ტრიგონომეტრია მნიშვნელოვანი თემაა მათემატიკაში, რომლის საშუალებითაც შესაძლებელია სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გარდა, სხვა სამკუთხედის სინუსების, კოსინუსისა და ტანგესის საშუალებით იცოდე გვერდები და კუთხეები.
სწავლის გასაუმჯობესებლად და ცოდნის გასაზრდელად მიჰყევით 8 სავარჯიშოს ჩამონათვალს, პლუს 4 მისაღები გამოცდის კითხვებს, რომლებიც ეტაპობრივად მოგვარებულია.
სავარჯიშო 1
დილით დააკვირდა ადგილზე მდებარე შენობის ჩრდილს, ერთმა ადამიანმა დაადგინა, რომ მისი ზომა იყო 63 მეტრი, როდესაც მზის სხივმა ზედაპირთან 30 ° -იანი კუთხე შექმნა. ამ ინფორმაციის საფუძველზე გამოთვალეთ შენობის სიმაღლე.
სწორი პასუხი: დაახლოებით 36,37 მ.
შენობა, ჩრდილი და მზის სხივი განსაზღვრავს მართკუთხა სამკუთხედს. 30 ° -იანი კუთხისა და ტანგენტის გამოყენებით შეგვიძლია განვსაზღვროთ შენობის სიმაღლე.
მას შემდეგ, რაც შენობის სიმაღლეა თ, ჩვენ გვაქვს:
სავარჯიშო 2
3 დიამეტრის გარშემოწერილობაზე, AC სეგმენტი, რომელსაც აკორდი ეწოდება, ქმნის 90 ° -იან კუთხეს იმავე სიგრძის სხვა აკორდთან. რა არის სიმების ზომა?
სწორი პასუხი: თოკის სიგრძეა 2,12 სმ.
ვინაიდან AC და CB სეგმენტები ქმნიან 90 ° -ის კუთხეს და აქვთ იგივე სიგრძე, ჩამოყალიბებული სამკუთხედი არის ტოლფერდა და ფუძის კუთხეები ტოლია.
მას შემდეგ, რაც სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი 180 ° -ის ტოლია და ჩვენ უკვე გვაქვს 90 ° -იანი კუთხე, დარჩენილია კიდევ 90 °, რომ თანაბრად იყოფა ორ ძირითად კუთხეს შორის. ამრიგად, ამის მნიშვნელობა თითოეული 45º-ის ტოლია.
ვინაიდან დიამეტრი უდრის 3 სმ-ს, რადიუსი 1,5 სმ-ია და სიმების სიგრძის დასადგენად შეგვიძლია გამოვიყენოთ 45 ° კოსინუსი.
სავარჯიშო 3
ჩემპიონატში მონაწილე ველოსიპედისტი ფერდობის ზედა ნაწილში მიუახლოვდება ფინიშის ხაზს. ტესტის ამ ბოლო ნაწილის მთლიანი სიგრძეა 60 მ, ხოლო პანდუსსა და ჰორიზონტალს შორის წარმოქმნილი კუთხე 30 °. ამის ცოდნით გამოთვალეთ ვერტიკალური სიმაღლე, რომელზეც ველოსიპედისტს სჭირდება ასვლა.
სწორი პასუხი: სიმაღლე იქნება 30 მ.
ზარის სიმაღლე h, ჩვენ გვაქვს:
სავარჯიშო 4
შემდეგი ფიგურა იქმნება სამი სამკუთხედისგან, სადაც სიმაღლე h განსაზღვრავს ორ სწორ კუთხეს. ელემენტის მნიშვნელობებია:
α = 30°
β = 60°
h = 21
იპოვნეთ a + b მნიშვნელობა.
Სწორი პასუხი:
შეგვიძლია განვსაზღვროთ a და b სეგმენტების გაზომვები მოცემული კუთხეების ტანგენტების გამოყენებით.
გაანგარიშება:
გაანგარიშება b:
ამრიგად,
სავარჯიშო 5
თვითმფრინავი აფრინდა A ქალაქიდან და გაფრინდა 50 კმ-ზე სწორი ხაზით, სანამ B ქალაქში არ დაეშვებოდა. ამის შემდეგ მან კიდევ 40 კმ გაფრინდა, ამჯერად ქალაქის D- ისკენ გაემართა. ეს ორი მარშრუტი ერთმანეთისგან 90 ° -იანი კუთხითაა. ამასთან, ამინდის არახელსაყრელი პირობების გამო, მფრინავმა მიიღო საკონტროლო კოშკისგან კომუნიკაცია, რომელშიც აცნობეს, რომ ვერ დაეშვებოდა D ქალაქში და უნდა დაბრუნებულიყო A ქალაქში.
C წერტილიდან შემობრუნების მიზნით, მფრინავს რამდენი გრადუსით უნდა მოუხვია მარჯვნივ?
განვიხილოთ:
ცოდვა 51 ° = 0,77
კოს 51 ° = 0,63
რუჯი 51 ° = 1,25
სწორი პასუხი: მფრინავმა უნდა გადაუხვიოს 129 ° მარჯვნივ.
ფიგურის ანალიზისას ვხედავთ, რომ გზა ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს.
მოდით ვუწოდოთ ის კუთხე, რომელსაც ვეძებთ W. W და Z კუთხეები დამატებითია, ანუ ისინი ქმნიან არაღრმა კუთხეს 180 °.
ამრიგად, W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (განტოლება 1)
ახლა ჩვენი ამოცანაა განვსაზღვროთ Z კუთხე და, ამისათვის, ჩვენ ვაპირებთ გამოვიყენოთ მისი ტანგენტი.
საკუთარ თავს უნდა ვკითხოთ: რა არის კუთხე, რომლის ტანგენციაა 1.25?
პრობლემა ამ მონაცემებს გვაძლევს, თან 51 ° = 1.25.
ეს მნიშვნელობა ასევე შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიულ ცხრილში ან სამეცნიერო კალკულატორით, ფუნქციის გამოყენებით:
Z განტოლების შეცვლა 1 განტოლებაში გვაქვს:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
ვარჯიში 6
მონოქრომატული სინათლის სხივი ერთი საშუალოდან მეორეზე გადასვლისას განიცდის გადახრას მისკენ. მისი გავრცელების ეს ცვლილება უკავშირდება მედიის რეფრაქციის ინდექსებს, როგორც ნაჩვენებია შემდეგ ურთიერთობაში:
სნელის კანონი - დეკარტი
სადაც i და r არის სიხშირისა და გარდატეხის კუთხეები და n1 და n2, 1 და 2 საშუალებების რეფრაქციის ინდექსები.
ჰაერსა და მინას შორის გამოყოფის ზედაპირზე დარტყმისას, სინათლის სხივი ცვლის მის მიმართულებას, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე. რა არის მინის რეფრაქციის ინდექსი?
მონაცემები: ჰაერის რეფრაქციის ინდექსი უდრის 1-ს.
სწორი პასუხი: მინის რეფრაქციის ინდექსი ტოლია .
ჩვენი მნიშვნელობების ჩანაცვლება:
სავარჯიშო 7
მის საამქროში ხის მორების გასატანად, ზეინკალმა თოკი მიამაგრა მორიგს და ჰორიზონტალური ზედაპირიდან ათიოდე მეტრით გაიყვანა. სტრიქონის გავლით 40 N ძალამ გააკეთა კუთხე 45 ° გადაადგილების მიმართულებით. გამოთვალეთ გამოყენებული ძალის მუშაობა.
სწორი პასუხი: შესრულებული სამუშაოა დაახლოებით 84,85 ჯ.
სამუშაო არის ძალისა და გადაადგილების პროდუქტით მიღებული სკალარული სიდიდე. თუ ძალას არ აქვს იგივე მიმართულება, რაც გადაადგილებას, ეს ძალა უნდა დავშალოთ და ამ მიმართულებით განვიხილოთ მხოლოდ კომპონენტი.
ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ძალის სიდიდე კუთხის კოსინუსზე.
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
ვარჯიში 8
ორ მთას შორის, ორი სოფლის მაცხოვრებლებს უწევდათ რთული და მაღლა ასვლა. სიტუაციის მოსაგვარებლად გადაწყდა, რომ სოფელ A- სა და B- ს შორის საკაბელო ხიდი აშენდებოდა.
საჭირო იქნება ორ სოფელს შორის მანძილის გამოთვლა სწორი ხაზით, რომელზეც ხიდი გადაიჭიმებოდა. რადგან მოსახლეობამ უკვე იცოდა ქალაქების სიმაღლე და ასვლის კუთხეები, ამ მანძილის გამოანგარიშება შეიძლებოდა.
ქვემოთ მოცემული დიაგრამაზე დაყრდნობით და იმის ცოდნით, რომ ქალაქების სიმაღლე 100 მ იყო, გამოითვალეთ ხიდის სიგრძე.
სწორი პასუხი: ხიდის სიგრძე უნდა იყოს დაახლოებით 157,73 მ.
ხიდის სიგრძე მოცემული კუთხეების მიმდებარე გვერდების ჯამია. ზარის სიმაღლე h, ჩვენ გვაქვს:
გაანგარიშება 45 ° -იანი კუთხით
გაანგარიშება 60 ° -იანი კუთხით
ხიდის სიგრძის დასადგენად, ჩვენ ვაჯამებთ მიღებულ მნიშვნელობებს.
კითხვა 1
ცეფეტი - SP
ქვემოთ მოცემულ ABC სამკუთხედში CF = 20 სმ და BC = 60 სმ. მონიშნეთ შესაბამისად სეგმენტების AF და BE.
ა) 5, 15
ბ) 10, 20
გ) 15, 25
დ) 20, 10
ე) 10, 5
პასუხი: ბ) 10, 20
AF- ის დასადგენად
ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ AC = AF + CF, ამიტომ ჩვენ უნდა:
AF = AC - CF (განტოლება 1)
CF მოცემულია პრობლემის მიხედვით, ტოლია 20 სმ.
AC შეიძლება განისაზღვროს 30 ° სინუსის გამოყენებით.
პრობლემა მოცემულია პრობლემით, რომლის ტოლია 60 სმ.
ჩანაცვლება 1 განტოლებაში, ჩვენ გვაქვს:
BE- ს დასადგენად
პირველი დაკვირვება:
ჩვენ ვადასტურებთ, რომ სამკუთხედის შიგნით ფიგურა მართკუთხედია, ნახატზე განსაზღვრული სწორი კუთხეების გამო.
ამიტომ, მათი მხარეები პარალელურია.
მეორე დაკვირვება:
BE სეგმენტი ქმნის მართკუთხა სამკუთხედს, რომლის კუთხე 30 ° -ია, სადაც: სიმაღლე უდრის AF- ს, რომელიც ჩვენ ახლახანს განვსაზღვრეთ და BE არის ჰიპოტენუზა.
გაანგარიშება:
ვიყენებთ 30 ° სინუსს BE- ს დასადგენად
კითხვა 2
EPCAR-MG
თვითმფრინავი აფრენს B წერტილიდან ჰორიზონტალური მიმართულებით 15 ° -ის მუდმივი დახრით. B- დან 2 კმ-ზე მდებარეობს 600 მ სიმაღლის მთათა D უმაღლესი წერტილის ვერტიკალური პროექცია C, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.
მონაცემები: cos 15 ° = 0,97; ცოდვა 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
სწორია იმის თქმა, რომ:
ა) თვითმფრინავი არ დაეჯახება ხერხს 540 მ სიმაღლის მიღწევამდე.
ბ) მოხდება შეჯახება თვითმფრინავსა და ხერხს შორის 540 მ სიმაღლეზე.
გ) თვითმფრინავი დაეჯახება ხერხს დ.
დ) თუ თვითმფრინავი აიღებს 220 მ-მდე B- მდე, იგივე დახრილობის შენარჩუნებით, თვითმფრინავის ხერხი არ შეჯახდება.
პასუხი: ბ) თვითმფრინავსა და ხერხს შორის შეჯახება მოხდება 540 მ სიმაღლეზე.
პირველ რიგში, საჭიროა გამოიყენოთ სიგრძის საზომი ერთეულის იგივე ჯერადი. ამიტომ, 2 კმ-ზე გავივლით 2000 მ-მდე.
ფრენის იგივე საწყისი პირობების გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ, თუ რა სიმაღლეზე იქნება თვითმფრინავი C წერტილის ვერტიკალურ პროექციაში.
15 ° -იანი ტანგენციის გამოყენებით და სიმაღლის თვად განსაზღვრად გვაქვს:
კითხვა 3
ENEM 2018
სწორი წრიული ცილინდრის გასაფორმებლად გამოყენებული იქნება გამჭვირვალე ქაღალდის მართკუთხა ზოლი, რომელზეც ქვედა ხაზით გამოსახულია დიაგონალი, რომელიც ქმნის 30 ° -ს. ცილინდრის ფუძის რადიუსი 6 / π სმ ზომავს, ხოლო ზოლის მოხვევისას მიიღება სპირალის ფორმის ხაზი, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.
ცილინდრის სიმაღლის გაზომვის ღირებულება, სანტიმეტრებში, არის:
ა) 36√3
ბ) 24√3
გ) 4√3
დ) 36
ე) 72
პასუხი: ბ) 24√3
ფიგურის დაკვირვებით ვამჩნევთ, რომ ცილინდრის გარშემო 6 ბრუნვა გაკეთდა. რადგან ეს არის სწორი ცილინდრი, მისი სიმაღლის ნებისმიერ წერტილში ჩვენ გვექნება წრე, როგორც საფუძველი.
სამკუთხედის ფუძის ზომის გაზომვა.
წრის სიგრძის მიღება შესაძლებელია ფორმულიდან:
სადაც r არის რადიუსი e, ტოლია ,ჩვენ გვაქვს:
როგორ არის 6 წრე:
სიმაღლის გამოსათვლელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ 30 ° გარუჯვა.
კითხვა 4
ENEM 2017
მზის სხივები ტბის ზედაპირს X კუთხით აღწევს მისი ზედაპირით, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახატზე.
გარკვეულ პირობებში შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ამ სხივების შუქმფენი ინტენსივობა, ტბის ზედაპირზე, მოცემულია დაახლოებით I (x) = k- ით. sin (x), k არის მუდმივი და ვთქვათ, რომ X არის 0 ° –დან 90 ° –მდე.
როდესაც x = 30º, შუქის ინტენსივობა მცირდება მისი მაქსიმალური მნიშვნელობის რომელ პროცენტამდე?
ა) 33%
ბ) 50%
გ) 57%
დ) 70%
ე) 86%
პასუხი: ბ) 50%
ფუნქციაში 30 ° სინუსის მნიშვნელობის ჩანაცვლება, მივიღებთ:
კ-ის მნიშვნელობის შემცირება ნახევრად, ინტენსივობა 50% -ს შეადგენს.
ივარჯიშეთ მეტი სავარჯიშოებით:
ტრიგონომეტრიის სავარჯიშოები
გააფართოვეთ თქვენი ცოდნა შემდეგით:
ტრიგონომეტრია მართკუთხა სამკუთხედში
მეტრული ურთიერთობები მართკუთხედის სამკუთხედში
ტრიგონომეტრია