THE შიდა ბისექტრის თეორემა სპეციალურად შეიქმნა სამკუთხედები და გვიჩვენებს, რომ როდესაც სამკუთხედის კუთხის შიდა ბისექტრისს მივყვებით, ბისექტრის შეხვედრის წერტილი მის მოპირდაპირე გვერდთან ყოფს ამ გვერდს ხაზის სეგმენტები ამ კუთხის მიმდებარე გვერდების პროპორციულია. შიდა ბისექტრის თეორემის გამოყენებით შესაძლებელია სამკუთხედის გვერდის ან სეგმენტების მნიშვნელობის დადგენა მათ შორის პროპორციის გამოყენებით.
იხილეთ ასევე: მედიანა, კუთხის ბისექტორი და სამკუთხედის სიმაღლე - რა განსხვავებაა?
შეჯამება შიდა ბისექტრის თეორემის შესახებ:
ბისექტორი არის ა სხივი რომელიც ყოფს კუთხეს ორ კონგრუენტულ კუთხედ.
შიდა ბისექტრის თეორემა სპეციფიკურია სამკუთხედებისთვის.
ეს თეორემა ამტკიცებს, რომ ბისექტრი ყოფს მოპირდაპირე მხარეს პროპორციული სეგმენტები მიმდებარე გვერდებზე კუთხე.
ვიდეო გაკვეთილი შიდა ბისექტრის თეორემაზე
არ გაჩერდე ახლა... რეკლამის შემდეგ კიდევ არის ;)
რა არის ბისექტრის თეორემა?
სანამ გავიგებთ რას ამბობს შიდა ბისექტრის თეორემა, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ რა არის კუთხის ბისექტორი. ეს არის სხივი, რომელიც ყოფს კუთხეს ორ კონგრუენტულ ნაწილად., ანუ ორი ნაწილი, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ზომა.
იმის გაგება, თუ რა არის ბისექტორი, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ ის არსებობს სამკუთხედის შიდა კუთხით. როდესაც სამკუთხედის კუთხის ბისექტრისს გამოვყოფთ, ის მოპირდაპირე მხარეს ორ ნაწილად დაყოფს. რაც შეეხება შიდა ბისექტორს, მისი თეორემა ამბობს, რომ მასზე გაყოფილი ორი სეგმენტი კუთხის მიმდებარე გვერდების პროპორციულია.
გაითვალისწინეთ, რომ ბისექტორი ყოფს AC მხარეს ორ სეგმენტად, AD და DC. ბისექტრის თეორემა ამას აჩვენებს:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
გაიგე მეტი: პითაგორას თეორემა - კიდევ ერთი თეორემა, რომელიც შემუშავებულია სამკუთხედებისთვის
შიდა ბისექტრის თეორემის დადასტურება
ქვემოთ ABC სამკუთხედში გამოვყოფთ BD სეგმენტს, რომელიც არის ამ სამკუთხედის ბისექტორი. გარდა ამისა, ჩვენ მივყვებით მისი გვერდითი CB და AE სეგმენტის გახანგრძლივებას BD-ის პარალელურად:
AEB კუთხე შეესაბამება DBC კუთხეს, რადგან CE არის ა სწორი განივი პარალელური სეგმენტების AE და BD.
გამოყენება თალესის თეორემა, ჩვენ დავასკვენით, რომ:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Ახლა ჩვენ რჩება იმის ჩვენება, რომ BE = AB.
ვინაიდან x არის ABD და DBC კუთხის საზომი, ABE კუთხის ანალიზით, მივიღებთ:
ABE = 180 - 2x
თუ y არის EAB კუთხის საზომი, გვაქვს შემდეგი სიტუაცია:
ჩვენ ვიცით, რომ სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი ABE არის 180°, ამიტომ შეგვიძლია გამოვთვალოთ:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
- x + y = 0
y = x
თუ კუთხე x და კუთხე y ერთნაირი ზომაა, სამკუთხედი ABE არის ტოლფერდა. მაშასადამე, მხარე AB = AE.
ვინაიდან სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი ყოველთვის უდრის 180°-ს, ACE სამკუთხედში გვაქვს:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
- x + y = 0
y = x
ვინაიდან y = x, სამკუთხედი ACE არის ტოლფერდა. ამრიგად, AE და AC სეგმენტები კონგრუენტულია. AE-ის შეცვლა AC-ით მიზეზი, დადასტურებულია, რომ:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
მაგალითი:
იპოვეთ x-ის მნიშვნელობა შემდეგ სამკუთხედში:
სამკუთხედის გაანალიზებისას ვიღებთ შემდეგ თანაფარდობას:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
ჯვარედინი გამრავლება:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
წაიკითხეთ ასევე: სამკუთხედის მნიშვნელოვანი წერტილები - რა არის ისინი?
ამოხსნილი სავარჯიშოები შიდა ბისექტრის თეორემაზე
კითხვა 1
ქვემოთ მოცემულ სამკუთხედს რომ შევხედოთ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ x-ის მნიშვნელობა არის:
ა) 9
ბ) 10
გ) 11
დ) 12
ე) 13
რეზოლუცია:
ალტერნატივა D
შიდა ბისექტრის თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ შემდეგ გამოთვლას:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
ჯვარედინი გამრავლება:
\(27x=18\ \მარცხნივ (30-x\მარჯვნივ)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
კითხვა 2
გააანალიზეთ შემდეგი სამკუთხედი, იცოდეთ, რომ თქვენი გაზომვები მოცემულია სანტიმეტრებში.
ABC სამკუთხედის პერიმეტრი უდრის:
ა) 75 სმ
ბ) 56 სმ
გ) 48 სმ
დ) 24 სმ
ე) 7,5 სმ
რეზოლუცია:
ალტერნატივა C
ბისექტრის თეორემის გამოყენებით, ჯერ ვიპოვით x-ის მნიშვნელობას:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \მარცხნივ (4x-9\მარჯვნივ)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
ამრიგად, უცნობი მხარეები ზომავს:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
გავიხსენოთ, რომ ლიანდაგის სიგრძე გამოყენებული იყო სმ პერიმეტრი ამ სამკუთხედის ტოლია:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 სმ
რაულ როდრიგეს დე ოლივეირას მიერ
მათემატიკის მასწავლებელი
გსურთ ამ ტექსტის მითითება სასკოლო ან აკადემიურ ნაშრომში? შეხედე:
ოლივეირა, რაულ როდრიგეს დე. „შიდა ბისექტრის თეორემა“; ბრაზილიის სკოლა. Ხელმისაწვდომია: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. ხელმისაწვდომია 2022 წლის 04 აპრილს.
