ה פונקציית הזרקה, המכונה גם פונקצית הזרקה, הוא מקרה מסוים של תפקוד. כדי שהפונקציה תיחשב כמזריקה, עלינו להיות המופע הבא: נתון שני אלמנטים, x1 ו- x2, השייכת לקבוצת הדומיינים, עם x1 שונה מ- x2, תמונות f (x1) ו- f (x2) תמיד מובחניםכלומר f (x1) ≠ f (x2). לפונקציה זו מאפיינים ספציפיים המאפשרים זיהוי הגרף שלה וגם ניתוח חוק ההיווצרות.
קרא גם: תחום, קונטרה-תחום ותמונה - מונחים בסיסיים להבנת תוכן הפונקציות
מהי פונקציית הזרקה?
כדי לבנות כמה דוגמאות לתפקוד מזרק, חשוב להבין את ההגדרה של סוג זה של פונקציה. תפקוד f: A → B מסווג כמזריק אם, ורק אם, לאלמנטים שונים מקבוצת A יש תמונות שונות בקבוצת Bכלומר:
דוגמה 1:
להלן דוגמה לתפקוד מזרק ב דתרשיםלאלא:
דוגמה 2:
להלן דוגמה לפונקציה שאינה מזריקה. שים לב שב- מַעֲרֶכֶת A, ישנם שני אלמנטים נפרדים שיש להם אותה תמונה בקבוצה B, הסותרת את ההגדרה של פונקציית המזרק.
כיצד מחשבים פונקציית מזרק?
כדי לוודא אם פונקציה מזריקה או לא, יש צורך לנתח את התנהגות חוק ההיווצרות וגם את התחום והתחום הנגדי בו מוגדרת הפונקציה.
דוגמא:
ניתנה לפונקציה f: R → R, עם חוק ההיווצרות f(x) = 2x, בדוק אם זה מזרק.
על פי חוק ההיווצרות אנו יכולים לראות כי נדרש א מספר ממשי של התחום והופך אותו לכפול שלו. שני מספרים אמיתיים מובחנים, כשהם מוכפלים בשניים, מניבים תוצאות מובחנות. ה כיבושf, כפי שאנו רואים, זוהי פונקציית מזרק, שכן לכל שני ערכים של x1 ו- x2,הערך של f(איקס1) ≠ f(איקס2).
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
דוגמה 2:
ניתנה לפונקציה f: R → R, עם חוק היווצרות f(x) = x², בדוק אם זה מזרק.
אנו יכולים לראות כי עבור תחום זה, פונקציה זו אינה מזריקה, שכן יש לנו שהתמונה של מספר כלשהו שווה לתמונה של ההפך שלה, למשל:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
ציין זאת f(2) = f (- 2), הסותר את ההגדרה של פונקציית מזרק.
דוגמה 3:
ניתנה לפונקציה f: ר+ → R, עם חוק היווצרות f(x) = x², בדוק אם זה מזרק.
שים לב שכעת התחום הוא המספרים הריאליים החיוביים ואפס. הפונקציה הופכת את המספר האמיתי לריבוע שלו; במקרה זה, כאשר התחום הוא קבוצת המספרים הריאליים החיוביים, פונקציה זו מזריקה, מכיוון שהריבוע של שני מספרים חיוביים מובחנים תמיד יניב תוצאות שונות. לכן, חשוב מאוד לזכור כי בנוסף לחוק היווצרות הפונקציות, עלינו לנתח את התחום והתחום הנגדי שלו.
קרא גם: מהי פונקציה הפוכה?
תרשים פונקציות הזרקה
כדי לזהות אם הגרף הוא פונקציית מזרק או לא, פשוט בדוק אם יש שני ערכי x מובחנים המייצרים את אותו כתב yכלומר לבדוק את תוקף ההגדרה של פונקציית מזרק.
בטווח בו אנו הולכים להסתכל על הגרף, הפונקציה צריכה להיות עולה באופן בלעדי או יורדת באופן בלעדי. גרפיקה כמו מָשָׁל או שפונקציית הסינוס אינה גרפים של פונקציות מזרק.
דוגמה 1:
הקו העולה הוא הגרף של פונקציית הזרקה. שים לב שהוא תמיד עולה וכי אין ערך y שיש לו שני מתכתבים מובחנים.
דוגמה 2:
הגרף של א פונקציה מעריכית זה גם הגרף של פונקציית מזרק.
דוגמה 3:
הגרף של א פונקציה ריבועית זה תמיד משל. כאשר הדומיין כולל את המספרים האמיתיים, ניתן לראות שיש ערכי x שונים שיש להם את אותו המקביל ב- y, כמו בנקודות F ו- G, מה שהופך את הגרף הזה לפונקציה שאינה מַזרֵק.
לסיכום, כדי לדעת אם הגרף הוא או לא של פונקציית מזרק, מספיק לבדוק אם ההגדרה של פונקציית מזרק תקפה או לא עבור אותה פונקציה.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - (האויב 2017 - PPL) בשנה הראשונה לתיכון בבית הספר נהוג שהתלמידים רוקדים ריקודים מרובעים במסיבת יוני. השנה יש 12 בנות ו -13 בנים בכיתה, ו 12 זוגות שונים הוקמו לחבורה המורכבים מילדה וילד. נניח שבנות הן האלמנטים המרכיבים את קבוצה A ובנים, קבוצה B, כך שהזוגות שנוצרו מייצגים פונקציה f מ- A ל- B.
בהתבסס על מידע זה, הסיווג של סוג הפונקציה הקיים בקשר זה הוא
A) f מזריק, מכיוון שלכל ילדה השייכת לסט A, נקשר ילד אחר השייך לסט B.
B) f הוא ספק, שכן כל זוג נוצר על ידי ילדה השייכת לסט A וילד השייך לסט B, ומשאיר ילד לא מזווג.
C) f מזריק, כמו כל שתי בנות השייכות לסט זוג זוג עם אותו ילד השייך לסט B, כדי לערב את כל התלמידים בכיתה.
D) f הוא bijective, מכיוון שכל שני בנים השייכים לסט B יוצרים זוג עם אותה ילדה השייכת לסט A.
ה) f הוא אמור להניח, שכן די בכך שילדה מסט A תרכיב זוג עם שני בנים מסט ב ', כך שאף ילד לא יהיה בלי זוג.
פתרון הבעיה
חלופה א '.
פונקציה זו מזריקה מכיוון שלכל אלמנט של קבוצה A ישנו כתב יחיד בקבוצה ב '. שימו לב כי אין אפשרות ששתי בנות ירקדו עם אותו זוג, ולכן הקשר הזה מזריק.
שאלה 2 - (IME - RJ) שקול את הקבוצות A = {(1,2), (1,3), (2,3)} ו- B = {1, 2, 3, 4, 5}, והניח לפונקציה f: A → B כך ש- f (x, y) = x + y.
אפשר לומר ש- f הוא פונקציה:
א) מזרק.
ב) ספק.
ג) bijector.
ד) סעיף
ה) מוזר.
פתרון הבעיה
חלופה א '.
ניתוח התחום, עלינו:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f (2,3) = 2 + 3 = 5
שים לב שלכל שני מונחים מובחנים בתחום הם קשורים למונחים מובחנים בתחום הנגדי, מה שהופך פונקציה זו למזרק.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
