במחקר המספרים המורכבים אנו נתקלים בשוויון הבא: i2 = – 1.
ההצדקה לשוויון זה קשורה בדרך כלל לפתרון משוואות מדרגה 2 עם שורשים ריבועיים שליליים, וזו טעות. מקור הביטוי i2 = - 1 מופיע בהגדרת מספרים מורכבים, נושא נוסף שמעורר גם ספק רב. בואו נבין את הסיבה לשוויון כזה ואיך הוא נוצר.
ראשית, בואו נעשה כמה הגדרות.
1. זוג מסודר של מספרים אמיתיים (x, y) נקרא מספר מורכב.
2. מספרים מורכבים (x1y1) ו- (x2y2) שווים אם ורק אם x1 = x2 ו- y1 = y2.
3. הוספה וכפל של מספרים מורכבים מוגדרים על ידי:
(איקס1y1) + (x2y2) = (x1 + x2y1 + y2)
(איקס1y1)*(איקס2y2) = (x1*איקס2 - y1* y2, איקס1* y2 + y1*איקס2)
דוגמה 1. שקול את z1 = (3, 4) ו- z2 = (2, 5), חישב את z1 + z2 וז1* z2.
פִּתָרוֹן:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
באמצעות ההגדרה השלישית קל להראות כי:
(איקס1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(איקס1, 0) * (x2, 0) = (x1*איקס2, 0)
שוויון זה מראה כי ביחס לפעולות חיבור וכפל, מספרים מורכבים (x, y) מתנהגים כמו מספרים ממשיים. בהקשר זה אנו יכולים ליצור את הקשר הבא: (x, 0) = x.
באמצעות קשר זה ובסמל i כדי לייצג את המספר המורכב (0, 1), אנו יכולים לכתוב כל מספר מורכב (x, y) באופן הבא:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy → שהיא קריאת הצורה הרגילה של מספר מורכב.
לפיכך, המספר המורכב (3, 4) בצורה נורמלית הופך ל -3 + 4i.
דוגמה 2. כתוב את המספרים המורכבים הבאים בצורה רגילה.
א) (5, - 3) = 5 - 3i
ב) (- 7, 11) = - 7 + 11i
ג) (2, 0) = 2 + 0i = 2
ד) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
עכשיו שימו לב שאנחנו קוראים ל- המספר המורכב (0, 1). בואו נראה מה קורה בעת ביצוע i2.
אנו יודעים כי i = (0, 1) וש- i2 = i * i. בצע את זה:
אני2 = i * i = (0, 1) * (0, 1)
באמצעות הגדרה 3, יהיה לנו:
אני2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
כפי שראינו קודם, כל מספר מורכב של הטופס (x, 0) = x. לכן,
אני2 = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
הגענו לשוויון המפורסם i2 = – 1.
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
מאת מרסלו ריגונאטו
מומחה לסטטיסטיקה ולמודלים מתמטיים
צוות בית הספר בברזיל
מספרים מסובכים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל
