רצף מספרי: סיווגים, דוגמאות

א רצף מספרי הוא קבוצה של מספרים המאורגנים בצורה מסודרת. ניתן להרכיב את הרצף המספרי באמצעות קריטריונים שונים - לדוגמה, רצף המספרים הזוגיים או רצף הכפולות של 3. כאשר אנו יכולים לתאר קריטריון זה באמצעות נוסחה, אנו קוראים לנוסחה זו חוק היווצרות הרצף המספרי.

קרא גם: הבדלים בין מספר, ספרה וספרה

סיכום על רצף מספרי

• רצף מספרים הוא רשימה של מספרים מסודרים לפי הסדר.

• הרצף המספרי יכול לעקוב אחר קריטריונים שונים.

• חוק ההתרחשות של הרצף המספרי הוא רשימת האלמנטים הקיימים ברצף.

• ניתן לסווג את הרצף בשתי דרכים. האחד לוקח בחשבון את מספר האלמנטים, והשני לוקח בחשבון התנהגות.

• לגבי מספר האלמנטים, הרצף יכול להיות סופי או אינסופי.

• באשר להתנהגות, הרצף יכול להיות עולה, קבוע, פוחת או מתנודד.

• כאשר ניתן לתאר את הרצף המספרי באמצעות משוואה, משוואה זו ידועה כחוק היווצרות הרצף המספרי.

מה הם רצפים?

הרצפים הם קבוצות של אלמנטים מסודרים בסדר מסוים. בחיי היומיום שלנו, אנו יכולים לתפוס מספר מצבים הכוללים רצפים:

• רצף חודשים: ינואר, פברואר, מרץ, אפריל,..., דצמבר.

• רצף השנים של 5 המונדיאלים הראשונים של המאה ה-21: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.

ישנם עוד מספר רצפים אפשריים, כגון רצף שמות או רצף גילאים. בכל פעם שיש סדר קבוע, יש רצף.

כל אלמנט של רצף ידוע כמונח של הרצף, אז ברצף יש את האיבר הראשון, האיבר השני וכן הלאה. בדרך כלל, רצף יכול להיות מיוצג על ידי:

\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)

• \(ל-1\) → המונח הראשון.

• \(a_2\) → המונח השני.

• \(a_3\) → המונח השלישי.

• \(a_n\) → כל מונח.

חוק התרחשות הרצף המספרי

יכולים להיות לנו רצפים של אלמנטים שונים, כגון חודשים, שמות, ימות השבוע, בין היתר. ארצף הוא רצף מספרי כאשר הוא כולל מספרים. נוכל ליצור רצף של מספרים זוגיים, מספרים אי-זוגיים, מספרים ראשוניים, כפולות של 5 וכו'.

הרצף מיוצג באמצעות חוק התרחשות. חוק ההתרחשות אינו אלא רשימת האלמנטים של הרצף המספרי.

דוגמאות:

• (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → רצף של מספרים אי-זוגיים מ-1 עד 15.

• (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → רצף מספרים שהם כפולות של 5.

• (-1, 1, -1, 1, -1, 1) → רצף מתחלף בין 1 ל-1.

מהו הסיווג של הרצף המספרי?

אנו יכולים לסווג רצפים בשתי דרכים שונות. אחד מהם לוקח בחשבון את מספר האלמנטים, והשני לוקח בחשבון את ההתנהגות של אלמנטים אלה.

← סיווג הרצף המספרי לפי מספר האלמנטים

כאשר אנו מסווגים את הרצף לפי מספר האלמנטים, יש שני סיווגים אפשריים: הרצף הסופי והרצף האינסופי.

◦ רצף מספרים סופי

רצף הוא סופי אם יש לו מספר מוגבל של אלמנטים.

דוגמאות:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

• (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

• (-4, -6, -8, -10, -12)

◦ רצף מספרים אינסופי

רצף הוא אינסופי אם יש לו מספר בלתי מוגבל של אלמנטים.

דוגמאות:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)

• (3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)

• ( -1, 2, -4, 8, -16, ...)

← סיווג הרצף המספרי לפי התנהגות הרצף

הדרך השנייה לסווג היא לפי התנהגות רצף. במקרה זה, הרצף יכול להיות עולה, קבוע, מתנודד או פוחת.

◦ רצף מספרים הולך וגדל

הרצף גדל אם מונח תמיד גדול מקודמו.

דוגמאות:

• (1, 5, 9, 13, 17, ...)

• (10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)

◦ רצף מספרים קבוע

הרצף קבוע כאשר לכל האיברים יש אותו ערך.

דוגמאות:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

• (-1, -1, -1, -1, -1, ...)

◦ רצף מספרים יורד

הרצף הולך ופוחת אם המונחים ברצף תמיד קטנים מקודמיהם.

דוגמאות:

• (-1, -2, -3, -4, -5, ...)

• (19, 16, 13, 10, 8, ...)

◦ רצף מספרים מתנודד

הרצף מתנודד אם יש מונחים גדולים מקודמיהם ומונחים קטנים מקודמיהם לסירוגין.

דוגמאות:

• (1, -3, 9, -27, 81, ...)

• (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)

חוק היווצרות הרצף המספרי

במקרים מסוימים, ניתן לתאר את הרצף באמצעות נוסחהאולם זה לא תמיד אפשרי. לדוגמה, רצף המספרים הראשוניים הוא רצף מוגדר היטב, אולם איננו יכולים לתאר אותו באמצעות נוסחה. בידיעת הנוסחה, הצלחנו לבנות את חוק ההתרחשות של הרצף המספרי.

• דוגמה 1:

רצף של מספרים זוגיים הגדולים מאפס.

\(a_n=2n\)

שימו לב כי בעת החלפה נ לאחד מספר טבעי (1, 2, 3, 4, ...), נמצא מספר זוגי:

\(a_1=2⋅1=2\)

\(a_2=2⋅2=4\)

\(a_3=2⋅3=6\)

\(a_4=2⋅4=8\)

אז יש לנו נוסחה שמייצרת את מונחי הרצף שנוצרו על ידי מספרים זוגיים גדולים מאפס:

(2, 4, 6, 8, ...)

• דוגמה 2:

רצף של מספרים טבעיים הגדול מ-4.

\(a_n=4+n\)

בחישוב מונחי הרצף, יש לנו:

\(a_1=4+1=5\)

\(a_2=4+2=6\)

\(a_3=4+3=7\)

\(a_4=4+4=8\)

כתיבת חוק ההתרחשות:

(5, 6, 7, 8,…)

ראה גם: התקדמות אריתמטית - מקרה מיוחד של רצף מספרי

פתרו תרגילים על רצף מספרי

שאלה 1

לרצף מספרי יש חוק היווצרות השווה ל \(a_n=n^2+1\). בניתוח רצף זה, אנו יכולים לקבוע שהערך של האיבר החמישי של הרצף יהיה:

א) 6

ב) 10

ג) 11

ד) 25

ה) 26

פתרון הבעיה:

חלופה E

בחישוב הערך של האיבר החמישי של הרצף, יש לנו:

\(a_5=5^2+1\)

\(a_5=25+1\)

\(a_5=26\)

שאלה 2

נתח את הרצפים המספריים הבאים:

אני. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

אנו יכולים לקבוע שרצפים I, II ו-III מסווגים בהתאמה כ:

א) עולה, מתנודד ויורד.

ב) ירידה, גידול ומתנודד.

ג) מתנודד, קבוע ומתגבר.

ד) יורד, מתנודד וקבוע.

ה) מתנודד, פוחת ועולה.

פתרון הבעיה:

חלופה C

בניתוח הרצפים, אנו יכולים לקבוע כי:

אני. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)

הוא מתנודד, שכן ישנם מונחים גדולים מקודמיהם ומונחים קטנים מקודמיהם.

II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)

הוא קבוע, מכיוון שמונחי הרצף תמיד זהים.

III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

זה הולך וגדל, מכיוון שהתנאים תמיד גדולים יותר מקודמיהם.