מוצר פנימי בין שני וקטורים

או מוצר נקודה בין שני וקטורים הוא מספר ממשי המתייחס לגודל הווקטורים הללו, כלומר לאורכם ולזווית ביניהם. כדי לחשב את זה, לכן יש לדעת את אורכם ואת הזווית שהם יוצרים.

באמצעות המישור כבסיס, וקטור מציין מיקום, עוצמה, כיוון וכיוון. לכן, הוא משמש בלימודי מכניקה (פיזיקה) כמייצג כוח המופעל על אובייקט.

הייצוג הרגיל של הווקטור הוא חץ שמסתיים בנקודה. הקואורדינטות של נקודה זו אמורות להיות הקואורדינטות של הווקטור החל מנקודה O (0,0). אנו כותבים v = (a, b) כדי לייצג אותו. לפיכך, הווקטור v = (1,2) מצויר באופן הבא:

דוגמה וקטורית החל מהמקור

כדי לחשב את אורכו של וקטור זה, שקול את המשולש הנכון שנוצר על ידו ואת הקרנתו על ציר ה- X (או ציר ה- Y), כפי שמוצג באיור הבא:

אורך הווקטור v

אורך הווקטור v נקרא נורמה וקטורית אוֹ מודול וקטורי v ומיוצג על ידי | v |. שים לב שהנורמה של הווקטור v = (a, b) היא בדיוק המדד של ההיפוטנוזה של המשולש המיוצג באיור לעיל. כדי לחשב מדד זה, אנו משתמשים במשפט פיתגורס:

| v |² = ה² + ב²

| v | = √ (א² + ב² )

מוצר נקודתי וקטורי

בהינתן שני וקטורים u ו- v, המוצר הפנימי ביניהם מיוצג על ידי ומוגדר כ:

= | u || v | · cosθ

זהו סוג של כפל בין שני וקטורים, אולם הוא אינו נקרא מוצר מכיוון שהוא אינו מכפל נפוץ, מכיוון שהוא כולל את הזווית שנוצרים על ידי שני הווקטורים הללו.

זווית בין שני וקטורים

התוצאה הראשונה הנובעת מההגדרה לעיל היא הזווית בין שני וקטורים. עם המספרים האמיתיים "מוצר נקודה", "נורמה וקטורית u" ו- "נורמה וקטורית v", ניתן לחשב את הזווית בין הווקטורים u ו- v. לשם כך, פשוט בצע את החישובים:

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

לכן, כאשר אנו מחלקים את המוצר הפנימי לנורמות של הווקטורים u ו- v, אנו מוצאים את המספר האמיתי המתייחס לקוסינוס בין שני הווקטורים הללו, ולכן, הזווית ביניהם.

שים לב שאם הזווית בין שני הווקטורים היא ישר, cosθ שווה לאפס. לכן, למוצר הנ"ל תהיה התוצאה הבאה:

= 0

מכאן, ניתן להסיק, בהינתן שני וקטורים u ו- v, הם יהיו אורתוגונליים אם = 0.

מוצר פנימי מחושב מקואורדינטות וקטוריות

בהתחשב בשני הווקטורים u = (a, b) ו- v = (c, d), מוצר הנקודה בין u ל- v ניתן על ידי:

= = a · c + b · d

מאפייני מוצר פנימיים

בהתחשב בווקטורים u, v ו- w והמספר האמיתי α, שימו לב:

אני) =

המשמעות היא שהתוצר הפנימי של הווקטורים הוא "קומוטטיבי".

ii) = +

מאפיין זה ניתן להשוואה להפצה של הכפל על פני תוספת.

iii) = = α

חישוב המוצר הפנימי בין u ל- v כפול המספר האמיתי α זהה לחישוב המוצר הפנימי בין αv ו- u או בין v ל- αu.

iv) = 0 <=> v = 0

התוצר הפנימי של v עם v הוא אפס רק אם v הוא הווקטור null.

v) ≥ 0 לכל v.

התוצר הפנימי של v עם v תמיד יהיה גדול מאפס או שווה לו.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה