תמורות הן חלק מבעיות ספירה. אנו משתמשים בתמורות כדי לדעת את מספר הסדרים של האלמנטים בקבוצה. תרגל את הידע שלך על תמורה ופתר את הספקות שלך עם התרגילים שנפתרו.
תרגיל 1
שני חברים שיחקו עם קוביות שש צדדיות. ידוע שיצאו המספרים 4, 1, 2 ו-5, לאו דווקא בסדר הזה. כמה רצפים של תוצאות יכלו להיות?
תשובה: 24
סדר מסוים של התוצאות יכול להיות:
1, 2, 4 ו-5 או
5, 4, 5 ו-1 או
4, 5, 1 ו-2
כדי לקבוע את המספר הכולל של סדרים אפשריים, אנו מחשבים תמורה עם ארבעה אלמנטים נפרדים.
תרגיל 2
קבוצה של שישה חברים הלכה לצפות בסרט בקולנוע וקנתה כרטיסים לאותה שורת מושבים. בהתחשב שיש זוג והם ישבו בכיסאות שכנים, בכמה דרכים החברים האלה יכולים להתאים בשורת הכיסאות?
תשובה: 240
מכיוון שכל המרכיבים של קבוצת ה"חברים" נחשבים בחישוב, זוהי בעיית תמורה.
כדי לחשב את המספר הכולל האפשרי של תמורות, שקלנו 5 אלמנטים, שכן בני הזוג חייבים תמיד להיות ביחד.
יתר על כן, מתוך 120 האפשרויות הללו, עלינו להכפיל בשתיים, מכיוון שבני הזוג יכולים להחליף מקומות זה עם זה.
לפיכך, מספר הדרכים האפשריות של חברים להתארגן בשורת הכיסאות הוא:
120. 2 = 240
תרגיל 3
כיתה של 7 תלמידים משחקת בחצר ומנצלת את זמן ההפסקה. למשמע האות המודיע על החזרה לכיתות, עוברים התלמידים ליצירת תור. בכמה דרכים שונות התלמידים יכולים ליצור את רצף התור?
תשובה: 5040
המספר הכולל של הדרכים האפשריות לארגן את התור הוא תמורה של 7 אלמנטים נפרדים.
תרגיל 4
צלם מכוון את המצלמה שלו לצילום 5 ילדים מסודרים על ספסל. בקבוצה זו יש 3 בנות ו-2 בנים. סידור אפשרי של הילדים לתמונה יהיה:
בהתחשב בתנוחות שבהן ילדים יכולים לשבת על הספסל, בכמה דרכים הצלם יכול לארגן את הבנים והבנות, להשיג תמונות שונות?
תשובה: 10
זהו מקרה של תמורה עם אלמנטים חוזרים. עלינו לחלק את סך התמורות במכפלה בין התמורות של היסודות שחוזרים על עצמם.
תרגיל 5
כמה אנגרמות אפשר לעשות עם האותיות במילה PREFEITURA?
תשובה: 907 200
למילה CITY HALL יש 10 אותיות, חלקן חוזרות על עצמן. האות E מופיעה פעמיים, וכך גם ה-R.
אנו מחשבים את החלוקה בין התמורות של 10 יסודות ומחלקים במכפלת התמורות של יסודות חוזרים.
תרגיל 6
(UEMG 2019) מקבוצת כל התמורות של האותיות במילה PONTA, אחת מוסרת באקראי. מהי ההסתברות להסיר מילה שמתחילה ונגמרת בתנועות?
א) 1/20
ב) 1/10
ג) 1/6
ד) 1/5
שלב 1: מספר כל התמורות עם האותיות של המילה PONTA.
מכיוון שישנן חמש אותיות שונות, יש לנו:
שלב 2: מספר תמורות שמתחילות ומסתיימות בתנועות.
לאות הראשונה יש שתי אפשרויות תנועות, לאות האחרונה תהיה רק 1.
לעיצורים יש 3! אפשרויות.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
שלב 3: לקבוע את יחס ההסתברות.
תרגיל 7
(EsPCex 2012) ההסתברות לקבל מספר המתחלק ב-2 כאשר בוחרים באקראי אחת מהתמורות של הספרות 1, 2, 3, 4, 5 היא
א) 1/5
ב) 2/5
ג) 3/4
ד) 1/4
ה) 1/2
שלב 1: סה"כ תמורות.
מכיוון שישנם חמישה אלמנטים נפרדים, יש לנו שמספר התמורות של 5 אלמנטים שווה ל-5 פקטוריאליים.
שלב 2: תמורות של מספרים המתחלקים בשתיים עם חמש הספרות.
כדי להיות מתחלק ב-2 התנאי הוא שהוא זוגי. לפיכך, ישנן שתי אפשרויות לספרה האחרונה, 2 ו-4.
לשאר התפקידים יש 4! אפשרויות.
שלב 3: חישוב הסתברות.
תרגיל 8
(EsFCEx 2022) תן P להיות קבוצת התמורות של הרצף 1, 3, 6, 9, 12 שעבורם האיבר הראשון שונה מ-1. אם אחד מהרצפים הללו מצויר באופן אקראי, ההסתברות שהאיבר השני הוא 3 שווה ל-p/q, כאשר p, q ∈ IN* ו-gcd (p, q) = 1. לכן, q – p שווה ל
א) 13.
ב) 15.
ג) 12.
ד) 14.
ה) 11.
שלב 1: קבע את מספר המקרים הכוללים האפשריים במרחב המדגם.
מימין לשמאל, המספר הראשון לא יכול להיות אחד, אז יש 4 אפשרויות לתפוס את המיקום הראשון.
יש 4 לתפוס את המשרות האחרות! אפשרויות.
התמורות הן:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
שלב 2: לקבוע את האפשרויות להתרחשות האירוע, השני הוא שלוש, הראשון שונה מאחד.
התמורות הן:
3.1.3.2.1 = 18
שלב 3: יחס הסתברות.
יחס ההסתברות הוא:
עם p = 18 ו-q = 96.
עם זאת, עדיין קיים התנאי שהמחלק המשותף הגדול ביותר בין p ל-q הוא 1, מה שלא קורה עם 18 ו-96.
עלינו לפשט ולבדוק שברים שווים ל-18/96.
שלב 4: פישוט של שבר ההסתברות וקביעת p ו-q.
כ-gcd (3, 16) = 1, p = 3 ו-q = 16.
שלב 5: סיכום.
q - p = 16 - 3 = 13
למידע נוסף על תְמוּרָה.
לתרגילים נוספים, ראה:
תרגילי ניתוח קומבינטורי
ASTH, רפאל. תרגילי פרמוטציה נפתרו והוסברו.הכל עניין, [נ.ד.]. אפשר להשיג ב: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. גישה ב:
ראה גם
- ניתוח קומבינטורי
- תרגילי ניתוח קומבינטורי
- תמורה: פשוטה ועם חזרה
- סידור במתמטיקה: מה זה, איך לחשב, דוגמאות
- 27 תרגילי מתמטיקה בסיסיים
- שילוב במתמטיקה: איך לחשב ודוגמאות
- תרגילי הסתברות
- הִסתַבְּרוּת
