解析幾何学は、平面または空間の座標系の幾何学的要素を研究します。 これらの幾何学的オブジェクトは、この方向システムの点と軸に対する位置と位置によって決定されます。
エジプト人やローマ人などの古代の人々以来、座標のアイデアはすでに歴史に登場しています。 しかし、この数学の分野が体系化されたのは、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーの作品があった17世紀のことでした。
デカルト直交系
直交デカルトシステムは、座標を特定するための参照ベースです。 それは、平面内で、互いに垂直な2つの軸で構成されています。
- このシステムのO（0,0）原点は、これらの軸の交点です。
- x軸は横軸です。
- y軸は縦座標です。
- 4つの象限は反時計回りの方向です。
順序対
平面上の任意の点の座標はP（x、y）です。
xは点Pの横座標であり、x軸上の正射影から原点までの距離を構成します。
yは点Pの縦座標であり、y軸上の正射影から原点までの距離です。
2点間の距離
デカルト平面上の2点間の距離は、これら2点を結ぶ線分の長さです。
2点間の距離の式 と
どれか。
中点座標
中点は、セグメントを2つの等しい部分に分割する点です。
であること セグメントの中点
、その座標は横軸と縦軸の算術平均です。
と
3点アライメント条件
ポイントを考えると： .
次の行列の行列式がゼロに等しい場合、これらの3つのポイントは整列されます。
例
線の角度係数
斜面 直線の接線はその勾配の接線です
x軸に関して。
2点から勾配を取得するには：
m> 0の場合、線は昇順です。それ以外の場合、m <0の場合、線は降順です。
直線の一般方程式
どこ NS、NS と NS は定数の実数であり、 NS と NS それらは同時にnullではありません。
例
点と傾きを知る一次方程式
ポイントを与えられた と斜面
.
一次方程式は次のようになります。
例
直線方程式の誘導型
どこ：
mは勾配です。
nは線形係数です。
番号 線がy軸と交差する場所で順序付けられます。
例
見て 一次方程式.
平面内の2本の平行線間の相対位置
傾きが等しい場合、2本の異なる線は平行です。
ストレートの場合 NS 傾斜があります 、およびストレート NS 傾斜があります
、これらは次の場合に並列になります。
このために、あなたの傾向は等しくなければなりません。
角度が等しい場合、接線は等しくなります。
平面内の2つの競合する直線間の相対位置
勾配が異なる場合、2つの線は同時に発生します。
次に、x軸に対する傾斜角が異なると、傾斜が異なります。
垂線
傾きの積が-1に等しい場合、2つの剰余は垂直です。
2つのストレート NS と NS、 はっきりとした、傾斜のある と
、は次の場合にのみ垂直です。
また
2本の線が垂直であるかどうかを知る別の方法は、一般的な形式の方程式からです。
線rとsの方程式は次のとおりです。
次の場合に垂直な2本の線：
見て 垂線.
周
円周は、すべての点P（x、y）が同じ距離にある平面上の軌跡です。 NS その中心C（a、b）から、ここで NS 半径であることの尺度です。
誘導型の円周方程式
どこ：
NS は半径であり、円弧上の任意の点と中心の間の距離です。 NS.
NS と NS 中心の座標です NS.
円の一般方程式
これは、円周の縮小方程式の二乗項を作成することによって得られます。
演習で円周方程式の一般的な形式を示すことは非常に一般的であり、通常の形式としても知られています。
円錐形
円錐曲線という言葉は円錐曲線に由来し、それを切断することによって得られる曲線を指します。 楕円、双曲線、放物線は円錐曲線と呼ばれる曲線です。
楕円
楕円は、真っ直ぐな円錐を軸に対して斜めの平面で切断することによって得られる閉じた曲線です。この平面は、頂点を通過せず、その母線に平行ではありません。
平面内で、2つの内部固定点までの距離の合計が一定であるすべての点のセット。
楕円要素：
- F1とF2は楕円の焦点です。
- 2cは楕円の焦点距離です。 これはF1とF2の間の距離です。
- ポイント O 楕円の中心です。 これはF1とF2の中間点です。
- A1とA2は楕円の頂点です。
- セグメント
主軸で2aに等しい。
- セグメント
短軸は2bに等しい。
- 偏心
ここで、0
縮小楕円方程式
楕円に含まれる点P（x、y）について考えてみます。ここで、xは横座標で、yはこの点の縦座標です。
座標系の原点にある楕円の中心とx軸上の主軸（AA）。
座標系の原点にある楕円の中心とy軸上の主軸（AA）。
座標軸に平行な軸を持つ楕円の縮小方程式
ポイントを考える デカルト座標系の起源として、そして、ポイント
楕円の中心として。
x軸に平行なAA主軸。
Y軸に平行なAA主軸。
誇張
双曲線は、2つの固定点F1とF2の差が一定の正の値になる平面上の点のセットです。
誇張の要素：
- F1とF2は双曲線の焦点です。
- 2c =
は焦点距離です。
- 誇張の中心がポイントです O、 F1F2セグメントの平均。
- A1とA2は頂点です。
- 2a = A1A2は実軸または横軸です。
- 2b = B1B2は、虚軸または共役軸です。
-
離心率です。
三角形B1OA2を介して
双曲線の縮小方程式
x軸を中心とし、原点を中心とする実軸。
実軸がy軸にあり、中心が原点にあります。
座標軸に平行な軸を持つ双曲線方程式
X軸と中心に平行なAA実軸 .
y軸と中心に平行な実軸AA .
たとえ話
放物線は、点の集合P（x、y）が不動点Fと直線dから同じ距離にある軌跡です。
たとえ話の要素：
- Fはたとえ話の焦点です。
- dは直線的なガイドラインです。
- 対称軸は、焦点Fを通り、ガイドラインに垂直な直線です。
- Vは放物線の頂点です。
- pは、焦点Fと頂点V eの間、頂点とディレクティブdの間の同じ長さのセグメントです。
放物線の縮小方程式
頂点が原点にあり、対称軸がy軸にあります。
p> 0の場合は上向きの凹面。
p <0の場合下向きの凹面。
原点に頂点があり、x軸に対称軸があります。
右側にp> 0の凹面がある場合。
左側にp <0の凹面がある場合。
対称軸がy軸と頂点に平行な場合 .
対称軸がx軸と頂点に平行な場合 .
で練習する 解析幾何学の演習.
詳細については、以下をご覧ください。
デカルト計画
2点間の距離
円錐形
角度係数の計算
