ცოდვების კანონი: გამოყენება, მაგალითი და სავარჯიშოები

ცოდვების კანონი განსაზღვრავს, რომ ნებისმიერ სამკუთხედში, კუთხის სინუსური მიმართება ყოველთვის პროპორციულია ამ კუთხის საწინააღმდეგო მხარის ზომისა.

ეს თეორემა ცხადყოფს, რომ იმავე სამკუთხედში ყოველთვის იქნება თანაფარდობა ერთი მხარის მნიშვნელობასა და მისი საპირისპირო კუთხის სინუსს შორის მუდმივი.

ამრიგად, ABC, a, b, c მხარეებით სამკუთხედისთვის ცოდვების კანონი აღიარებს შემდეგ ურთიერთობებს:

ცოდვების კანონების წარმოდგენა სამკუთხედში

მაგალითი

უკეთესი გაგებისთვის, მოდით გამოვთვალოთ ამ სამკუთხედის AB და BC გვერდების ზომა, როგორც AC მხარის b ზომის ღონისძიება.

სინუსების კანონით, ჩვენ შეგვიძლია დავამყაროთ შემდეგი ურთიერთობა:

აქედან გამომდინარე, AB = 0.816b და BC = 1.115b.

შენიშვნა: სინუსების მნიშვნელობებს გაეცნენ ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტების ცხრილი. მასში შეგვიძლია ვიხილოთ კუთხეების მნიშვნელობები თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის 1º-დან 90º-მდე (სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი).

ტრიგონომეტრიის გამოთვლებში ყველაზე მეტად გამოიყენება 30º, 45º და 60º-ის კუთხეები. აქედან, მათ საყურადღებო კუთხეებს უწოდებენ. გაეცანით ცხრილს ქვემოთ მოცემული მნიშვნელობებით:

instagram story viewer

ტრიგონომეტრიული ურთიერთობები	30°	45°	60°
სინუსი	1/2	√2/2	√3/2
კოსინუსი	√3/2	√2/2	1/2
ტანგენსი	√3/3	1	√3

ცოდვების კანონის გამოყენება

სინუსის კანონს ვიყენებთ მწვავე სამკუთხედებში, სადაც შიდა კუთხეები 90º-ზე ნაკლებია (მწვავე); ან ბლაგვ სამკუთხედებში, რომელთა შიდა კუთხეები 90º-ზე მეტია (ბლაგვი). ამ შემთხვევებში ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოსინოს კანონი.

ცოდვების ან კოსინუსების კანონის გამოყენების მთავარი მიზანია სამკუთხედის გვერდების გაზომვა და აგრეთვე მისი კუთხეები.

სამკუთხედების წარმოდგენა მათი შიდა კუთხეების მიხედვით

და ცოდვების კანონი მართკუთხედის სამკუთხედში?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ცოდვების კანონი გამოიყენება როგორც მწვავე, ისე ბლაგვ სამკუთხედებში.

მართკუთხა სამკუთხედებში, რომლებიც ჩამოყალიბებულია 90º (სწორი) შიდა კუთხით, გამოვიყენეთ პითაგორას თეორემა და მის მხარეებს შორის ურთიერთობები: მოპირდაპირე, მომიჯნავე მხარე და ჰიპოტენუზა.

მართკუთხა სამკუთხედის და მისი გვერდების წარმოდგენა

ამ თეორემას აქვს შემდეგი დებულება: "მათი ფეხების კვადრატების ჯამი შეესაბამება მათი ჰიპოტენუზის კვადრატს". მისი ფორმულა გამოხატულია:

ჰ² = დაახლ²+ თანა²

ამრიგად, როდესაც მართკუთხა სამკუთხედი გვაქვს, სინუსი იქნება შეფარდება მოპირდაპირე ფეხის სიგრძესა და ჰიპოტენუზის სიგრძეს შორის:

ის ჰიპოტენუზას საპირისპიროდ კითხულობს.

კოსინუსი შეესაბამება პროპორციას მომიჯნავე ფეხის სიგრძესა და ჰიპოტენუზის სიგრძეს შორის, გამოხატული გამოხატულებით:

იკითხება ჰიპოტენუზის მიმდებარედ.

მისაღები გამოცდის სავარჯიშოები

1.(UFPB) გარკვეული ქალაქის მერია აშენებს მდინარეზე, რომელიც გადაკვეთს ამ ქალაქს, ხიდი, რომელიც უნდა იყოს სწორი და დააკავშირებს ორ წერტილს, A და B, მდინარის მოპირდაპირე ნაპირებზე. ამ წერტილებს შორის მანძილის გასაზომად, გეოდეზორმა განლაგდა მესამე წერტილი, C, A წერტილიდან 200 მ დაშორებით და მდინარის იმავე ნაპირზე, როგორც A წერტილი. თეოდოლიტის გამოყენებით (ჰორიზონტალური და ვერტიკალური კუთხეების გაზომვის ზუსტი ინსტრუმენტი, რომელიც ხშირად გამოიყენება ტოპოგრაფიულ სამუშაოებში), ამზომველმა დაადასტურა, რომ კუთხეები B C ზედწერილი ლოგიკური შეერთებით სივრცე და სივრცე C A ზედწერილი ლოგიკური შეერთებით B იზომება, შესაბამისად, 30º და 105º, რაც ილუსტრირებულია შემდეგ სურათზე.

ამ ინფორმაციის საფუძველზე, სწორია იმის მტკიცება, რომ მანძილი, მეტრებში, A წერტილიდან B წერტილამდე არის:

მარჯვენა ფრჩხილის სივრცე 200 კვადრატული ფესვი 2 ფესვის ბოლო სივრცეში b მარჯვენა ფრჩხილის სივრცე 180 კვადრატული ფესვი c ფესვის ფრჩხილის 2 ბოლო სივრცის მარჯვენა სივრცე 2 კვადრატული ფესვი 2 სივრცე d მარჯვენა ფრჩხილის სივრცე 100 კვადრატული ფესვი 2 სივრცე და მარჯვენა ფრჩხილის სივრცე 50 კვადრატული ფესვი 2

იხილეთ პასუხი

ადგილი და სივრცე არის მსხვილი ნაწლავის სივრცე d მარჯვენა ფრჩხილის სივრცე 100 კვადრატული ფესვი 2

ობიექტური: განსაზღვრეთ AB ზომის.

იდეა 1 - ცოდვების კანონი AB– ს დასადგენად

ფიგურა ქმნის სამკუთხედს ABC, სადაც AC გვერდი ზომავს 200 მ და გვაქვს ორი განსაზღვრული კუთხე.

კუთხეა B ზედწერილი ლოგიკური შეერთებით მოპირდაპირე მხარეს AC 200 მ და C კუთხის საპირისპიროდ AB მხარეს, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ AB- ის მეშვეობით ცოდვების კანონი.

მრიცხველი A B მნიშვნელზე s და n სივრცეში 30 გრადუსიანი ნიშანი წილადის სივრცის ბოლოს ტოლია სივრცის მრიცხველი A C მნიშვნელის შესახებ და n სივრცეში დაწყების სტილი აჩვენებს B ლოგიკური შეერთებით superscript ბოლოს სტილის ბოლოს წილადი

ცოდვების კანონი განსაზღვრავს, რომ კოეფიციენტები გვერდებსა და საპირისპირო კუთხეების სინუსებს შორის, ამ მხარეების შესაბამისად, თანაბარია იმავე სამკუთხედში.

იდეა 2 - განსაზღვრეთ კუთხე

სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი 180 °, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ B კუთხე.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

შეცვლის მნიშვნელობა B ზედწერილი ლოგიკური შეერთებით სინუსების კანონში და აკეთებს გამოთვლებს.

მრიცხველი A B ადგილი მნიშვნელზე მეტი s და n სივრცეში 30 გრადუსიანი ნიშანი წილადი სივრცის ბოლოს ტოლია მრიცხველის A სივრცეზე მნიშვნელით სივრცეში s და n სივრცეში B წილადის მრიცხველის დასასრული A B სივრცე მნიშვნელზე და n სივრცეში 30 გრადუსიანი ნიშანი წილადის სივრცის დასასრული ტოლია მრიცხველის A სივრცეზე მნიშვნელის სივრცეზე s e n ფართი 45 გრადუსიანი ნიშანი წილადის მრიცხველის დასასრული A B სივრცე მნიშვნელზე მეტი დაწყება სტილი აჩვენებს სტილის ნახევრის დასასრული წილადის სივრცის ბოლოს ტოლი მრიცხველის სივრცე A C მნიშვნელზე მეტი დაწყების სტილი აჩვენეთ მრიცხველი კვადრატული ფესვი 2-ზე მნიშვნელზე 2-ის წილადის ბოლოს სტილის დასასრული წილის ბოლოს 2 A B სივრცე, რომელიც უდრის მრიცხველს 2 A C კვადრატული ფესვის მნიშვნელზე მეტი წილადის 2 ბოლოს A B სივრცე ტოლია მრიცხველის A C კვადრატული ფესვის მნიშვნელზე 2 წილადის დასასრული

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელში არის კვადრატული ფესვი. ავიღოთ ეს ფესვი რაციონალიზაციის გაკეთებით, რაც არის წილადის როგორც მნიშვნელის, ასევე მრიცხველის გამრავლება თვით ძირზე.

