენებით, მოდით გავაანალიზოთ საუკეთესო ვარიანტი.

აანალიზებს ვარიანტი 1, გაითვალისწინეთ, რომ დღეში 0,2% -იანი პროცენტი დარიცხულია, ანუ სესხის თანხის 0,2% ემატება ყოველ დღე, ასე:

როგორ უნდა გადაიხადოს სესხი თვეში და თვის გათვალისწინებით 30 დღე, გადასახდელი პროცენტის ოდენობაა:

0,2 ·30

6

ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თვის ბოლოს გადასახდელი თანხაა:

100 + 6= 106 რეალი

100 the ბანკის მიერ ნასესხები თანხა

6 → პროცენტის ოდენობა

ახლა ვაანალიზებთ ვარიანტი 2, გადასახადი თვეში არის 2% და უნდა გადაიხადოს ორი თვის განმავლობაში, ანუ ყოველთვიურად, სესხის თანხის 2% ემატება სესხს, ასე:

გაითვალისწინეთ, რომ სესხის თანხას თვეში უნდა დაემატოს 2 რეალი:

2 · 2 = 4

შესაბამისად, პერიოდის ბოლოს გადასახდელი თანხაა:

100+ 4 = 104 რეალი

100 the მეგობრის მიერ ნასესხები თანხა

4 → პროცენტის ოდენობა

ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ საუკეთესო ვარიანტია მეგობრისთვის ფულის აღება. ეს არის მარტივი და მნიშვნელოვანი ფინანსური მათემატიკის გამოყენებარა თქმა უნდა, არსებობს უფრო დახვეწილი პრობლემები, ინსტრუმენტები და ცნებები, მაგრამ ისევე როგორც ცხოვრებაში ყველაფერი, რთული ნაწილის გაცნობამდე, აუცილებელია საფუძვლების გაგება.

ფინანსური მათემატიკის საფუძვლები

ფინანსური მათემატიკის ძირითადი ცნებები გულისხმობს წინასწარ ცოდნას პროცენტული მაჩვენებლების შესახებ. შემდეგ, ჩვენ ვნახავთ ისეთ კონცეფციებს, როგორიცაა დამატება, ფასდაკლება, მარტივი პროცენტი და რთული პროცენტი.

• დამატება

დამატების იდეა ასოცირდება დაამატეთ ან დაამატეთ ღირებულების ნაწილი თავდაპირველ ღირებულებას, ანუ, ჩვენ ვუმატებთ გარკვეული მნიშვნელობის პროცენტს საკუთარ თავს. იხილეთ მაგალითი:

• მაგალითი 2

პროდუქტის ღირებულება 35 რეალს შეადგენდა, დოლარის ზრდასთან ერთად ის 30% -ით გაიზარდა. განსაზღვრეთ ამ პროდუქტის ახალი მნიშვნელობა.

ხშირად, როდესაც მივდივართ დამატებასთან დაკავშირებული გამოთვლების შესასრულებლად, ისინი არასწორად შესრულდება:

35 + 30%

პროცენტული მაჩვენებელი რაღაცის ნაწილს წარმოადგენს, ასე რომ, ამ ანგარიშის სისწორეში ჯერ უნდა გამოვთვალოთ საწყისი მნიშვნელობის 30%, ამ შემთხვევაში 35. ამრიგად:

35 + 35 + 30%

ჯერ პროცენტის გადაჭრა და შემდეგ მნიშვნელობების ერთად დამატება, ჩვენ მოგვიწევს:

ამიტომ, დამატებასთან ერთად, პროდუქტის ღირებულება 45,5 რეალი იქნება (ორმოცდახუთი რეალი და ორმოცდაათი ცენტი).

საერთოდ რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ა ფორმულის დამატება. განვიხილოთ x მნიშვნელობა და რომ ის განიცდის p% ზრდას. იმის მიხედვით, რაც ახლახანს განვსაზღვრეთ, შეგვიძლია შემდეგი დამატება დავწეროთ შემდეგნაირად:

x + p% x

ამ გამოთქმის შემუშავებით, ჩვენ მოგვიწევს

მოდით განმეორებით გავაკეთოთ მაგალითი 2 ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. გაითვალისწინეთ, რომ x = 35 და ზრდამ შეადგინა 30%, ანუ p = 30%.

35 · (1 + 0,01 · 30)

35 · (1 + 0,3)

35 · 1,3

45,5

გაითვალისწინეთ, რომ იგივე მნიშვნელობა იქნა მიღებული და ეს არის ვარიანტი, რომ გამოიყენოთ ასეთი ფორმულა.

იხილეთ აგრეთვე: უკუპროპორციული რაოდენობით

• ფასდაკლება

ფასდაკლების იდეა მსგავსია დამატების იდეას, განსხვავება მხოლოდ იმაშია, რომ დამატების ნაცვლად, ჩვენ უნდა გამოკლება ორიგინალი თანხის პროცენტი.

• მაგალითი 3 - ნაღდი ფულის შეძენისას პროდუქტს, რომლის ღირებულება 60 რეალია, 30% -იანი ფასდაკლება აქვს. განსაზღვრეთ ამ პროდუქტის ახალი მნიშვნელობა.

დამატების მსგავსი, ჩვენ მოგვიწევს:

დამატების ანალოგურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ა ფასდაკლების ფორმულა. განვიხილოთ x მნიშვნელობა და ის განიცდის ფასდაკლებას p%. რაც განვსაზღვრეთ, შეგვიძლია შემდეგი დამატება დავწეროთ შემდეგნაირად:

x - x% x

ამ გამოთქმის შემუშავებით, ჩვენ მოგვიწევს

მოდით განმეორებით გავაკეთოთ მაგალითი 3 ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით, გაითვალისწინეთ, რომ x = 60 და ზრდა იყო 30%, ანუ p = 30%.

x · (1 - 0,01 გვ)

60 · (1 – 0,01 · 30)

60 · (1 – 0,3)

60 · 0,7

42

იხილეთ, რომ ფორმულის გამოყენებით, იგივე შედეგი მივიღეთ, ამიტომ ფასდაკლებით ასევე გვაქვს ორი ვარიანტი, რომ განვსაზღვროთ იგი.

• მარტივი ინტერესი

იდეა უკან მარტივი ინტერესი ის ასევე დამატების იდეის მსგავსი, მათ შორის განსხვავება მოცემულია იმ პერიოდის მიხედვით, რომელშიც ისინი გამოითვლება. მიუხედავად იმისა, რომ surcharge rate გამოიყენება ერთხელ, მარტივი პროცენტი არის დროის ინტერვალში გამოითვლება. ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მოცემული კაპიტალის C მარტივი პროცენტი, რომელიც გამოიყენება მოცემული განაკვეთით მარტივი საპროცენტო რეჟიმით (i), დროის მოცემულ პერიოდში t ფორმულა:

J = C · i · t

ამ ინვესტიციის ბოლოს გადახდილი თანხა უნდა მიენიჭოს გამოყენებულ ფულს, პროცენტის ოდენობას და ეწოდება თანხა (M). თანხა მოცემულია გამოთქმით:

M = C + ჯ

M = C + C · i · t

M = C (1 + ეს)

ერთადერთი საზრუნავი, რაც მარტივი ინტერესის მქონე პრობლემებთან დაკავშირებით უნდა გვქონდეს, არის საზომი სიჩქარე და დროის ერთეულები, ისინი ყოველთვის უნდა იყვნენ თანაბარ ერთეულებში.

• მაგალითი 4

მართას სურს 6000 აშშ დოლარის ინვესტიცია ჩადოს კომპანიაში, რომელიც ჰპირდება 20% –იანი მოგების მიღებას მარტივი პროცენტის რეჟიმში. მარტას მიერ დადებულ ხელშეკრულებაში ნათქვამია, რომ მას მხოლოდ ექვსი თვის შემდეგ შეუძლია თანხის განაღდება და განსაზღვროს, თუ რა თანხა გაიღო ამ პერიოდის ბოლოს.

განცხადების დაკვირვება, ვხედავ, რომ კაპიტალი უდრის 6000 – ს, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს C = 6000. საპროცენტო განაკვეთი არის 20% წელიწადში, და თანხა ჩადდება ექვსი თვის განმავლობაში. გაითვალისწინეთ, რომ მაჩვენებელი მოცემულია წელს და დრო თვეებში, და ჩვენ ვიცით, რომ საზომი ერთეული ორივესთვის უნდა იყოს იგივე. მოდი ვიპოვოთ ყოველთვიური გადასახადი, იხილეთ:

ჩვენ ვიცით, რომ ეს მაჩვენებელი არის 20% წელიწადში, რადგან წელს 12 თვეა, ამიტომ ყოველთვიური განაკვეთი იქნება:

20%: 12

თვეში 1,66%

თვეში 0,016

ამ მონაცემების ჩანაცვლება ფორმულაში, ჩვენ უნდა:

J = C · i · t

J = 6000 · 0,016 · 6

J = 96 · 6

J = 576 რეალობა

შესაბამისად, ექვსი თვის ბოლოს განაღდება თანხა 576 რეალს შეადგენს, თანხა კი:

M = 6000 + 576

M = 6576 რეალობა

წაიკითხე მეტი: გამოყენების გაგება ა ჩალკულატორი ვფინანსური

• Საერთო ინტერესი

მარტივი ინტერესის შემთხვევაში, საპროცენტო განაკვეთის ღირებულება ყოველთვის გამოითვლება თავდაპირველი კაპიტალის თავზე, სხვაობა შორის ეს ორი სისტემა (მარტივი და რთული პროცენტი) ზუსტად ამ ეტაპზეა, ანუ ისე, როგორც ეს სიჩქარეა გათვლილი. რთული ინტერესიდან გამომდინარე, საპროცენტო განაკვეთი ყოველთვის იანგარიშება წინა თვის ძირითადი თანხის ზემოთ, ეს განაპირობებს პროცენტის ექსპონენციურად გაზრდის მის ღირებულებას. ფორმულა რთული პროცენტის ამორტიზაციის სისტემაში პროცენტის გამოსათვლელად მოცემულია შემდეგით:

M = C · (1 + i)^ტ

რაზე მ არის დაგროვილი თანხა, ჩ არის საწყისი კაპიტალის ღირებულება, მე არის პროცენტი მოცემულია პროცენტულად და ტ არის ის პერიოდი, რომელშიც კაპიტალი ჩადებულია სისტემაში. როგორც მარტივი პროცენტის შემთხვევაში, რთული საპროცენტო სისტემის შემთხვევაშიც, განაკვეთი და დრო ერთ ერთში უნდა იყოს.

• მაგალითი 5

გამოთვალეთ თანხის ოდენობა, რომელსაც მართა შეაგროვებდა ექვსი თვის ბოლოს, მისი 6000 რეალის გამოყენებით, წლიური 20% საპროცენტო განაკვეთით რთული პროცენტის სისტემაში.

(მოცემულია: 1.2^0,5 ≈ 1,095)

გაითვალისწინეთ, რომ მონაცემები იგივეა, რაც მე -4 მაგალითში, ამიტომ ჩვენ უნდა:

C = 6000

მე = 0.2 გვ. ა.

t = 0,5 წელი

მონაცემთა ჩანაცვლება რთული პროცენტის ფორმულაში, ჩვენ უნდა:

M = 6000 · (1 + 0.2)^0,5

M = 6000 · (1.2)^0,5

M = 6000 · 1,095

M = 6572.67 რეალობა

ამიტომ, მარტიდან საპროცენტო თანხის ამოღების თანხა მარტივია 6572, 67 რეალი. გაითვალისწინეთ, რომ რთული პროცენტის სისტემაში თანხა უფრო მეტია, ვიდრე უბრალო პროცენტის სისტემაში და ეს ხდება ყველა შემთხვევაში. იმისათვის, რომ უკეთ გაიგოთ, როგორ გამოითვლება ეს მაჩვენებელი, ეწვიეთ: მოსაკრებლების ჩსაწინააღმდეგოშენ.

ფინანსური მათემატიკა მოიცავს ცოდნას ფულის დაკავშირებული კითხვების გადასაჭრელად.

სავარჯიშოები მოგვარებულია

კითხვა 1 - (FGV - SP) კაპიტალი, რომელიც გამოიყენება უბრალო პროცენტზე, თვეში 2.5% -ით, სამჯერ იზრდება:

ა) 75 თვე

ბ) 80 თვე

გ) 85 თვე

დ) 90 თვე

ე) 95 თვე

რეზოლუცია

ალტერნატივა B.

უნდა ვიპოვნოთ დრო, როდესაც პროცენტი უდრის 2 C, ვინაიდან ამ გზით პროცენტი C– ს თავდაპირველად გამოყენებულ კაპიტალთან ერთად, გვექნება 3C (კაპიტალის სამმაგი) ოდენობა. ამრიგად:

J = 2C; C = C; i = თვეში 2.5%; t =?

J = C · i · t

2C = C · 0,025 · ტ

ამრიგად, ამ კაპიტალის გასამმაგების დრო 80 თვეა.

შენიშვნა: 80 თვე უდრის 6.6 წელს.

კითხვა 2 - საქონელს, 24% –იანი ზრდა რომ განიცადა, მისი ფასი შეიცვალა და გახდა 1041.60 რეალური. განსაზღვრეთ თანხა დამატებამდე.

რეზოლუცია

შეგვიძლია გამოვიყენოთ დამატების ზოგადი ფორმულა, საქონლის ღირებულების დასადგენად დამატებამდე.

x · (1 + 0.01 გვ)

ფორმულაში, x არის ის, რასაც ვეძებთ და p არის დამატების მნიშვნელობა და ეს გამოხატვა გვაძლევს პროდუქტის მნიშვნელობას დამატების შემდეგ, შესაბამისად:

1041.60 = x · (1 + 0.01 გვ)

1041.60 = x · (1 + 0.01 · 24)

1041.60 = x · (1 + 0.24)

1041.60 = x · 1.24

ვნახოთ, რომ ჩვენ გვაქვს პირველი ხარისხის განტოლება, მისი ამოსახსნელად უნდა გამოვყოთ უცნობი x, თანასწორობის ორივე მხარე გავყოთ 1.24-ზე, ან, უბრალოდ, გავიაროთ 1.24 გამყოფი. ამრიგად:

ამიტომ, საქონლის ღირებულება დამატებამდე 840 რეალს შეადგენდა.

რობსონ ლუიზის მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი

წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm