ამოხსნილი ხაზოვანი სისტემების სავარჯიშოები

ივარჯიშეთ თქვენი ცოდნა ხაზოვანი სისტემების შესახებ, მნიშვნელოვანი მათემატიკური თემა, რომელიც მოიცავს ერთდროული განტოლებების შესწავლას. მრავალი პრაქტიკული აპლიკაციით, ისინი გამოიყენება სხვადასხვა ცვლადთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად.

ყველა კითხვა წყდება ეტაპობრივად, სადაც გამოვიყენებთ სხვადასხვა მეთოდებს, როგორიცაა: ჩანაცვლება, დამატება, აღმოფხვრა, სკალირება და კრამერის წესი.

კითხვა 1 (ჩანაცვლების მეთოდი)

განსაზღვრეთ მოწესრიგებული წყვილი, რომელიც ხსნის წრფივი განტოლებების შემდეგ სისტემას.

იხილეთ პასუხი

პასუხი:

x-ის გამოყოფა პირველ განტოლებაში:

x ჩანაცვლება მეორე განტოლებაში:

y-ის მნიშვნელობის ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში.

ასე რომ, შეკვეთილი წყვილი, რომელიც წყვეტს სისტემას, არის:

კითხვა 2 (სკალირების მეთოდი)

წრფივი განტოლებათა შემდეგი სისტემის ამონახსნი არის:

იხილეთ პასუხი

პასუხი: x = 5, y = 1, z = 2

სისტემა უკვე ეშელონურ ფორმაშია. მესამე განტოლებას აქვს ორი ნულოვანი კოეფიციენტი (y = 0 და x = 0), მეორე განტოლებას აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი (x = 0), ხოლო მესამე განტოლებას არ აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი.

ეშელონურ სისტემაში ვხსნით „ქვემოდან ზევით“, ანუ ვიწყებთ მესამე განტოლებით.

ზედა განტოლებაზე გადასვლისას, ჩვენ ვცვლით z = 2-ს.

და ბოლოს, პირველ განტოლებაში ვცვლით z = 2 და y = 1, რათა მივიღოთ x.

გამოსავალი

x = 5, y = 1, z = 2

კითხვა 3 (კრამერის წესი ან მეთოდი)

ამოხსენით წრფივი განტოლებების შემდეგი სისტემა:

იხილეთ პასუხი

პასუხი: x = 4, y = 0.

კრამერის წესის გამოყენება.

Ნაბიჯი 1: განსაზღვრეთ D, Dx და Dy განმსაზღვრელი.

კოეფიციენტების მატრიცა არის:

მისი განმსაზღვრელი:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Dx-ის გამოსათვლელად ვცვლით x-ის ტერმინების სვეტს დამოუკიდებელი ტერმინების სვეტით.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Dy-ის გამოსათვლელად ჩვენ ვცვლით y-ის ტერმინებს დამოუკიდებელი ტერმინებით.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

ნაბიჯი 2: განვსაზღვროთ x და y.

x-ის დასადგენად ვაკეთებთ:

y-ის დასადგენად ჩვენ ვაკეთებთ:

კითხვა 4

მაისურებისა და ქუდების გამყიდველმა სპორტულ ღონისძიებაზე გაყიდა 3 მაისური და 2 ქუდი, ჯამში 220,00 R$. მეორე დღეს მან გაყიდა 2 მაისური და 3 კეპი, რითაც შეაგროვა 190.00 R$. რა იქნება მაისურის ფასი და ქუდის ფასი?

ა) მაისური: BRL 60.00 | ქუდი: BRL 40.00

ბ) მაისური: BRL 40.00 | ქუდი: BRL 60.00

გ) მაისური: BRL 56.00 | ქუდი: BRL 26.00

დ) მაისური: BRL 50.00 | ქუდი: BRL 70.00

ე) მაისური: BRL 80.00 | ქუდი: BRL 30.00

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

მაისურების ფასი c და ქუდების ფასი ბ.

პირველი დღისთვის გვაქვს:

3c + 2b = 220

მეორე დღეა გვაქვს:

2c + 3b = 190

ჩვენ ვქმნით ორ განტოლებას ორი უცნობით, c და b. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს 2x2 წრფივი განტოლების სისტემა.

რეზოლუცია

კრამერის წესის გამოყენება:

1 საფეხური: კოეფიციენტების მატრიცის განმსაზღვრელი.

მე-2 საფეხური: დეტერმინანტი Dc.

c-ის სვეტს ვცვლით დამოუკიდებელი ტერმინების მატრიცით.

მე-3 ნაბიჯი: განმსაზღვრელი Db.

მე-4 ნაბიჯი: განსაზღვრეთ c და b მნიშვნელობა.

პასუხი:

მაისურის ფასი 56,00 რუბლია და ქუდი 26,00 რუბლი.

კითხვა 5

კინოთეატრი იხდის 10,00 R$ თითო ბილეთს მოზრდილებისთვის და 6,00 R$ თითო ბილეთზე ბავშვებისთვის. ერთ დღეში გაიყიდა 80 ბილეთი და მთლიანმა კოლექციამ შეადგინა 700,00 R$. თითოეული ტიპის რამდენი ბილეთი გაიყიდა?

ა) მოზრდილები: 75 | ბავშვები: 25

ბ) მოზრდილები: 40 | ბავშვები: 40

გ) მოზრდილები: 65 | ბავშვები: 25

დ) მოზრდილები: 30 | ბავშვები: 50

ე) მოზრდილები: 25 | ბავშვები: 75

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

დავასახელებთ როგორც The ბილეთის ფასი მოზრდილთათვის და ვ ბავშვებისთვის.

ბილეთების საერთო რაოდენობასთან დაკავშირებით გვაქვს:

a + c = 80

მიღებულ მნიშვნელობასთან დაკავშირებით გვაქვს:

10a + 6c = 700

ჩვენ ვქმნით წრფივი განტოლებათა სისტემას ორი განტოლებით და ორი უცნობით, ანუ 2x2 სისტემით.

რეზოლუცია

ჩვენ გამოვიყენებთ ჩანაცვლების მეთოდს.

a-ს გამოყოფა პირველ განტოლებაში:

a = 80 - გ

a-ს ჩანაცვლება მეორე განტოლებაში:

10.(80 - გ) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

c ჩანაცვლება მეორე განტოლებაში:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6წ + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

კითხვა 6

მაღაზიაში იყიდება მაისურები, შორტები და ფეხსაცმელი. პირველ დღეს გაიყიდა 2 მაისური, 3 შორტი და 4 წყვილი ფეხსაცმელი, საერთო ჯამში 350.00 R$. მეორე დღეს გაიყიდა 3 მაისური, 2 შორტი და 1 წყვილი ფეხსაცმელი, ჯამში 200.00 R$. მესამე დღეს გაიყიდა 1 მაისური, 4 შორტი და 2 წყვილი ფეხსაცმელი, ჯამში 320.00 R$. რა ღირს მაისური, შორტი და ერთი წყვილი ფეხსაცმელი?

ა) მაისური: BRL 56.00 | ბერმუდა: 24,00 R$ | ფეხსაცმელი: BRL 74.00

ბ) მაისური: BRL 40.00 | ბერმუდის კუნძულები: 50,00 R$ | ფეხსაცმელი: BRL 70.00

გ) მაისური: BRL 16.00 | ბერმუდის კუნძულები: 58,00 R$ | ფეხსაცმელი: BRL 36.00

დ) მაისური: BRL 80.00 | ბერმუდის კუნძულები: 50,00 R$ | ფეხსაცმელი: BRL 40.00

ე) მაისური: BRL 12.00 | ბერმუდის კუნძულები: 26,00 R$ | ფეხსაცმელი: BRL 56.00

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

• c არის მაისურების ფასი;
• b არის შორტის ფასი;
• s არის ფეხსაცმლის ფასი.

პირველი დღისთვის:

2c + 3b + 4s = 350

მეორე დღეა:

3c + 2b + s = 200

მესამე დღეა:

c + 4b + 2s = 320

ჩვენ გვაქვს სამი განტოლება და სამი უცნობი, რომლებიც ქმნიან წრფივი განტოლებების 3x3 სისტემას.

კრამერის წესის გამოყენება.

კოეფიციენტების მატრიცა არის

მისი განმსაზღვრელი არის D = 25.

პასუხების სვეტის მატრიცა არის:

Dc-ის გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით პასუხების სვეტის მატრიცას კოეფიციენტების მატრიცის პირველი სვეტით.

dc = 400

Db-ის გაანგარიშებისთვის:

დბ = 1450

Ds-ის გაანგარიშებისთვის:

Ds = 900

c, b და s-ის დასადგენად, ჩვენ ვყოფთ განმსაზღვრელებს Dc, Db და Ds მთავარ განმსაზღვრელ D-ზე.

კითხვა 7

რესტორანი გთავაზობთ კერძის სამ ვარიანტს: ხორცი, სალათი და პიცა. პირველ დღეს გაიყიდა 40 ხორცის კერძი, 30 სალათის კერძი და 10 პიცა, საერთო ჯამში 700.00 R$ გაყიდვა. მეორე დღეს გაიყიდა 20 ხორცის კერძი, 40 სალათის კერძი და 30 პიცა, საერთო ჯამში 600.00 R$. მესამე დღეს გაიყიდა 10 ხორცის კერძი, 20 სალათის კერძი და 40 პიცა, საერთო ჯამში 500.00 რუბლიანი გაყიდვები. რა ღირს თითოეული კერძი?

ა) ხორცი: BRL 200.00 | სალათი: R$ 15.00 | პიცა: BRL 10.00

ბ) ხორცი: 150.00 R$ | სალათი: 10.00 R$ | პიცა: BRL 60.00

გ) ხორცი: BRL 100.00 | სალათი: R$ 15.00 | პიცა: BRL 70.00

დ) ხორცი: BRL 200.00 | სალათი: R$ 10.00 | პიცა: BRL 15.00

ე) ხორცი: BRL 140.00 | სალათი: 20.00 R$ | პიცა: BRL 80.00

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

გამოყენება:

• გ ხორცისთვის;
• s სალათისთვის;
• p პიცისთვის.

Პირველ დღეს:

მეორე დღეს:

მესამე დღეს:

თითოეული კერძის ფასის მიღება შესაძლებელია სისტემის ამოხსნით:

რეზოლუცია

ელიმინაციის მეთოდის გამოყენება.

გავამრავლოთ 20c + 40s + 30p = 6000 2-ზე.

გამოვაკლოთ პირველს მიღებული მეორე მატრიცული განტოლება.

ზემოთ მოცემულ მატრიცაში ჩვენ ვცვლით ამ განტოლებას მეორეთი.

ზემოთ მოცემულ მესამე განტოლებას ვამრავლებთ 4-ზე.

მესამეს გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ:

მიღებული განტოლების ჩანაცვლება მესამეთი.

მეორე და მესამე განტოლებების გამოკლებით, მივიღებთ:

მესამე განტოლებიდან ვიღებთ p = 80.

p ჩანაცვლება მეორე განტოლებაში:

50-იანი წლები + 50,80 = 5000

50 + 4000 = 5000

50 = 1000

s = 1000/50 = 20

s და p მნიშვნელობების ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში:

40c + 30.20 + 10.80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

გამოსავალი

p=80, s=20 და c=140

კითხვა 8

(UEMG) გეგმაში სისტემა წარმოადგენს წყვილ ხაზს

ა) დამთხვევა.

ბ) განსხვავებული და პარალელური.

გ) ერთდროული ხაზები წერტილში (1, -4/3)

დ) ერთდროული ხაზები წერტილში (5/3, -16/9)

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

პირველი განტოლების ორზე გამრავლება და ორი განტოლების შეკრება:

x ჩანაცვლება A განტოლებაში:

კითხვა 9

(PUC-MINAS) გარკვეულმა ლაბორატორიამ გაუგზავნა 108 შეკვეთა A, B და C აფთიაქებს. ცნობილია, რომ B აფთიაქში გაგზავნილი შეკვეთების რაოდენობა ორჯერ იყო სხვა ორ აფთიაქში გაგზავნილი შეკვეთების საერთო რაოდენობაზე. გარდა ამისა, A აფთიაქში გაგზავნილი თანხის ნახევარზე მეტი სამი შეკვეთა გაიგზავნა C აფთიაქში.

ამ ინფორმაციის საფუძველზე, სწორია იმის თქმა, რომ B და C აფთიაქებში გაგზავნილი შეკვეთების საერთო რაოდენობა იყო

ა) 36

ბ) 54

გ) 86

დ) 94

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

განცხადების მიხედვით გვაქვს:

A + B + C = 108.

ასევე, რომ B-ის რაოდენობა ორჯერ მეტი იყო A + C-ზე.

B = 2 (A + C)

სამი შეკვეთა გაიგზავნა C აფთიაქში, რაოდენობის ნახევარზე მეტი გაიგზავნა აფთიაქში A.

C = A/2 + 3

გვაქვს განტოლებები და სამი უცნობი.

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება.

ნაბიჯი 1: შეცვალეთ მესამე მეორეთ.

ნაბიჯი 2: ჩაანაცვლეთ მიღებული შედეგი და მესამე განტოლება პირველში.

ნაბიჯი 3: ჩაანაცვლეთ A-ს მნიშვნელობა B და C-ის მნიშვნელობების დასადგენად.

B = 3A + 6 = 3.22 + 6 = 72

C-სთვის:

ნაბიჯი 4: დაამატეთ B და C მნიშვნელობები.

72 + 14 = 86

კითხვა 10

(UFRGS 2019) ისე, რომ წრფივი განტოლებათა სისტემა შესაძლებელია და განსაზღვრული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ

ა) a ∈ R.

ბ) a = 2.

გ) a = 1.

დ) a ≠ 1.

გ) a ≠ 2.

პასუხის დადასტურება

პასუხი განმარტა

სისტემის შესაძლო კლასიფიკაციისა და განსაზღვრის ერთ-ერთი გზა არის კრამერის მეთოდი.

ამის პირობაა, რომ განმსაზღვრელი ნულისაგან განსხვავებული იყოს.

მთავარი მატრიცის D განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:

დამატებითი ინფორმაციისთვის ხაზოვანი სისტემების შესახებ:

• ხაზოვანი სისტემები: რა არის ისინი, ტიპები და როგორ უნდა გადაჭრას
• განტოლებათა სისტემები
• ხაზოვანი სისტემების მასშტაბირება
• კრამერის წესი

მეტი ვარჯიშისთვის:

• 1-ლი ხარისხის განტოლებათა სისტემები

როგორ მოვიყვანოთ ციტირება?

ASTH, რაფაელ. სავარჯიშოები ამოხსნილ წრფივ სისტემებზე.ყველა მატერია, [n.d.]. Ხელმისაწვდომია: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. წვდომა აქ:

ნახე შენც

• ხაზოვანი სისტემები
• ხაზოვანი სისტემების მასშტაბირება
• განტოლებათა სისტემები
• 11 სავარჯიშო მატრიცის გამრავლებაზე
• მეორე ხარისხის განტოლება
• უთანასწორობის სავარჯიშოები
• 27 საბაზო მათემატიკის სავარჯიშო
• კრამერის წესი