גיאומטריה אנליטית: מושגים ונוסחאות עיקריות

גיאומטריה אנליטית חוקרת אלמנטים גיאומטריים במערכת קואורדינטות במישור או במרחב. עצמים גיאומטריים אלו נקבעים על פי מיקומם ומיקומם ביחס לנקודות ולצירים של מערכת התמצאות זו.

מאז עמים עתיקים, כמו המצרים והרומאים, רעיון הקואורדינטות כבר הופיע בהיסטוריה. אבל זה היה במאה ה-17, עם יצירותיהם של רנה דקארט ופייר דה פרמה, שתחום זה של מתמטיקה עבר שיטתיות.

מערכת אורתוגונלית קרטזיאנית

המערכת הקרטזית האורתוגונלית היא בסיס ייחוס לאיתור קואורדינטות. הוא מורכב, במישור, משני צירים מאונכים זה לזה.

• מקור ה-O(0,0) של מערכת זו הוא המפגש של הצירים הללו.
• ציר ה-x הוא האבססיס.
• ציר ה-y הוא הסמין.
• ארבעת הרביעים מכוונים נגד כיוון השעון.

זוג מוזמן

לכל נקודה במישור יש את הקואורדינטה P(x, y).

x הוא האבססיס של נקודה P ומהווה את המרחק מההשלכה האורתוגונלית שלה על ציר ה-x למקור.
y היא הסמין של נקודה P והיא המרחק מההשלכה האורתוגונלית שלה על ציר y למקור.

מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות במישור הקרטזיאני הוא אורך הקטע המחבר את שתי הנקודות הללו.

נוסחת מרחק בין שתי נקודות ו כל.

קואורדינטות נקודת אמצע

נקודת אמצע היא הנקודה המחלקת קטע לשני חלקים שווים.

להיות נקודת האמצע של קטע , הקואורדינטות שלו הן האמצעים האריתמטיים של האבשיסה והאורדינטה.

ו

מצב יישור שלוש נקודות

בהתחשב בנקודות: .

שלוש הנקודות הללו יהיו מיושרות אם הקובע של המטריצה ​​הבאה שווה לאפס.

דוגמא

מקדם זוויתי של קו

המדרון של ישר הוא הטנגנס של השיפוע שלו ביחס לציר x.

כדי לקבל את השיפוע משתי נקודות:

אם m > 0, הקו עולה, אחרת, אם m < 0, הקו יורד.

משוואה כללית של הקו

איפה ה,ב ו ç הם מספרים ממשיים קבועים ו, ה ו ב הם אינם בטלים בו זמנית.

דוגמא

משוואת קו לדעת נקודה ואת השיפוע

נתנו נקודה ואת המדרון .

משוואת הקו תהיה:

דוגמא

צורה מופחתת של משוואת הישר

איפה:
m הוא השיפוע;
n הוא המקדם הליניארי.

לא מסודר במקום שבו הישר חוצה את ציר ה-y.

דוגמא

תראה משוואת קו.

מיקום יחסי בין שני קווים מקבילים במישור

שני קווים נפרדים מקבילים כאשר המדרונות שלהם שווים.

אם סטרייט ר יש שיפוע , וסטרייט ס יש שיפוע , אלה מקבילים כאשר:

לשם כך, הנטיות שלך חייבות להיות שוות.

הטנגנטים שווים כאשר הזוויות שוות.

מיקום יחסי בין שני קווים ישרים מתחרים במישור

שני קווים הם במקביל כאשר המדרונות שלהם שונים.

בתורו, המדרונות שונים כאשר זוויות הנטייה שלהם ביחס לציר x שונות.

קווים מאונכים

שתי שאריות מאונכות כאשר מכפלת המדרונות שלהן שווה ל-1.

שני סטרייטים ר ו ס, מובהק, עם מדרונות ו , מאונכים אם ורק אם:

אוֹ

דרך נוספת לדעת אם שני קווים מאונכים היא מהמשוואות שלהם בצורה כללית.

המשוואות של הישרים r ו-s הן:

שני קווים מאונכים אליו כאשר:

תראה קווים ניצבים.

הֶקֵף

היקף הוא המקום במישור שבו כל הנקודות P(x, y) נמצאות באותו מרחק ר ממרכזו ג(א, ב), היכן ר הוא המדד להיות רדיוס.

משוואת היקפים בצורה מופחתת

איפה:
ר הוא הרדיוס, המרחק בין כל נקודה בקשת שלך למרכז. Ç.
ה ו ב הן הקואורדינטות של המרכז Ç.

משוואה כללית של המעגל

הוא מתקבל על ידי פיתוח האיברים בריבוע של המשוואה המוקטנת של ההיקף.

מקובל מאוד להציג את הצורה הכללית של משוואת ההיקף בתרגילים, הידועה גם בתור הצורה הרגילה.

חֲרוּטִי

המילה חרוט מגיעה מחרוט ומתייחסת לעיקולים המתקבלים על ידי חיתוך שלו. אליפסה, היפרבולה ופרבולה הן עקומות הנקראות חרוטי.

אֶלִיפְּסָה

אליפסה היא עקומה סגורה המתקבלת על ידי חתך חרוט עגול ישר על ידי מישור אלכסוני לציר, שאינו עובר דרך הקודקוד ואינו מקביל למחולותיו.

במישור, קבוצת כל הנקודות שסכום המרחקים שלהן לשתי נקודות קבועות פנימיות קבוע.

אלמנטים אליפסה:

• F1 ו-F2 הם מוקדי האליפסה;
• 2c הוא אורך המוקד של האליפסה. זהו המרחק בין F1 ל-F2;
• הנקודה O זה מרכז האליפסה. זוהי נקודת האמצע בין F1 ל-F2;
• A1 ו-A2 הם קודקודי האליפסה;
• הקטע ציר ראשי ושווה ל-2a.
• הקטע ציר קטן שווה ל-2b.
• תִמהוֹנִיוּת כאשר 0 < ו<1.

משוואת אליפסה מופחתת

קחו בחשבון נקודה P(x, y) הכלולה באליפסה שבה x היא האבשיסה ו-y היא הסמין של נקודה זו.

מרכז האליפסה במקור מערכת הקואורדינטות והציר הראשי (AA) על ציר ה-x.

מרכז האליפסה במקור מערכת הקואורדינטות והציר הראשי (AA) על ציר ה-y.

משוואה מופחתת של אליפסה עם צירים מקבילים לצירי הקואורדינטות

שוקל נקודה כמקור השיטה הקרטזית ו, נקודה כמרכז האליפסה.

ציר עיקרי AA, מקביל לציר x.

ציר ראשי AA, מקביל לציר y.

הַגזָמָה

היפרבולה היא קבוצה של נקודות במישור שבה ההבדל בין שתי נקודות קבועות F1 ו-F2 מביא לערך קבוע וחיובי.

אלמנטים של היפרבול:

• F1 ו-F2 הם מוקדי ההיפרבולה.
• 2c = הוא אורך המוקד.
• מרכז ההפרבולות הוא הנקודה הו, ממוצע מקטע F1F2.
• A1 ו-A2 הם הקודקודים.
• 2a = A1A2 הוא הציר הממשי או הרוחבי.
• 2b = B1B2 הוא הציר הדמיוני או המצומד.
• היא האקסצנטריות.

דרך משולש B1OA2

משוואה מופחתת של היפרבולה

עם ציר אמיתי על ציר x ומרכז במקור.

עם ציר אמיתי על ציר y ומרכז במקור.

משוואת היפרבולה עם צירים מקבילים לצירי קואורדינטות

ציר אמיתי AA מקביל לציר x ולמרכז .

ציר אמיתי AA מקביל לציר y ולמרכז .

מָשָׁל

פרבולה היא המקום שבו קבוצת הנקודות P(x, y) נמצאת באותו מרחק מנקודה קבועה F ומקו d.

יסודות המשל:

• F הוא מוקד המשל;
• d הוא הקו המנחה הישר;
• ציר סימטריה הוא הקו הישר דרך המוקד F ומאונך לקו המנחה.
• V הוא קודקוד הפרבולה.
• p הוא הקטע באורך זהה בין המוקד F לקודקוד V e, בין קודקוד להנחיה d.

משוואות מופחתות של הפרבולה

עם קודקוד במקור וציר סימטריה בציר y.

אם p>0 קיעור כלפי מעלה.
אם p<0 קיעור כלפי מטה.

עם קודקוד במקור וציר סימטריה על ציר x.

אם p>0 קיעור ימינה.
אם p<0 קיעור שמאלה.

עם ציר סימטריה מקביל לציר y ולקודקוד .

עם ציר סימטריה מקביל לציר x ולקודקוד .

להתאמן עם תרגילים על גיאומטריה אנליטית.

למידע נוסף בכתובת:
תוכנית קרטזיאנית
מרחק בין שתי נקודות
חֲרוּטִי
חישוב מקדם זוויתי