სიმეტრიული მატრიცა არის სათაო ოფისი რომელშიც თითოეული ელემენტი \(a_{ij}\) ელემენტის ტოლია \(a_{ji}\) i და j-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. შესაბამისად, ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია. ასევე აღსანიშნავია, რომ ყველა სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული და რომ მთავარი დიაგონალი მოქმედებს როგორც სიმეტრიის ღერძი.
წაიკითხეთ ასევე:მატრიცის შეკრება და გამოკლება - როგორ გამოვთვალოთ?
რეზიუმე სიმეტრიული მატრიცის შესახებ
სიმეტრიულ მატრიცაში, \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველა მე და ჯ.
ყოველი სიმეტრიული მატრიცა კვადრატულია.
ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია.
სიმეტრიული მატრიცის ელემენტები სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ.
სიმეტრიულ მატრიცაში ყოფნისას \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველასთვის i და j; ანტისიმეტრიულ მატრიცაში, \(a_{ij}=-a_{ji}\) ყველა მე და ჯ.
რა არის სიმეტრიული მატრიცა?
სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, სადაც \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) ყოველი მე და ყოველი ჯ. Ეს ნიშნავს რომ \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)და ასე შემდეგ, i და j-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობებისთვის. გახსოვდეთ, რომ i-ს შესაძლო მნიშვნელობები შეესაბამება მატრიცის რიგებს, ხოლო j-ის შესაძლო მნიშვნელობები შეესაბამება მატრიცის სვეტებს.
სიმეტრიული მატრიცების მაგალითები
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
არასიმეტრიული მატრიცების მაგალითები (განიხილეთ \(\mathbf{b≠g}\))
\(\ დასაწყისი{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Მნიშვნელოვანი: იმის თქმა, რომ მატრიცა არ არის სიმეტრიული, ნიშნავს ამის ჩვენებას \(a_{ij}≠a_{ji}\) სულ მცირე ზოგიერთი i და j (რაც ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ წინა მაგალითების შედარებით). ეს განსხვავდება ანტისიმეტრიული მატრიცის კონცეფციისგან, რომელსაც მოგვიანებით ვიხილავთ.
რა თვისებები აქვს სიმეტრიულ მატრიცას?
ყოველი სიმეტრიული მატრიცა კვადრატულია
გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიული მატრიცის განმარტება ეფუძნება კვადრატულ მატრიცებს. ამრიგად, ყველა სიმეტრიულ მატრიცას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, როგორც სვეტების რაოდენობა.
ყოველი სიმეტრიული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია
თუ A არის მატრიცა, ის გადატანილი (\(A^T\)) განისაზღვრება, როგორც მატრიცა, რომლის რიგები არის A-ს სვეტები და რომლის სვეტები არის A-ს რიგები. ასე რომ, თუ A არის სიმეტრიული მატრიცა, გვაქვს \(A=A^T\).
სიმეტრიულ მატრიცაში ელემენტები "ასახულია" მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში
როგორც \(a_{ij}=a_{ji}\) სიმეტრიულ მატრიცაში, ძირითადი დიაგონალის ზემოთ ელემენტები არის ქვემოთ მოცემული ელემენტების "არეკვლა". დიაგონალის (ან პირიქით) დიაგონალთან მიმართებაში, ისე რომ მთავარი დიაგონალი მოქმედებს როგორც ღერძი სიმეტრია.
რა განსხვავებაა სიმეტრიულ მატრიცასა და ანტისიმეტრიულ მატრიცას შორის?
თუ A არის სიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(a_{ij}=a_{ji}\) ყველა მე და ყველა j, როგორც ჩვენ შევისწავლეთ. ანტისიმეტრიული მატრიცის შემთხვევაში სიტუაცია განსხვავებულია. თუ B არის ანტისიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) ყოველი მე და ყოველი ჯ.
გაითვალისწინეთ, რომ ეს იწვევს \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), ანუ ძირითადი დიაგონალური ელემენტები ნულია. ამის შედეგია ის, რომ ანტისიმეტრიული მატრიცის ტრანსპოზა უდრის მის საპირისპიროს, ანუ თუ B არის ანტისიმეტრიული მატრიცა, მაშინ \(B^T=-B\).
ანტისიმეტრიული მატრიცების მაგალითები
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
იხილეთ ასევე: იდენტურობის მატრიცა - მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალური ელემენტები უდრის 1-ს, ხოლო დანარჩენი ელემენტები უდრის 0-ს
ამოხსნილი სავარჯიშოები სიმეტრიულ მატრიცაზე
კითხვა 1
(უნიცენტრო)
თუ მატრიცა \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) არის სიმეტრიული, ამიტომ xy-ის მნიშვნელობა არის:
ა) 6
ბ) 4
გ) 2
დ) 1
ე) -6
რეზოლუცია:
ალტერნატივა ა
თუ მოცემული მატრიცა სიმეტრიულია, მაშინ სიმეტრიულ პოზიციებზე ელემენტები ტოლია (\(a_{ij}=a_{ji}\)). ამიტომ, ჩვენ უნდა:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
პირველის ჩანაცვლება განტოლება მეორეში დავასკვნით, რომ \(y=3\), მალე:
\(x=2\) Ეს არის \(xy=6\)
კითხვა 2
(UFSM) იმის ცოდნა, რომ მატრიცა \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) უდრის მის ტრანსპოზს, მნიშვნელობას \(2x+y\) é:
ა) -23
ბ) -11
გ) -1
დ) 11
ე) 23
რეზოლუცია:
ალტერნატივა C
ვინაიდან მოცემული მატრიცა მისი ტრანსპოზის ტოლია, ეს არის სიმეტრიული მატრიცა. ამრიგად, ელემენტები სიმეტრიულ პოზიციებში ტოლია (\(a_{ij}=a_{ji}\)), ანუ:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
პირველი განტოლებით, x=-6 ან x=6. მესამე განტოლებით მივიღებთ სწორ პასუხს: x= -6. მეორე განტოლებით, y=11.
მალე:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
მარია ლუიზა ალვეს რიზო
Მათემატიკის მასწავლებელი
წყარო: ბრაზილიის სკოლა - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm