საშუალო სკოლის განტოლება: კომენტარებული სავარჯიშოები და შეკითხვების შეკითხვები

ერთი მეორე ხარისხის განტოლება სახით არის მთელი განტოლება ნაჯახი² + bx + c = 0, a, b და c რეალური რიცხვებით და ≠ 0-ით. ამ ტიპის განტოლების გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა მეთოდი.

გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული სავარჯიშოების კომენტარი რეზოლუციებით, რომ გაასუფთავოთ თქვენი ეჭვები. ასევე დარწმუნდით, რომ გადაამოწმეთ თქვენი ცოდნა გადაჭრილი საკონკურსო კითხვებით.

კომენტირებული სავარჯიშოები

სავარჯიშო 1

დედაჩემის ასაკი გამრავლებული ჩემს ასაკზე უდრის 525-ს. თუ მე დავიბადე დედა 20 წლის იყო, რამდენი წლის ვარ?

გამოსავალი

ჩემი ასაკის ტოლის გათვალისწინებით xამის შემდეგ შეგვიძლია განვიხილოთ, რომ დედაჩემის ასაკი ტოლია x + 20. როგორ ვიცით ჩვენი ასაკის პროდუქტის ღირებულება, შემდეგ:

x (x + 20) = 525

გამრავლების განაწილების თვისებების გამოყენება:

x² + 20 x - 525 = 0

შემდეგ მივაღწევთ მე -2 ხარისხის სრულ განტოლებას, a = 1, b = 20 და c = - 525.

განტოლების ფესვების, ანუ x მნიშვნელობის გამოსათვლელად, სადაც განტოლება ნულის ტოლია, გამოვიყენოთ ბასკარას ფორმულა.

პირველ რიგში, უნდა გამოვთვალოთ of -ის მნიშვნელობა:

ფესვების გამოსათვლელად, ჩვენ ვიყენებთ:

შეცვალეთ ზემოთ მოცემული ფორმულის მნიშვნელობები, ჩვენ ვიპოვით განტოლების ფესვებს, როგორიცაა:

რადგან ჩემი ასაკი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ჩვენ ვეზიზღებით -35 მნიშვნელობას. შედეგი არის 15 წელი.

სავარჯიშო 2

ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში წარმოდგენილი კვადრატი მართკუთხა ფორმისაა და მისი ფართობი უდრის 1 350 მ-ს². იმის ცოდნა, რომ მისი სიგანე შეესაბამება მისი სიმაღლის 3/2, განსაზღვრეთ კვადრატის ზომები.

გამოსავალი

იმის გათვალისწინებით, რომ მისი სიმაღლე ტოლია x, ამის შემდეგ სიგანე ტოლი იქნება 3 / 2x. მართკუთხედის ფართობი გამოითვლება მისი ფუძის გამრავლებით სიმაღლის მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს:

მივიღებთ არასრული მე -2 ხარისხის განტოლებას, = 3/2, b = 0 და c = - 1350, ამ ტიპის განტოლების გამოთვლა შეგვიძლია x გამოყოფით და კვადრატული ფესვის მნიშვნელობით.

რადგან x მნიშვნელობა წარმოადგენს სიმაღლის საზომს, ჩვენ უგულებელვყოფთ - 30-ს. ამრიგად, მართკუთხედის სიმაღლე უდრის 30 მ-ს. სიგანე რომ გამოვთვალოთ, მოდით გავამრავლოთ ეს მნიშვნელობა 3/2-ზე:

ამიტომ, კვადრატის სიგანე ტოლია 45 მ და მისი სიმაღლე ტოლია 30 მ.

სავარჯიშო 3

ასე რომ x = 1 არის 2ax განტოლების ფუძე² + (მე -2² - ა - 4) x - (2 + ა²) = 0, მნიშვნელობები უნდა იყოს:

ა) 3 და 2
ბ) - 1 და 1
გ) 2 და - 3
დ) 0 და 2
ე) - 3 და - 2

გამოსავალი

A- ს მნიშვნელობის მოსაძებნად, ჯერ x ჩავანაცვლოთ 1-ით. ამ გზით, განტოლება ასე გამოიყურება:

2. ა .1² + (მე -2² - დან - 4). 1 - 2 - ა² = 0
მე -2 + მე -2² - დან - 4 - 2 - მდე² = 0
² + დან - 6 = 0

ახლა უნდა გამოვთვალოთ მე -2 ხარისხის სრული განტოლების ფესვი, ამისათვის გამოვიყენებთ ბასკარას ფორმულას.

ამიტომ, სწორი ალტერნატივაა ასო C.

საკონკურსო კითხვები

1) ეპკარი - 2017 წ

განვიხილოთ in – ში განტოლება (მ+2) x² - 2მx + (მ - 1) = 0 x ცვლადში, სადაც მ არის ნამდვილი რიცხვი, გარდა - 2-ისა.

გადახედეთ ქვემოთ მოცემულ დებულებებს და შეაფასეთ, როგორც V (TRUE) ან F (FALSE).

() ყველა m> 2 განტოლებას აქვს ცარიელი ამოხსნის ნაკრები.
() განტოლების ტოლი ფესვების აღიარებისათვის არსებობს m– ის ორი რეალური მნიშვნელობა.
() განტოლებაში, თუ ∆> 0, მაშინ m- ს მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება შეუძლია.

სწორი თანმიმდევრობაა

ა) V - V - V
ბ) F - V - F
გ) F - F - V
დ) V - F - F

იხილეთ პასუხი

მოდით ვნახოთ თითოეული განცხადება:

ყველა m> 2 განტოლებას აქვს ცარიელი ამოხსნის ნაკრები

რადგან განტოლება არის in –ის მეორე ხარისხის, მას არ ექნება ამოხსნა, როდესაც დელტა ნულზე ნაკლებია. ამ მნიშვნელობის გაანგარიშებით, ჩვენ გვაქვს:

ასე რომ, პირველი განცხადება მართალია.

განტოლებას ტოლი ფესვების აღიარების ორი რეალური მნიშვნელობა აქვს m.

განტოლებას ექნება თანაბარი რეალური ფესვები, როდესაც Δ = 0, ანუ:

- 4 მ + 8 = 0
მ = 2

აქედან გამომდინარე, განცხადება მცდარია, რადგან მ – ს მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა აქვს, სადაც ფესვები რეალური და თანაბარია.

განტოლებაში, თუ ∆> 0, მაშინ m- ს შეუძლია მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების აღება.

Δ> 0, ჩვენ გვაქვს:

მას შემდეგ, რაც არსებობს უსასრულო ნამდვილი რიცხვების უარყოფითი რიცხვები 2-ზე ნაკლები, ასევე მცდარია განცხადება.

ალტერნატივა d: V-F-F

2) კოლტეკი - UFMG - 2017 წ

ლორას უნდა გადაჭრას მე -2 ხარისხის განტოლება "სახლში", მაგრამ ხვდება, რომ დაფადან ბლოკნოტში კოპირებისას დაავიწყდა x კოეფიციენტის კოპირება. განტოლების ამოსახსნელად მან ჩაიწერა შემდეგნაირად: 4x² + ცული + 9 = 0. რადგან მან იცოდა, რომ განტოლებას მხოლოდ ერთი ამოხსნა ჰქონდა და ეს ერთი იყო დადებითი, მან შეძლო დაედგინა ა-ს მნიშვნელობა, რომელიც არის

ა) - 13
ბ) - 12
გ) 12
დ) 13

იხილეთ პასუხი

როდესაც მე -2 ხარისხის განტოლებას აქვს ერთი ამოხსნა, დელტა, ბასკარას ფორმულისგან, ნულის ტოლია. ასე რომ, იპოვონ მნიშვნელობა , უბრალოდ გამოთვალეთ დელტა, მისი მნიშვნელობა ნულის ტოლი.

ასე რომ, თუ a = 12 ან a = - 12 განტოლებას ექნება მხოლოდ ერთი ფესვი. ამასთან, ჩვენ მაინც უნდა გადავამოწმოთ, თუ რომელი მნიშვნელობების შედეგი იქნება პოზიტიური ფესვი.

ამისათვის მოდით ვიპოვოთ ფესვი, მნიშვნელობებისთვის ე.

ასე რომ = -12 განტოლებას ექნება მხოლოდ ერთი ძირეული და პოზიტიური.

ალტერნატივა ბ: -12

3) Enem - 2016 წელი

გვირაბი უნდა დაიხუროს ბეტონის საფარით. გვირაბის გადაკვეთასა და ბეტონის საფარს აქვს პარაბოლას თაღის კონტურები და იგივე ზომები. სამუშაოს ღირებულების დასადგენად, ინჟინერმა უნდა გაანგარიშოს პარაბოლური რკალის ქვეშ მოცემული ფართობი. გამოიყენეთ ჰორიზონტალური ღერძი მიწის დონეზე და პარაბოლას სიმეტრიის ღერძი, როგორც ვერტიკალური ღერძი, მან მიიღო შემდეგი განტოლება პარაბოლასთვის:
y = 9 - x², სადაც x და y იზომება მეტრებში.
ცნობილია, რომ მსგავსი პარაბოლას ქვეშ მყოფი ფართობი ტოლია მართკუთხედის ფართობის 2/3, რომლის ზომები, შესაბამისად, გვირაბის შესასვლელის ფუძისა და სიმაღლის ტოლია.
რა არის ბეტონის საფარის წინა ფართობი, კვადრატულ მეტრში?

ა) 18
ბ) 20
გ) 36
დ) 45
ე) 54

იხილეთ პასუხი

ამ საკითხის მოსაგვარებლად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გვირაბის შესასვლელის ფუძის და სიმაღლის გაზომვები, პრობლემა გვეუბნება, რომ წინა ფართობი ტოლია ამ ზომების მართკუთხედის ფართობის 2/3.

ეს მნიშვნელობები მოცემულია მოცემული მე -2 ხარისხის განტოლებიდან. ამ განტოლების პარაბოლას უარყოფითად აქვს უარყოფილი, რადგან კოეფიციენტია უარყოფითია ქვემოთ მოცემულია ამ იგავის მონახაზი.

გრაფიკიდან ვხედავთ, რომ გვირაბის ფუძის საზომი იპოვნება განტოლების ფესვების გაანგარიშებით. უკვე მისი სიმაღლე ტოლი იქნება ვერტექსის ზომის.

ფესვების გამოსათვლელად, ჩვენ ვაკვირდებით, რომ განტოლება 9 - x² არასრულია, ამიტომ მისი ფესვების პოვნა შეგვიძლია განტოლების ნულის გათანაბრებით და x –ის იზოლირებით.

ამიტომ, გვირაბის ფუძის გაზომვა ტოლი იქნება 6 მ, ანუ მანძილი ორ ფესვს შორის (-3 და 3).

გრაფიკის დათვალიერებისას, ვხედავთ, რომ წვერის წერტილი შეესაბამება y ღერძზე არსებულ მნიშვნელობას, რომ x ტოლია ნულის, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:

ახლა რომ ვიცით გვირაბის ძირისა და სიმაღლის გაზომვები, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფართობი:

ალტერნატივა გ: 36

4) ცეფეტი - RJ - 2014 წ

"ა" -ს რომელი მნიშვნელობისთვის აქვს განტოლებას (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 აქვს ორი ფესვი და ტოლი?

1-მდე
ბ) 0
გ) 1
დ) 2

იხილეთ პასუხი

მე -2 ხარისხის განტოლებას რომ ორი ტოლი ფესვი ჰქონდეს, აუცილებელია Δ = 0, ანუ ბ²-4 აკ = 0. დელტას გამოანგარიშებამდე, განტოლება უნდა დავწეროთ ცულის სახით² + bx + c = 0.

ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ განაწილების თვისების გამოყენებით. ამასთან, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ (x - 2) მეორდება ორივე თვალსაზრისით, მოდით დავდოთ მტკიცებულებებში:

(x - 2) (2ax -3 - ცული + 1) = 0
(x - 2) (ცული -2) = 0

ახლა, პროდუქტის დისტრიბუციით, ჩვენ გვაქვს:

ნაჯახი² - 2x - 2ax + 4 = 0

გაანგარიშებით Δ და ტოლია ნულის, ვხვდებით:

ასე რომ, როდესაც a = 1, განტოლებას ექნება ორი ტოლი ფესვი.

ალტერნატივა გ: 1

მეტის გასაგებად იხილეთ აგრეთვე:

• მეორე ხარისხის განტოლება
• პირველი ხარისხის განტოლება
• კვადრატული ფუნქცია
• კვადრატული ფუნქცია - სავარჯიშოები
• ხაზოვანი ფუნქცია
• დაკავშირებული ფუნქციური სავარჯიშოები