ანალიტიკური გეომეტრია: ძირითადი ცნებები და ფორმულები

ანალიტიკური გეომეტრია სწავლობს გეომეტრიულ ელემენტებს კოორდინატთა სისტემაში სიბრტყეში ან სივრცეში. ეს გეომეტრიული ობიექტები განისაზღვრება მათი მდებარეობითა და პოზიციით ამ ორიენტაციის სისტემის წერტილებთან და ღერძებთან მიმართებაში.

უძველესი ხალხებიდან, როგორიცაა ეგვიპტელები და რომაელები, კოორდინატების იდეა უკვე გაჩნდა ისტორიაში. მაგრამ სწორედ მე-17 საუკუნეში, რენე დეკარტისა და პიერ დე ფერმას ნაშრომებით, მათემატიკის ეს დარგი სისტემატიზირებული იყო.

დეკარტის ორთოგონალური სისტემა

ორთოგონალური კარტეზიული სისტემა არის კოორდინატების განთავსების საცნობარო ბაზა. იგი სიბრტყეში შედგება ორი პერპენდიკულარული ღერძისგან.

• ამ სისტემის O(0,0) საწყისი არის ამ ღერძების კვეთა.
• x ღერძი არის აბსცისა.
• y ღერძი არის ორდინატი.
• ოთხი კვადრატი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ არის ორიენტირებული.

შეუკვეთა წყვილი

სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს აქვს კოორდინატი P(x, y).

x არის P წერტილის აბსცისა და წარმოადგენს დაშორებას x ღერძზე მისი ორთოგონალური პროექციიდან საწყისამდე.
y არის P წერტილის ორდინატი და არის მანძილი მისი ორთოგონალური პროექციიდან y ღერძზე საწყისამდე.

მანძილი ორ წერტილს შორის

დეკარტის სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის მანძილი არის ამ ორი წერტილის დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე.

ორ წერტილს შორის მანძილი ფორმულა და ნებისმიერი.

შუა წერტილის კოორდინატები

შუა წერტილი არის წერტილი, რომელიც ყოფს სეგმენტს ორ თანაბარ ნაწილად.

ყოფნა სეგმენტის შუა წერტილი , მისი კოორდინატები არის აბსცისა და ორდინატის არითმეტიკული საშუალებები.

და

სამპუნქტიანი გასწორების მდგომარეობა

ქულების გათვალისწინებით: .

ეს სამი წერტილი იქნება გასწორებული, თუ შემდეგი მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

მაგალითი

წრფის კუთხოვანი კოეფიციენტი

ფერდობზე სწორი ხაზის არის მისი ფერდობის ტანგენსი x-ღერძის მიმართ.

დახრილობის მისაღებად ორი წერტილიდან:

თუ m > 0, ხაზი აღმავალია, წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ m < 0, წრფე კლებადია.

ხაზის ზოგადი განტოლება

სად ,ბ და ჩ არის მუდმივი რეალური რიცხვები და The და ბ ისინი ერთდროულად არ არიან ნულოვანი.

მაგალითი

წრფის განტოლება, რომელიც იცის წერტილი და დახრილობა

ქულის მინიჭება და ფერდობზე .

წრფის განტოლება იქნება:

მაგალითი

სწორი განტოლების შემცირებული ფორმა

სად:
m არის ფერდობზე;
n არის წრფივი კოეფიციენტი.

არა დალაგებულია იქ, სადაც წრფე კვეთს y ღერძს.

მაგალითი

შეხედე ხაზის განტოლება.

ფარდობითი პოზიცია სიბრტყეში ორ პარალელურ წრფეს შორის

ორი განსხვავებული ხაზი პარალელურია, როდესაც მათი ფერდობები ტოლია.

თუ სწორი რ აქვს დახრილობა , და სწორი ს აქვს დახრილობა , ეს პარალელურია, როდესაც:

ამისთვის თქვენი მიდრეკილებები თანაბარი უნდა იყოს.

ტანგენტები ტოლია, როდესაც კუთხეები ტოლია.

შედარებითი პოზიცია სიბრტყეში ორ კონკურენტ სწორ ხაზს შორის

ორი ხაზი ერთდროულია, როდესაც მათი ფერდობები განსხვავებულია.

თავის მხრივ, ფერდობები განსხვავდება, როდესაც მათი დახრილობის კუთხეები x ღერძთან მიმართებაში განსხვავებულია.

პერპენდიკულარული ხაზები

ორი ნაშთი პერპენდიკულარულია, როდესაც მათი დახრილობის ნამრავლი უდრის -1-ს.

ორი სწორი რ და ს, გამორჩეული, ფერდობებით და პერპენდიკულარულია თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ:

ან

კიდევ ერთი გზა იმის გასაგებად, არის თუ არა ორი წრფე პერპენდიკულარული, არის მათი განტოლებები ზოგადი ფორმით.

r და s წრფეების განტოლებები არის:

მასზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი, როდესაც:

შეხედე პერპენდიკულარული ხაზები.

გარშემოწერილობა

წრეწირი არის ადგილი სიბრტყეზე, სადაც ყველა წერტილი P(x, y) ერთნაირი მანძილია რ მისი ცენტრიდან C(a, b), სადაც რ არის რადიუსის საზომი.

წრეწირის განტოლება შემცირებული ფორმით

სად:
რ არის რადიუსი, მანძილი თქვენს რკალის ნებისმიერ წერტილსა და ცენტრს შორის. ჩ.
The და ბ არის ცენტრის კოორდინატები ჩ.

წრის ზოგადი განტოლება

იგი მიიღება წრეწირის შემცირებული განტოლების კვადრატული ნაწილების შემუშავებით.

ძალიან ხშირია წვრთნებში წრეწირის განტოლების ზოგადი ფორმის ჩვენება, რომელიც ასევე ცნობილია როგორც ნორმალური ფორმა.

კონუსური

სიტყვა კონუსური მომდინარეობს კონუსიდან და აღნიშნავს მის დაკვეთით მიღებულ მრუდეებს. ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა არის მრუდი, რომელსაც კონუსური ეწოდება.

ელიფსი

ელიფსი არის დახურული მრუდი, რომელიც მიიღება ღერძის მიმართ დახრილი სიბრტყით სწორი წრიული კონუსის დაკვეთით, რომელიც არ გადის წვეროზე და არ არის მისი გენერატრიების პარალელურად.

სიბრტყეში, ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთა ჯამი ორ შიდა ფიქსირებულ წერტილამდე არის მუდმივი.

ელიფსის ელემენტები:

• F1 და F2 არის ელიფსის კერები;
• 2c არის ელიფსის ფოკუსური სიგრძე. ეს არის მანძილი F1 და F2 შორის;
• წერტილი ო ეს არის ელიფსის ცენტრი. ეს არის შუა წერტილი F1 და F2 შორის;
• A1 და A2 არის ელიფსის წვეროები;
• სეგმენტი ძირითადი ღერძი და ტოლია 2a.
• სეგმენტი მცირე ღერძი უდრის 2b-ს.
• ექსცენტრიულობა სადაც 0 < და < 1.

შემცირებული ელიფსის განტოლება

განვიხილოთ წერტილი P(x, y), რომელიც შეიცავს ელიფსს, სადაც x არის აბსცისა და y არის ამ წერტილის ორდინატი.

ელიფსის ცენტრი კოორდინატთა სისტემის საწყისთან და ძირითადი ღერძი (AA) x-ღერძზე.

ელიფსის ცენტრი კოორდინატთა სისტემის საწყისთან და ძირითადი ღერძი (AA) y ღერძზე.

ელიფსის შემცირებული განტოლება კოორდინატთა ღერძების პარალელურ ღერძებთან

პუნქტის გათვალისწინებით როგორც დეკარტის სისტემის საწყისი და, წერტილი როგორც ელიფსის ცენტრი.

AA ძირითადი ღერძი, x ღერძის პარალელურად.

AA ძირითადი ღერძი, y ღერძის პარალელურად.

ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა არის წერტილების ნაკრები სიბრტყეზე, სადაც სხვაობა ორ ფიქსირებულ წერტილს შორის F1 და F2 იწვევს მუდმივ, დადებით მნიშვნელობას.

ჰიპერბოლის ელემენტები:

• F1 და F2 არის ჰიპერბოლის კერები.
• 2c = არის ფოკუსური მანძილი.
• ჰიპერბოლის ცენტრი არის წერტილი ო, F1F2 სეგმენტის საშუალო.
• A1 და A2 არის წვეროები.
• 2a = A1A2 არის რეალური ან განივი ღერძი.
• 2b = B1B2 არის წარმოსახვითი ან კონიუგირებული ღერძი.
• არის ექსცენტრიულობა.

B1OA2 სამკუთხედის გავლით

ჰიპერბოლის შემცირებული განტოლება

რეალური ღერძით x ღერძისა და საწყისი ცენტრის გარშემო.

რეალური ღერძით y ღერძზე და საწყის ცენტრზე.

ჰიპერბოლის განტოლება საკოორდინაციო ღერძების პარალელურ ღერძებთან

AA რეალური ღერძი x ღერძისა და ცენტრის პარალელურად .

რეალური ღერძი AA y ღერძისა და ცენტრის პარალელურად .

იგავი

პარაბოლა არის ადგილი, სადაც P(x, y) წერტილების სიმრავლე არის იგივე მანძილი ფიქსირებული წერტილიდან F და d წრფედან.

იგავის ელემენტები:

• F არის იგავის ფოკუსი;
• d არის სწორი გზამკვლევი;
• სიმეტრიის ღერძი არის სწორი ხაზი ფოკუსში F და პერპენდიკულარულია სახელმძღვანელოზე.
• V არის პარაბოლის წვერო.
• p არის იმავე სიგრძის სეგმენტი ფოკუსს F და წვერო V e შორის, წვეროსა და დირექტივას d შორის.

პარაბოლის შემცირებული განტოლებები

საწყისთან წვერით და y ღერძზე სიმეტრიის ღერძით.

თუ p>0 ჩაღრმავება ზემოთ.
თუ p<0 ქვევით ჩაღრმავება.

დასაწყისთან წვეროთი და x ღერძზე სიმეტრიის ღერძი.

თუ p>0 ჩაღრმავება მარჯვნივ.
თუ p<0 ჩაღრმავება მარცხნივ.

y ღერძისა და წვერის პარალელურად სიმეტრიის ღერძით .

სიმეტრიის ღერძით x ღერძისა და წვერის პარალელურად .

პრაქტიკაში სავარჯიშოები ანალიტიკურ გეომეტრიაზე.

შეიტყვეთ მეტი:
დეკარტის გეგმა
მანძილი ორ წერტილს შორის
კონუსური
კუთხოვანი კოეფიციენტის გამოთვლა