חוק החטאים: יישום, דוגמה ותרגילים

ה חוק החטאים קובע שבכל משולש, יחס הסינוס של זווית הוא תמיד פרופורציונלי למידת הצד שמול אותה זווית.

משפט זה מוכיח שבאותו משולש היחס בין ערך צד אחד לסינוס הזווית הנגדית שלו תמיד יהיה קָבוּעַ.

לפיכך, עבור משולש ABC עם צלעות a, b, c, חוק החטאים מודה ביחסים הבאים:

ייצוג חוקי החטאים במשולש

דוגמא

להבנה טובה יותר, בואו נחשב את מידת הצדדים AB ו- BC של המשולש הזה, כפונקציה של המידה b של הצד AC.

על פי חוק הסינס, אנו יכולים ליצור את הקשר הבא:

לפיכך, AB = 0.816b ו- BC = 1.115b.

הערה: ערכי הסינס התייעצו ב טבלת יחסי טריגונומטריה. בה נוכל למצוא את ערכי הזוויות מ -1 עד 90 מעלות של כל פונקציה טריגונומטרית (סינוס, קוסינוס ומשיק).

הזוויות של 30º, 45º ו- 60º משמשות בעיקר בחישובי טריגונומטריה. לפיכך, הם נקראים זוויות מדהימות. בדוק טבלה עם הערכים הבאים:

יחסים טריגונומטריים	30°	45°	60°
סינוס	1/2	√2/2	√3/2
קוסינוס	√3/2	√2/2	1/2
מַשִׁיק	√3/3	1	√3

יישום חוק החטאים

אנו משתמשים בחוק הסינוסים במשולשים חריפים, כאשר הזוויות הפנימיות הן פחות מ 90 מעלות (חריפות); או במשולשים עמומים, בעלי זוויות פנימיות הגדולות מ 90 מעלות (קהות). במקרים אלה, אתה יכול גם להשתמש ב- חוק קוסינוס.

instagram story viewer

המטרה העיקרית של שימוש בחוק החטאים או הקוסינוסים היא לגלות את המידות של צלעות המשולש וגם את זוויותיו.

ייצוג משולשים על פי זוויותיהם הפנימיות

וחוק החטאים במשולש המלבן?

כאמור לעיל, חוק החטאים משמש גם במשולשים חריפים וגם בהירים.

במשולשים הימניים, שנוצרו על ידי זווית פנימית של 90 מעלות (ישרה), השתמשנו במשפט פיתגורס וביחסים בין צדיו: צד נגדי, צמוד והיפוטנוז.

ייצוג המשולש הימני וצידיו

משפט זה קובע את האמירה הבאה: "סכום ריבועי רגליהם תואם את ריבוע ההיפוטנוזה שלהם". הנוסחה שלה באה לידי ביטוי:

ה² = כ²+ שיתוף²

לפיכך, כאשר יש לנו משולש ימני, הסינוס יהיה היחס בין אורך הרגל הנגדית לאורך ההיפוטנוזה:

זה כתוב ההפך על ההיפוטנוזה.

הקוסינוס תואם את הפרופורציה בין אורך הרגל הסמוכה לאורך ההיפוטנוז, המיוצג על ידי הביטוי:

הוא נקרא בצמוד להיפוטנוזה.

תרגילי בחינת כניסה

1.(UFPB) בית העירייה של עיר מסוימת יבנה, מעל נהר שחוצה את אותה עיר, גשר שעליו להיות ישר ולחבר שתי נקודות, A ו- B, הממוקמות על גדות הנהר הנגדיות. כדי למדוד את המרחק בין נקודות אלו, מודד איתר נקודה שלישית, C, במרחק של 200 מ 'מנקודה A ובאותה גדת הנהר כמו נקודה A. באמצעות תיאודוליט (מכשיר מדויק למדידת זוויות אופקיות וזוויות אנכיות, המשמש לעתים קרובות בעבודה טופוגרפית), המודד הבחין כי הזוויות B C עם צירוף לוגי עליון A רווח ומרחב C A עם צירוף לוגי עליון B נמדד, בהתאמה, 30 מעלות ו -105 מעלות, כפי שמודגם באיור הבא.

על סמך מידע זה נכון לקבוע כי המרחק, במטרים, מנקודה A לנקודה B הוא:

שטח בסוגריים ימניים 200 שורש ריבועי של 2 שטח קצה של שורש b סוגר ימין 180 שורש ריבועי של 2 שטח קצה של סוגרי שורש רווח נכון 150 שורש ריבועי של 2 רווח d סוגר ימני 100 שורש ריבועי של 2 שטח וסוגריים ימניים 50 שורש מרובע של 2

ראה תשובה

R e s p o st a space c o r r e t a colon colon d d סוגריים ימניים 100 שורש ריבועי של 2

מַטָרָה: קבע את המידה של AB.

רעיון 1 - חוק החטאים לקביעת AB

הדמות יוצרת משולש ABC, כאשר הצד AC מודד 200 מ 'ויש לנו שתי זוויות נקבעות.

להיות הזווית B עם צירוף לוגי עליון מול הצד AC של 200 מ 'והזווית C מול הצד AB, אנו יכולים לקבוע את AB דרך ה- חוק החטאים.

מניין A B מעל המכנה s ו- n רווח 30 מעלות סימן סוף שבר שטח שווה למונה A C אודות המכנה s ו- n מופע סגנון החלל החלל B עם צירוף לוגי סגנון סוף סגנון סוף שבריר

ה חוק החטאים קובע שהיחסים בין מדידות הצדדים לבין חללי הזוויות הנגדיות, בהתאמה לצדדים אלה, שווים באותו משולש.

רעיון 2 - קבע את הזווית

סכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא 180 °, כך שנוכל לקבוע זווית B.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

החלפת הערך של B עם צירוף לוגי עליון בחוק הסינוסים ועריכת החישובים.

מונה A B רווח מעל המכנה s ו- n רווח 30 מעלות סימן קצה של שטח שבר שווה למרחב המונה A C מעל מכנה שטח s ו- n רווח B מונה סוף שבר A B רווח מעל מכנה s ו- n רווח 30 מעלות סימן סוף שבר שווה למרחב מונה A C מעל רווח מכנה s e n רווח 45 מעלות סימן סוף שבר מונה A B רווח מעל מכנה מראה סגנון התחלה 1 חצי סוף סגנון סוף שבר שטח שווה ל רווח מונה A C מעל המכנה סגנון התחל החלל מראה שורש ריבוע מונה של 2 מעל מכנה 2 סוף שבר סוף סגנון סוף שבר 2 A רווח B שווה למונה 2 A C מעל מכנה שורש ריבועי של 2 קצה השבר A B רווח שווה למונה A C מעל מכנה שורש ריבועי של 2 סוף השבר

שימו לב שיש מכנה שורש ריבועי. בואו ננקוט שורש זה על ידי ביצוע הרציונליזציה, שהיא הכפל של המכנה ושל מניין השבר על ידי השורש עצמו.

רווח B שווה למונה A C מעל מכנה שורש ריבועי של 2 קצה שטח שבר השווה למונה רווח A C. שטח שורש מרובע של 2 מעל מכנה שורש מרובע של 2 שטח. שטח שורש מרובע של 2 קצה של שטח שבר השווה למרחב המונה A שטח C. שורש ריבוע רווח של 2 מעל מכנה שורש ריבועי של 4 קצה שטח שבר השווה לרווח המונה A רווח C. שטח שורש מרובע של 2 מעל המכנה 2 סוף השבר

החלפת ערך ה- AC יש לנו:

רווח B שווה לרווח שטח 200. שורש ריבוע רווח של 2 מעל מכנה 2 קצה של שבר שטח שווה למרחב 100 שורש ריבועי של 2

לכן, המרחק בין נקודות A ו- B הוא 100 שורש מרובע של 2 מ 'שטח .

2. (מקנזי - SP) שלושה איים A, B ו- C מופיעים במפה בקנה מידה 1: 10000, כפי שמוצג באיור. מהחלופות, זו המתקרבת בצורה הטובה ביותר למרחק בין האיים A ו- B היא:

א) 2.3 ק"מ
ב) 2.1 ק"מ
ג) 1.9 ק"מ
ד) 1.4 ק"מ
ה) 1.7 ק"מ

ראה תשובה

תשובה נכונה: ה) 1.7 ק"מ

מטרה: לקבוע את המידה של קטע AB.

רעיון 1: השתמש בחוק הסינוס כדי למצוא את המידה של AB

חוק החטאים: המידות של צלעות המשולש פרופורציונליות לאבות הזוויות הנגדיות שלהן.

מניין 12 מעל מכנה s ו- n רווח 30 קצה שטח שבר השווה למונה A B מעל מכנה רווח s ו- n מראה סגנון התחלה רווח C עם צירוף לוגי סגנון סוף סגנון סוף שבר שטח

רעיון 2: קבע את הזווית

סכום הזוויות הפנימיות של משולש שווה ל -180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

רעיון 3: החל את הערך של C בחוק הסינוסים

מניין 12 מעל מכנה s ו- n רווח 30 קצה שטח שבר השווה למונה A B מעל מכנה החלל s ו- n החלל סגנון התחלה מראה 45 סוף הסגנון סוף השבר חלל 12 שטח. שטח s ו- n שטח 45 חלל שווה למרחב A B. שטח s ו- n שטח 30 12 שטח. מונה חלל שורש ריבועי של 2 מעל מכנה 2 קצה של שטח שבר השווה למרחב A B. רווח 1 שורש ריבוע אמצעי 6 של 2 רווח שווה למונה A B מעל המכנה 2 סוף שבר 12 שורש ריבועי של 2 רווח שווה למרחב A B

רעיון 4: הערך לערך השורש הריבועי והשתמש בסולם

הֲכָנָה שורש ריבועי של 4 שווה בערך שטח 1 פסיק 4

12. 1,4 = 16,8

הסולם אומר 1: 10000, ומכפיל:

16,8. 10000 = 168 000 ס"מ

רעיון 5: מעבר מס"מ לק"מ

168 000 ס"מ / 100 000 = 1.68 ק"מ

מסקנה: מכיוון שהמרחק המחושב הוא 1.68 ק"מ, האלטרנטיבה הקרובה ביותר היא האות e.

הערה: כדי לעבור מס"מ לק"מ אנו מתחלקים ב 100 000 מכיוון שבסולם הבא, מסנטימטרים לק"מ, אנו סופרים 5 מקומות משמאל.

ק"מ -5- hm -4- סכר -3- m -2- dm -1- ס"מ מ"מ

3. (Unifor-CE) ידוע שבכל משולש המידה של כל צד היא ביחס ישר לסינוס הזווית הנגדית לצד. תוך שימוש במידע זה, המסקנה היא שהמידה של הצד AB של המשולש המוצג להלן היא: