היחס של אוילר הוא שוויון המתייחס למספר הקודקודים, הקצוות והפנים בפוליהדרות קמורות. זה אומר שמספר הפרצופים פלוס מספר הקודקודים שווה למספר הקצוות ועוד שניים.
יחס אוילר ניתן על ידי:
איפה,
ו הוא מספר הפרצופים,
V מספר הקודקודים,
ה מספר הקצוות.
אנו יכולים להשתמש ביחס של אוילר כדי לקבוע או לאשר ערכים לא ידועים של V, F או A, בכל פעם שהפוליהדרון קמור.
| פֵּאוֹן | ו | V | ה | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| קוּבִּיָה | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| פירמידה משולשת | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| מנסרת בסיס מחומש | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| אוקטהדרון רגיל | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
דוגמא
לפוליהדרון קמור יש 20 פנים ו-12 קודקודים. קבע את מספר הקצוות.
שימוש ביחס אוילר ובידוד A:
החלפת הערכים של F ו-V:
פנים, קודקודים וקצוות
פוליהדרות הן צורות גיאומטריות מוצקות ותלת מימדיות ללא צלעות מעוגלות. הצדדים הללו הם הפנים (F) של הפולידרון.
את מפגש הפרצופים, אנו קוראים קצוות (A).
קודקודים הם הנקודות שבהן שלושה קצוות או יותר נפגשים.
פוליהדרה קמורה
פוליהדרות קמורות הן מוצקים גיאומטריים שאינם מציגים קיעור, לכן, על אף אחת מהפנים שלהם אין זוויות פנימיות גדולות מ-180º.
בפולידרון זה, לזווית הפנימית המסומנת בכחול יש יותר מ-180º, כך שאין מדובר בפוליהדרון קמור.
ראה עוד על polyhedra.
תרגילים על הקשר של אוילר
תרגיל 1
מצא את מספר הפרצופים בפולידרון עם 9 קצוות ו-6 קודקודים.
תשובה נכונה: 5 פרצופים.
שימוש ביחס של אוילר:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
תרגיל 2
דודקהדרון הוא מוצק אפלטוני בעל 12 פנים. בידיעה שיש לו 20 קודקודים, קבע את מספר הקצוות שלו.
תשובה נכונה:
שימוש ביחס של אוילר:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = א
32 - 2 = א
30 = א
תרגיל 3
מה שמו של הפולידרון בעל 4 קודקודים ו-6 קצוות ביחס למספר פניו, כאשר הפרצופים הם משולשים?
תשובה: טטרהדרון.
אנחנו צריכים לקבוע את מספר הפנים שלו.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
פולידרון שיש לו 4 פנים בצורת משולשים נקרא טטרהדרון.
מי היה לאונרד פול אוילר?
לאונרד פול אוילר (1707-1783) היה אחד מהמתמטיקאים והפיזיקאים הבקיאים בהיסטוריה, וכן תרם ללימודי אסטרונומיה. שוויצרי דובר גרמנית, הוא היה פרופסור לפיזיקה באקדמיה למדעים בסנט פטרבורג ולאחר מכן באקדמיה של ברלין. הוא פרסם מספר מחקרים על מתמטיקה.
למד גם:
- מוצקים גיאומטריים
- גיאומטריה מרחבית
- צורות גיאומטריות
- פריזמה - דמות גיאומטרית
- פִּירָמִידָה
- מַרצֶפֶת
- קוּבִּיָה