A B ტოლი მრიცხველის A C მნიშვნელის კვადრატული ფესვის 2 წილის წილადის სივრცის ბოლოს და ტოლია სივრცის მრიცხველის A C სივრცის. კვადრატული ფესვის ფართი 2 მნიშვნელზე მეტი კვადრატული ფესვი 2 სივრცე. კვადრატული ფესვის სივრცე, წილადის სივრცის 2 ბოლოს, ტოლი მრიცხველის A C სივრცის ტოლი. ფართი კვადრატული ფესვი 2-ზე მნიშვნელის კვადრატული ფესვი 4-ის წილადის სივრცის ბოლოს და ტოლია მრიცხველის A C სივრცის. კვადრატული ფესვის სივრცე 2 – ზე წილადის 2 – ზე მნიშვნელზე

AC მნიშვნელობის ჩანაცვლება, ჩვენ გვაქვს:

B სივრცე, რომელიც უდრის სივრცის მრიცხველს 200 ადგილს. სივრცის კვადრატული ფესვი 2-ზე მნიშვნელზე 2 წილადის სივრცის ბოლოს ტოლი 100 კვადრატული ფესვი 2-ისა

ამიტომ, მანძილი A და B წერტილებს შორის არის 2 კვ.მ ფართობის 100 კვადრატული ფესვი .

2. (მაკენზი - SP) სამი კუნძული A, B და C რუკაზე ჩანს 1: 10000 მასშტაბით, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე. ალტერნატივებიდან ის, რაც საუკეთესოდ უახლოვდება A და B კუნძულებს შორის მანძილს, არის:

ა) 2,3 კმ
ბ) 2,1 კმ
გ) 1,9 კმ
დ) 1,4 კმ
ე) 1,7 კმ

იხილეთ პასუხი

სწორი პასუხი: ე) 1,7 კმ

მიზანი: განსაზღვრეთ AB სეგმენტის ზომა.

იდეა 1: გამოიყენეთ სინუსური კანონი, რომ იპოვოთ AB ზომა

ცოდვების კანონი: სამკუთხედის გვერდების გაზომვები მათი საპირისპირო კუთხეების სინუსების პროპორციულია.

მრიცხველი 12 მნიშვნელზე მეტი s და n სივრცეში 30 წილადის სივრცის ბოლოს ტოლი სივრცის მრიცხველი A B მეტი მნიშვნელის სივრცე s და n სივრცეში დაწყების სტილი აჩვენებს C ლოგიკური შეერთებით superscript ბოლოს სტილის ბოლოს სივრცის წილი

იდეა 2: განსაზღვრეთ კუთხე

სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი უდრის 180-სº.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

იდეა 3: გამოიყენეთ C მნიშვნელობა სინუსების კანონში

იდეა 4: მიახლოებით კვადრატული ფესვის მნიშვნელობას და გამოიყენეთ მასშტაბი

მიღების კვადრატული ფესვი 4 დაახლოებით თანაბარი ფართობი 1 მძიმით 4

12. 1,4 = 16,8

სკალაში ნათქვამია 1: 10000, გამრავლებით:

16,8. 10000 = 168 000 სმ

იდეა 5: სმ-დან კმ-ზე გადასვლა

168 000 სმ / 100 000 = 1,68 კმ

დასკვნა: რადგან გათვლილი მანძილია 1,68 კმ, უახლოესი ალტერნატივაა ასო e.

შენიშვნა: სმ-დან კმ-ზე გადასასვლელად, ჩვენ ვყოფთ 100 000-ზე, რადგან შემდეგი მასშტაბით, სანტიმეტრიდან კმ-მდე, ჩვენ 5 ადგილს ვთვლით მარცხნივ.

კმ -5- სთ -4- კაშხალი -3- მ -2- დმ -1- სმ მმ

3. (Unifor-CE) ცნობილია, რომ ყველა სამკუთხედში თითოეული გვერდის ზომა პირდაპირპროპორციულია მხარის საპირისპირო კუთხის სინუსის. ამ ინფორმაციის გამოყენებით დგინდება, რომ ქვემოთ მოცემული სამკუთხედის AB გვერდის ზომაა: