משולש הוא מצולע בעל שלוש זוויות, צלעות וקודקודים, השייכים לאותו מישור. מצולע זה, קמור תמיד, הוא הצומת של שלושת קטעי הקו הלא-קולינאריים היוצרים, בזוגות, את שלוש הזוויות ותוחמים את האזור הפנימי שלו.
נתון זה נמצא בשימוש נרחב ביישומים שונים. בהנדסה, מכיוון שהוא אלמנט קשיח, שאינו מתעוות, הוא מעניק יציבות למבנים.
בין הכל, זהו המצולע היחיד שאין לו אלכסון, בנוסף להצגת עצמו במספר פורמטים. הם מסווגים לפי המאפיינים של אורך הצלעות ומידות הזוויות שלהם.
סוגי משולשים
ניתן לסווג משולשים לפי צלעות וזוויות, עם שלושה סוגים עיקריים לכל אחד.
Obtuangle, מלבן וזווית חדה
ביחס לזוויות, המשולשים מסווגים עם כפרמטר הזווית של 90º.
זווית קהה
למשולש קהה יש זווית קהה, כלומר גדולה מ-90°. זה הופך את השניים האחרים לקטנים מ-90º.
מַלבֵּן
משולש ישר זווית הוא משולש שכפי ששמו מרמז, יש לו זווית ישרה של 90 מעלות.
חַד
משולש חד הוא אחד עם שלוש זוויות פחות מ-90°.
בנוסף לסוגי המשולשים ביחס לזוויות, אורך הצלעות גם מסווג אותם לשלוש קטגוריות.
שווה שוקיים, שווה שוקיים וקנה מידה
לגבי הצלעות, הקריטריונים לסיווג משולשים הם אורכם, בהיותם: שלושתם שווים, רק שניים שווים, או אף אחד לא שווה.
שְׁוֵה צְלָעוֹת
למשולש שווה הצלעות יש שלוש צלעות מאותה מידה, מה שמוביל לכך ששלוש הזוויות הפנימיות שוות אף הן, עם 60º.
שְׁוֵה שׁוֹקַיִם
למשולש שווה שוקיים יש שתי צלעות באורך זהה ובשל כך גם שתי הזוויות המתייחסות לבסיס שוות.
סולם
למשולש בקנה מידה יש שלוש צלעות במידות שונות, וכתוצאה מכך שלוש זוויות במידות שונות.
ללמוד עוד על סיווג משולשים.
אזור המשולש
ניתן לחשב את מדידת השטח, האזור הפנימי, התחום בשלושת צלעותיו של משולש, בכמה דרכים. כל אחד מציע את יתרונות החישוב שלו, בהתאם למידע הזמין.
מצב בשימוש נרחב הוא זה שתלוי במדידת הבסיס והגובה.
איפה,
ה הוא האזור,
ב היא מידת הבסיס,
ח היא מדידת הגובה.
הנוסחה של אנפה לשטח של משולש
אפשר גם לחשב שטח של משולש עם הנוסחה של הרון, המשתמשת במידות של שלוש הצלעות ואינה תלויה בגובה.
איפה,
פ הוא חצי ההיקף, כלומר חצי ההיקף, מחושב כך:
איפה ה, ב ו ç הם המידות של הצדדים.
ראה עוד על אזור המשולש.
היקף המשולש
ההיקף הוא סכום המידות של הצלעות של כל מצולע. מכיוון שלמשולש יש שלוש צלעות:
כאשר a, b ו-c הם אורכי הצלעות.
ללמוד עוד על היקף המשולש.
תנאי קיומו של משולש
כדי שמשולש יתקיים, צלעותיו חייבות להיפגש בקודקודים. עם זאת, לא כל שלישיית קטעים עומדת בתנאי זה.
כדי שייווצר משולש, המידה של כל צלע חייבת להיות קטנה מסכום השתיים האחרות.
בהתחשב בכל משולש, עם הצלעות a, b ו-c, כדי שהמשולש הזה ייבנה, יש לעמוד בו:
גובה, חוצה, חציון וחוצה
ארבעת האלמנטים הגיאומטריים הללו חשובים ביותר בחקר המשולשים. הם נותנים מאפיינים ותכונות למשולשים. מכיוון שכולם מתייחסים לצלעות ולזוויות, בכל משולש יהיו שלושה מהאלמנטים הבאים:
גוֹבַה
הגובה הוא קטע קו המחבר קודקוד לצד הנגדי, ויוצר זווית של 90 מעלות עם הצלע שהוא חוצה, או עם הרחבה שלו.
גובה משולש יכול להיות בפנים או בחוץ. מכיוון שיש שלוש צלעות, יהיו שלושה גבהים, אחד ביחס לכל צד.
Mediatrix
חוצה הוא קו החותך את נקודת האמצע של צלע אחת של המשולש, ויוצר זווית של 90 מעלות.
החצייה ביחס לצלע AB, חותך אותה בנקודת האמצע שלה, כלומר באמצע, ויוצר זווית של 90º עם הצלע הזו.
לראות יותר מ חוֹצֶה.
חֲצִיוֹן
החציון הוא קטע המחבר קודקוד לנקודת האמצע של הצלע הנגדית.
למרות שהחציון מחלק גם את הצלע המנוגדת לזווית לשני חלקים שווים, בניגוד לחצי החציון, הוא אינו יוצר זווית של 90° לצד.
חוֹצֶה
חוצה היא קרן המחלקת זווית לשניים.
מכיוון שהחציו מחלק זווית לשניים שווים, יש לנו את זה .
נקודות בולטות של משולש
במשולש ישנן ארבע נקודות בולטות, שנוצרות על ידי הצמתים בין שלושת הגבהים, חצויים, חצויים ואמצעים. נקודות אלו יכולות להיות פנימיות או חיצוניות למשולשים ולהעניק לה מאפיינים ותכונות.
אורתוסנטר
האורתוסנטר הוא נקודת החיתוך בין השלושה גבהים.
האורתוסנטר יכול להיות פנימי, חיצוני או שייך למשולש. פנימי אם המשולש חריף, חיצוני אם הוא קהה ושייך למשולש אם הוא משולש ישר זווית.
מרכז היקפי
זוהי נקודת המפגש של השלושה חצויים.
המרכז ההיקפי הוא מרכז המעגל המוקף למשולש.
במרכז
זוהי נקודת המפגש של חצויים.
המרכז הוא מרכז המעגל החתום במשולש.
Barycenter
זוהי נקודת ההצטלבות בין ה חציונים.
המרכז הוא מרכז המסה או, של כוח הכבידה, של המשולש.
זוויות פנימיות וחיצוניות של המשולש
במשולש, סכום שלושת הזוויות הפנימיות שווה ל-180°.
איפה,הן הזוויות הפנימיות של המשולש.
זווית חיצונית
נוצרת זווית חיצונית בין הרחבה של צד אחד לצד הסמוך. כל זווית חיצונית משלימה את הפנים, כלומר, הן מסתכמות ב-180 מעלות.
בתמונה, היא זווית חיצונית, משלימה לזווית הפנימית, כלומר,
.
משפט הזווית החיצונית
משפט הזווית החיצונית אומר שמידת זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות האחרות.
לגבי הזווית המודגשת באיור, יש לנו:
משולש חרוט ומוקף
משולש רשום מעגל הוא פנימי לו וקודקודיו נמצאים על קו המעגל.
גם נקודות הקודקודים A, B ו-C שייכות למעגל.
ב משולש שווה צלעות כתובה במעגל, מידת הצלע מתייחסת לרדיוס המעגל, כמו:
כאשר L הוא אורך הצלע ו-R הוא הרדיוס.
משולש מְתוּחָם למעגל הוא חיצוני לו, והמעגל משיק לצלעות המשולש.
אחד משולש שווה צלעות תחום למעגל קשור לרדיוס שלו, על ידי:
כאשר L הוא אורך הצלע ו-R הוא הרדיוס.
ראה גם:
- משולש ישר זווית
- משולש שווה צלעות
- משולש שונה צלעות
- משולש שווה שוקיים
- דמיון של משולשים
- דמיון משולשים - תרגילים
- משפט פיתגורס
- סיווג משולשים
- משולש שווה שוקיים
- Mediatrix
- חוֹצֶה
- תרגילים על מצולעים
- אזור המשולש
- גיאומטריית מישור
- מרובעים
