ניתן לקבוע את משוואת הקו על ידי התווייתו במישור הקרטזיאני (x, y). בידיעת הקואורדינטות של שתי נקודות מובחנות השייכות לקו נוכל לקבוע את משוואתו.
ניתן גם להגדיר משוואה של הקו הישר על סמך נטייתו וקואורדינטות הנקודה השייכת לו.
משוואה כללית של הקו
שתי נקודות מגדירות קו. בדרך זו אנו יכולים למצוא את המשוואה הכללית של הקו על ידי יישור שתי נקודות עם נקודה כללית (x, y) על הקו.
תן לנקודות A (xהכןה) ו- B (xבכןב), לא מקרי ושייך לתוכנית הקרטזית.
שלוש נקודות מיושרות כאשר הקובע של המטריצה המשויכת לנקודות אלה שווה לאפס. אז עלינו לחשב את הקובע של המטריצה הבאה:
בפיתוח הקובע אנו מוצאים את המשוואה הבאה:
(yה -yב) x + (xב - איקסה) y + xהyב - איקסבyה = 0
בואו נתקשר:
a = (yה -yב)
b = (xב - איקסה)
c = xהyב - איקסבyה
המשוואה הכללית של הקו הישר מוגדרת כ:
ax + על + c = 0
איפה ה, ב ו ç הם קבועים ו ה ו ב הם לא יכולים להיות בטלים בו זמנית.
דוגמא
מצא משוואה כללית של הקו העובר בנקודות A (-1, 8) ו- B (-5, -1).
ראשית עלינו לכתוב את מצב היישור של שלוש הנקודות, ולהגדיר את המטריצה המשויכת לנקודות הנתונות ונקודה כללית P (x, y) השייכת לקו.
בפיתוח הקובע, אנו מוצאים:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
המשוואה הכללית של הקו העובר בנקודות A (-1,8) ו- B (-5, -1) היא:
9x - 4y + 41 = 0
למידע נוסף, קרא גם:
- מַטֶה
- קוֹצֵב
- משפט לפלס
משוואה מופחתת קו
מקדם זוויתי
אנו יכולים למצוא משוואה של הקו ר הכרת נטייתו (כיוון), כלומר ערך הזווית θ שהקו מציג ביחס לציר x.
לשם כך אנו מקשרים מספר M, הנקרא שיפוע הקו, כך ש:
m = tg θ
המדרון M ניתן למצוא אותו גם על ידי הכרת שתי נקודות השייכות לקו הישר.
כמו m = tg θ, ואז:
דוגמא
קבע את שיפוע הקו r העובר בנקודות A (1,4) ו- B (2,3).
להיות,
איקס1 = 1 ו- y1 = 4
איקס2 = 2 ו- y2 = 3
הכרת המקדם הזוויתי של הקו M ונקודה P0(איקס0כן0) השייכים אליו, אנו יכולים להגדיר את משוואתו.
לשם כך נחליף את הנקודה P הידועה בנוסחת השיפוע.0 ונקודה כללית P (x, y), השייכת גם היא לקו:
דוגמא
קבע משוואה של הקו שעובר בנקודה A (2,4) ושיפוע 3.
כדי למצוא את משוואת השורה, פשוט החלף את הערכים הנתונים:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
מקדם לינארי
המקדם הליניארי לא יָשָׁר ר מוגדרת כנקודה שבה הקו חוצה את ציר y, כלומר נקודת הקואורדינטות P (0, n).
באמצעות נקודה זו יש לנו:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (משוואת קו מופחתת).
דוגמא
בידיעה שהמשוואה של הקו r ניתנת על ידי y = x + 5, זהה את שיפועו, שיפועו והנקודה בה קו מצטלב בציר y.
כשיש לנו את המשוואה המופחתת של הקו, אז:
m = 1
איפה m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
נקודת החיתוך של הקו עם ציר y היא הנקודה P (0, n), כאשר n = 5, אז הנקודה תהיה P (0.5)
קרא גם חישוב שיפוע
משוואת קטע קו
אנו יכולים לחשב את השיפוע באמצעות הנקודה A (a, 0) שהקו חוצה את ציר ה- x ואת הנקודה B (0, b) החוצה את ציר ה- y:
בהתחשב ב- n = b ובהחלפה בצורה מופחתת, יש לנו:
מחלקים את כל החברים לפי ab, אנו מוצאים את המשוואה המגזרית של הקו:
דוגמא
כתוב, בצורה קטעית, את משוואת הקו שעובר בנקודה A (5.0) ויש לו שיפוע 2.
ראשית בואו ונמצא את הנקודה B (0, b), המחליפה בביטוי המדרון:
החלפת הערכים במשוואה, יש לנו את המשוואה הקטעית של הקו:
קרא גם על:
- תוכנית קרטזית
- מרחק בין שתי נקודות
- חֲרוּטִי
- יָשָׁר
- קווים מקבילים
- קווים מאונכים
- פלח קו
- פונקציה לינארית
- פונקציה Affine
- תרגילי פונקציה קשורים
תרגילים נפתרו
1) בהתחשב בקו בעל המשוואה 2x + 4y = 9, קבע את שיפועו.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
לכן m = - 1/2
2) כתוב את משוואת השורה 3x + 9y - 36 = 0 בצורה מופחתת.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
לקראת יריד מדע נבנים שיגורו שני קליעי רקטות, A ו- B. התוכנית היא שהם יושקו יחד, במטרה שקליע B יירט את A כשהוא מגיע לגובה המקסימלי שלו. כדי שזה יקרה, אחד הקליעים יתאר מסלול פרבולי, ואילו השני יתאר מסלול ישר כביכול. הגרף מראה את הגבהים אליהם מגיעים קליעים אלה כפונקציה של זמן, בסימולציות שבוצעו.
בהתבסס על סימולציות אלה, נצפה כי יש לשנות את מסלול הקליע B כך ש-
המטרה הושגה.
כדי להגיע למטרה, על המקדם הזוויתי של הקו המייצג את מסלול B חייב
א) ירידה של 2 יחידות.
ב) ירידה של 4 יחידות.
ג) הגדל ב -2 יחידות.
ד) להגדיל ב -4 יחידות.
ה) הגדל ב 8 יחידות.
ראשית עלינו למצוא את הערך ההתחלתי של שיפוע הקו B.
כשאנחנו זוכרים ש- m = tg Ɵ, יש לנו:
M1 = 12/6 = 2
כדי לעבור את נקודת הגובה המקסימלית של מסלול A, שיפוע קו B חייב להיות בעל הערך הבא:
M2 = 16/4 = 4
לפיכך, שיפוע קו B יצטרך לשנות מ -2 ל -4, ואז הוא יגדל ב -2 יחידות.
חלופה ג: הגדל 2 יחידות
ראה גם: תרגילים בנושא גיאומטריה אנליטית
