მატრიკები: კომენტარებით გამოყოფილი და სავარჯიშოები

მატრიცა არის ცხრილი, რომელიც ფორმირდება ნამდვილი რიცხვებით, განლაგებულია მწკრივებად და სვეტებად. რიცხვებს, რომლებიც მატრიცაში ჩნდება, ეწოდება ელემენტები.

ისარგებლეთ მისაღები გამოცდის ამოხსნილი და კომენტარებით დასმული კითხვებით, რათა გაასუფთაოთ თქვენი ეჭვები ამ შინაარსთან დაკავშირებით.

მისაღები გამოცდების საკითხები მოგვარებულია

1) უნიკაპი - 2018 წ

მოდით a და b იყოს რეალური რიცხვები ისეთი, რომ მატრიცა A = აკმაყოფილებს განტოლებას A²= aA + bI, სადაც I არის 2 ბრძანების პირადობის მატრიცა. Ab პროდუქტი ტოლია

ა) 2.
ბ) −1.
გ) 1.
დ) 2.

იხილეთ პასუხი

A.b პროდუქტის ღირებულების გასარკვევად, პირველ რიგში უნდა ვიცოდეთ a და b მნიშვნელობა. მოდით განვიხილოთ პრობლემაში მოცემული განტოლება.

განტოლების ამოსახსნელად მოდით გამოვთვალოთ A მნიშვნელობა², რაც ხდება A მატრიცის გამრავლებით, ანუ:

ეს ოპერაცია ხორციელდება პირველი მატრიცის მწკრივების გამრავლებით მეორე მატრიცის სვეტებზე, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ:

ამ გზით მატრიცა A² ეს იგივეა, რაც:

ახლახანს აღმოჩენილი მნიშვნელობის გათვალისწინებით და გვახსოვს, რომ პირადობის მატრიცაში ძირითადი დიაგონალის ელემენტები 1-ის ტოლია, ხოლო სხვა ელემენტები 0-ის ტოლია, განტოლება იქნება:

ახლა ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მატრიცა A რიცხვზე და პირადობის მატრიცა რიცხვზე b.

გახსოვდეთ, რომ რიცხვის მასივზე გასამრავლებლად, რიცხვს ვამრავლებთ მასივის თითოეულ ელემენტზე.

ამრიგად, ჩვენი თანასწორობა ტოლი იქნება:

ორი მატრიცის დამატება, ჩვენ გვაქვს:

ორი მატრიცა ტოლია, როდესაც ყველა შესაბამისი ელემენტი ტოლია. ამ გზით, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი სისტემა:

A განტოლება მეორე განტოლებაში:

პირველ განტოლებაში ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, ვხვდებით b მნიშვნელობას:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

ამრიგად, პროდუქტს მიიღებენ:

ე. b = - 1. 2
ე. b = - 2

ალტერნატივა: ა) 2.

2) Unesp - 2016 წ

ორთოგონალური კარტეზიული სიბრტყის კოორდინატების (x, y) წერტილი P წარმოადგენს სვეტის მატრიცას. , ასევე სვეტის მატრიცა ორთოგონალურ კარტეზიულ სიბრტყეში წარმოადგენს კოორდინატების P წერტილს (x, y). ამრიგად, მატრიცის გამრავლების შედეგი არის სვეტის მატრიცა, რომელიც ორთოგონალურ კარტეზიანულ სიბრტყეში აუცილებლად წარმოადგენს წერტილს, რომელიც არის

ა) P– ის 180º – ის როტაცია საათის ისრის მიმართულებით და ცენტრში (0, 0).
ბ) P- ით 90 ° -ით მოძრაობა საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ცენტრში (0, 0).
გ) P- ის სიმეტრიული ჰორიზონტალური x ღერძის მიმართ.
დ) P- ის სიმეტრიული ვერტიკალური y ღერძის მიმართ.
ე) P- ით 90º საათის ისრის მიმართულებით და ცენტრით (0, 0).

იხილეთ პასუხი

P წერტილი წარმოდგენილია მატრიცათი, ისე რომ აბსცისი (x) აღინიშნება a ელემენტით.₁₁ და კოორდინატი (y) ელემენტის მიხედვით₂₁ მატრიცის.

P წერტილის ახალი პოზიციის მოსაძებნად, ჩვენ უნდა ამოვხსნათ წარმოდგენილი მატრიცების გამრავლება და შედეგი იქნება:

შედეგი წარმოადგენს P წერტილის ახალ კოორდინატს, ანუ აბსცისი უდრის -y და კოორდინატი x უდრის.

P წერტილის პოზიციის მიერ გადატანილი ტრანსფორმაციის დასადგენად, წარმოვადგინოთ სიტუაცია კარტეზიანში, როგორც ეს მითითებულია ქვემოთ:

ამიტომ, წერტილი P, რომელიც თავდაპირველად მდებარეობდა მე –1 კვადრანტში (პოზიტიური აბსცისი და კოორდინატი), გადავიდა მე –2 კვადრანტში (უარყოფითი აბსცისა და პოზიტიური კოორდინატი).

ამ ახალ პოზიციაზე გადასვლისას წერტილი გადატრიალდა საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, როგორც ეს გამოსახულია ზემოთ მოცემულ სურათზე წითელი ისრით.

ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა დავადგინოთ რა იყო როტაციის კუთხის მნიშვნელობა.

P წერტილის თავდაპირველი პოზიციის კარტეზიული ღერძის ცენტრთან დამაკავშირებლად და იმავეს გაკეთებით მის ახალ პოზიციასთან დაკავშირებით P ', ჩვენ გვაქვს შემდეგი სიტუაცია:

გაითვალისწინეთ, რომ ფიგურაში მითითებული ორი სამკუთხედი თანხვედრაა, ანუ მათ აქვთ იგივე ზომები. ამ გზით მათი კუთხეებიც იგივეა.

გარდა ამისა, α და θ კუთხეები ერთმანეთს ავსებენ, რადგან სამკუთხედების შიდა კუთხეების ჯამი 180º-ის ტოლია და რადგან სამკუთხედი მართკუთხაა, ამ ორი კუთხის ჯამი ტოლია 90º-ის.

ამიტომ, წერტილის ბრუნვის კუთხე, რომელიც ფიგურაში მითითებულია β- ით, მხოლოდ 90º-ის ტოლი შეიძლება იყოს.

ალტერნატივა: ბ) P- ის 90 ° -იანი ბრუნვა საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ცენტრში (0, 0).

3) უნიქამი - 2017 წ

რადგან a არის ნამდვილი რიცხვი, განვიხილოთ მატრიცა A = . ასე რომ²⁰¹⁷ ეს იგივეა, რაც
)
ბ)
ჩ)
დ)

იხილეთ პასუხი

პირველ რიგში, შევეცადოთ მოვნახოთ ძალაუფლების ნიმუში, ვინაიდან ბევრი სამუშაოა A მატრიცის თავისთავად გამრავლებაზე 2017 – ჯერ.

მახსოვს, რომ მატრიცის გამრავლებაში, თითოეული ელემენტი გვხვდება ერთი რიგის ელემენტების გამრავლების შედეგების დამატებით მეორის სვეტის ელემენტებზე.

დავიწყოთ A– ს გამოთვლით²:

შედეგი იყო იდენტურობის მატრიცა და როდესაც რაიმე მატრიცას გავამრავლებთ პირადობის მატრიცაზე, შედეგი იქნება თვით მატრიცა.

ამიტომ, A– ს მნიშვნელობა³ ტოლი იქნება თვით მატრიცა, რადგან A³ = ა². .

ეს შედეგი განმეორდება, ანუ როდესაც მაჩვენებელი ლუწი იქნება, შედეგი არის პირადობის მატრიცა და როდესაც ის უცნაურია, ეს იქნება თვით მატრიცა.

რადგან 2017 არის უცნაური, მაშინ შედეგი უდრის A მატრიცას.

ალტერნატივა: ბ)

4) UFSM - 2011 წ

მოცემული დიაგრამა წარმოადგენს მოცემული ეკოსისტემის გამარტივებულ კვების ჯაჭვს. ისრებით მიეთითება სხვა სახეობების იკვებება. 1 მნიშვნელობის მინიჭება, როდესაც ერთი სახეობა იკვებება მეორეზე და ნულოვანი, როდესაც პირიქით ხდება, ჩვენ გვაქვს შემდეგი ცხრილი:

მატრიცა A = (a_ე.ი.)_4x4ცხრილთან ასოცირდება შემდეგი კანონი:

იხილეთ პასუხი

მას შემდეგ, რაც მწკრივის ნომერი მითითებულია i- ით და სვეტის ნომერი j- ით, და ცხრილს ვათვალიერებთ, ვამჩნევთ, რომ როდესაც i ტოლია j, ან i მეტია j, შედეგი ნულის ტოლია.

1-ით დაკავებული პოზიციებია ის ადგილები, რომლებშიც სვეტის ნომერი მეტია ვიდრე სტრიქონის ნომერი.

ალტერნატივა: გ)

5) Unesp - 2014 წ

განვიხილოთ მატრიცის განტოლება A + BX = X + 2C, რომლის უცნობია X მატრიცა და ყველა მატრიცა არის n ბრძანების კვადრატი. ამ განტოლების ერთიანი ამოხსნის აუცილებელი და საკმარისი პირობაა:

ა) B - I ≠ O, სადაც I არის n ბრძანების პირადობის მატრიცა და O არის n ბრძანების null მატრიცა.
ბ) B შექცევადია.
გ) B ≠ O, სადაც O არის n ბრძანების ნულოვანი მატრიცა.
დ) B - მე შექცევადია, სადაც მე არის n რიგის პირადობის მატრიცა.
ე) A და C შექცევადია.

იხილეთ პასუხი

მატრიცული განტოლების გადასაჭრელად, ჩვენ უნდა გამოვყოთ X ტოლი ნიშნის ერთ მხარეს. ამისათვის თავდაპირველად მოვაცილოთ A მატრიცა ორივე მხარეს.

A - A + BX = X + 2C - ა
BX = X + 2C - ა

მოდით, გამოვაკლოთ X, ასევე ორივე მხარეს. ამ შემთხვევაში განტოლება იქნება:

BX - X = X - X + 2C - ა
BX - X = 2C - ა
X. (B - I) = 2C - A

მას შემდეგ, რაც მე პირადობის მატრიცა ვარ, როდესაც მატრიცა გავამრავლებთ იდენტურობით, შედეგი არის თვით მატრიცა.

ასე რომ, X- ის გამოსაყოფად ახლა ტოლის ნიშნის ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ (B-I) - ის შებრუნებული მატრიცაზე, ანუ:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

მახსოვს, რომ როდესაც მატრიცა ინვერსიულია, მატრიცის პროდუქტი ინვერსიით უდრის იდენტურობის მატრიცას.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

ამრიგად, განტოლებას ექნება ამოხსნა, როდესაც B - I ინვერსიულია.

ალტერნატივა: დ) B - მე შექცევადია, სადაც მე არის n რიგის პირადობის მატრიცა.

6) Enem - 2012 წ

სტუდენტმა თავისი ზოგიერთი საგნის ორთვიანი შეფასებები დააფიქსირა ცხრილში. მან აღნიშნა, რომ ცხრილში მოცემული რიცხვითი ფორმები ქმნიდა 4x4 მატრიცას და მას შეეძლო ამ დისციპლინების საშუალო წლიური გამოთვლა მატრიცების პროდუქტის გამოყენებით. ყველა ტესტს ჰქონდა ერთი და იგივე წონა, ხოლო ცხრილი, რომელიც მან მიიღო, ნაჩვენებია ქვემოთ

ამ საშუალოების მისაღებად, მან გამრავლდა ცხრილიდან მიღებული მატრიცაზე

იხილეთ პასუხი

არითმეტიკული საშუალო გამოითვლება ყველა მნიშვნელობის დამატებასა და მნიშვნელობების რაოდენობის მიხედვით გაყოფით.

ამრიგად, სტუდენტმა უნდა დაამატოს 4 ბიმესტერის შეფასებები და დაყოს შედეგი 4-ზე ან გამრავლდეს თითოეული კლასი 1/4-ზე და დაამატოს ყველა შედეგი.

მატრიცების გამოყენებით იგივე შედეგს მივაღწევთ მატრიცის გამრავლების გაკეთებით.

ამასთან, უნდა გვახსოვდეს, რომ მხოლოდ ორი მატრიცის გამრავლებაა შესაძლებელი, როდესაც სვეტების რაოდენობა ერთში ტოლია რიგების მეორეში.

რადგან ჩანიშვნების მატრიცას აქვს 4 სვეტი, მატრიცას, რომლის გამრავლებასაც ვაპირებთ, უნდა ჰქონდეს 4 მწკრივი. ამრიგად, ჩვენ უნდა გავამრავლოთ სვეტის მატრიცაზე:

ალტერნატივა: და

7) ფუვესტი - 2012 წ

განვიხილოთ მატრიცა რაზე ნამდვილი რიცხვია. იცის რომ A აღიარებს შებრუნებულ A- ს^-1 რომლის პირველი სვეტია , A- ს ძირითადი დიაგონალის ელემენტების ჯამი^-1 ეს იგივეა, რაც

ა) 5
ბ) 6
გ) 7
დ) 8
ე) 9

იხილეთ პასუხი

მატრიცის გამრავლება მისი ინვერსიით უდრის იდენტურობის მატრიცას, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ სიტუაცია შემდეგი ოპერაციით:

პირველი მატრიცის მეორე რიგის გამრავლების გადაჭრა მეორე მატრიცის პირველი სვეტით, ჩვენ გვაქვს შემდეგი განტოლება:

(1-მდე). (2 ა - 1) + (ა + 1). (- 1) = 0
მე -2² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
მე -2² - მე -4 = 0
მე -2 (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

შეცვალეთ a- ს მნიშვნელობა მატრიცაში, ჩვენ გვაქვს:

ახლა, როდესაც მატრიცა ვიცით, მოდით გამოვთვალოთ მისი განმსაზღვრელი:

ამრიგად, ძირითადი დიაგონალის ჯამი უდრის 5-ს.

ალტერნატივა: ა) 5

მეტის გასაგებად იხილეთ აგრეთვე:

• მატრიკები
• განმსაზღვრელი
• სარრუსის წესი
• ლაპლასის თეორემა
• გადატანილი მატრიცა